Номер 958, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

958. Сократите дробь:

а) $\frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}};$

б) $\frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}};$

в) $\frac{x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}}}{x - y};$

г) $\frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a + b};$

д) $\frac{x - x^{0.5}y^{0.5} + y}{x^{1.5} - y^{1.5}}.$

е) $\frac{a^{1.5} - b^{1.5}}{a + a^{0.5}b^{0.5} + b}. $

Чтобы сократить дробь $\frac{x-y}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}$, мы можем представить числитель $x-y$ как разность квадратов. Поскольку $x = (x^{\frac{1}{2}})^2$ и $y = (y^{\frac{1}{2}})^2$, мы можем применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $x-y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$. Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь: $\frac{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}$ Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$ в числителе и знаменателе. В результате получаем $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$.

Данная задача аналогична предыдущей. Сократим дробь $\frac{x-y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$. Числитель $x-y$ снова представляем как разность квадратов: $x-y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$. Подставляем это выражение в дробь: $\frac{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$ Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$ и получаем: $x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$.

Рассмотрим дробь $\frac{x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}}}{x-y}$. Для упрощения используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для числителя и формулу разности квадратов для знаменателя. Представим $x^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}})^3$ и $y^{\frac{3}{2}} = (y^{\frac{1}{2}})^3$. Числитель: $x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})( (x^{\frac{1}{2}})^2 + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2 ) = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y)$. Знаменатель: $x-y = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$. Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y)}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}$ Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$: $\frac{x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$.

Ответ: $\frac{x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$.

Рассмотрим дробь $\frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a+b}$. Разложим числитель на множители, используя формулу разности кубов: $a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$. Знаменатель $a+b$ не имеет общих множителей с числителем (над полем действительных чисел). Таким образом, данная дробь не может быть сокращена.

Примечание: Возможно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы знаменатель был $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$, то дробь можно было бы сократить: $\frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$.

Ответ: Дробь $\frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a+b}$ является несократимой.

Рассмотрим дробь $\frac{x - x^{0.5}y^{0.5} + y}{x^{1.5} - y^{1.5}}$. Разложим знаменатель на множители по формуле разности кубов: $x^{1.5} - y^{1.5} = (x^{0.5})^3 - (y^{0.5})^3 = (x^{0.5} - y^{0.5})( (x^{0.5})^2 + x^{0.5}y^{0.5} + (y^{0.5})^2) = (x^{0.5} - y^{0.5})(x + x^{0.5}y^{0.5} + y)$. Дробь принимает вид: $\frac{x - x^{0.5}y^{0.5} + y}{(x^{0.5} - y^{0.5})(x + x^{0.5}y^{0.5} + y)}$ Числитель $x - x^{0.5}y^{0.5} + y$ не совпадает ни с одним из множителей знаменателя (отличается знаком среднего члена от второго множителя). Следовательно, дробь в данном виде несократима.

Примечание: Вероятно, в условии задачи есть опечатка. Если бы в знаменателе стоял знак плюс (сумма кубов), как в похожих задачах, то решение было бы следующим: $x^{1.5} + y^{1.5} = (x^{0.5})^3 + (y^{0.5})^3 = (x^{0.5} + y^{0.5})(x - x^{0.5}y^{0.5} + y)$. Тогда дробь $\frac{x - x^{0.5}y^{0.5} + y}{x^{1.5} + y^{1.5}}$ можно сократить: $\frac{x - x^{0.5}y^{0.5} + y}{(x^{0.5} + y^{0.5})(x - x^{0.5}y^{0.5} + y)} = \frac{1}{x^{0.5} + y^{0.5}}$.

Ответ: Дробь $\frac{x - x^{0.5}y^{0.5} + y}{x^{1.5} - y^{1.5}}$ является несократимой.

Чтобы сократить дробь $\frac{a^{1.5} - b^{1.5}}{a + a^{0.5}b^{0.5} + b}$, разложим числитель на множители. Используем формулу разности кубов $u^3-v^3 = (u-v)(u^2+uv+v^2)$, где $u=a^{0.5}$ и $v=b^{0.5}$. Числитель: $a^{1.5} - b^{1.5} = (a^{0.5})^3 - (b^{0.5})^3 = (a^{0.5} - b^{0.5})((a^{0.5})^2 + a^{0.5}b^{0.5} + (b^{0.5})^2) = (a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$. Подставим это выражение в дробь: $\frac{(a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)}{a + a^{0.5}b^{0.5} + b}$ Сократим общий множитель $(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$ в числителе и знаменателе. В результате получаем $a^{0.5} - b^{0.5}$.

Ответ: $a^{0.5} - b^{0.5}$.