Номер 956, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

956. a) $(1 - (1 - a^{-1}b)^{-1})^{-2} + (1 - (1 - ab^{-1})^{-1})^{-2}$;

б) $(a + \sqrt{a^2 - 1})^{-1} + (a - \sqrt{a^2 - 1})^{-1}$.

а) $(1 - (1 - a^{-1}b)^{-1})^{-2} + (1 - (1 - ab^{-1})^{-1})^{-2}$

Для упрощения данного выражения рассмотрим каждое слагаемое по отдельности. Мы будем использовать свойство степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

1. Упростим первое слагаемое: $(1 - (1 - a^{-1}b)^{-1})^{-2}$.

Сначала преобразуем выражение в самых внутренних скобках:

$1 - a^{-1}b = 1 - \frac{b}{a} = \frac{a - b}{a}$.

Теперь возведем его в степень -1:

$(1 - a^{-1}b)^{-1} = \left(\frac{a - b}{a}\right)^{-1} = \frac{a}{a - b}$.

Вычтем полученный результат из 1:

$1 - \frac{a}{a - b} = \frac{(a - b) - a}{a - b} = \frac{-b}{a - b}$.

И, наконец, возведем в степень -2:

$\left(\frac{-b}{a - b}\right)^{-2} = \left(\frac{a - b}{-b}\right)^{2} = \frac{(a - b)^2}{(-b)^2} = \frac{(a - b)^2}{b^2}$.

2. Упростим второе слагаемое: $(1 - (1 - ab^{-1})^{-1})^{-2}$.

Действуем аналогично. Преобразуем внутреннее выражение:

$1 - ab^{-1} = 1 - \frac{a}{b} = \frac{b - a}{b}$.

Возводим в степень -1:

$(1 - ab^{-1})^{-1} = \left(\frac{b - a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{b - a}$.

Вычитаем из 1:

$1 - \frac{b}{b - a} = \frac{(b - a) - b}{b - a} = \frac{-a}{b - a}$.

Возводим в степень -2:

$\left(\frac{-a}{b - a}\right)^{-2} = \left(\frac{b - a}{-a}\right)^{2} = \frac{(b - a)^2}{(-a)^2} = \frac{(b - a)^2}{a^2}$.

3. Теперь сложим полученные результаты.

$\frac{(a - b)^2}{b^2} + \frac{(b - a)^2}{a^2}$.

Поскольку $(b - a)^2 = (-(a-b))^2 = (a - b)^2$, мы можем переписать сумму следующим образом:

$\frac{(a - b)^2}{b^2} + \frac{(a - b)^2}{a^2}$.

Вынесем общий множитель $(a - b)^2$ за скобки:

$(a - b)^2 \left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}\right)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $a^2b^2$:

$(a - b)^2 \left(\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}\right) = \frac{(a - b)^2(a^2 + b^2)}{a^2b^2}$.

Ответ: $\frac{(a - b)^2(a^2 + b^2)}{a^2b^2}$

б) $(a + \sqrt{a^2 - 1})^{-1} + (a - \sqrt{a^2 - 1})^{-1}$

Используя свойство $x^{-1} = \frac{1}{x}$, перепишем исходное выражение в виде суммы дробей:

$\frac{1}{a + \sqrt{a^2 - 1}} + \frac{1}{a - \sqrt{a^2 - 1}}$.

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению их знаменателей:

$(a + \sqrt{a^2 - 1})(a - \sqrt{a^2 - 1})$.

Это выражение является разностью квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Применим эту формулу:

$a^2 - (\sqrt{a^2 - 1})^2 = a^2 - (a^2 - 1) = a^2 - a^2 + 1 = 1$.

Теперь, когда мы знаем, что общий знаменатель равен 1, мы можем сложить дроби:

$\frac{1 \cdot (a - \sqrt{a^2 - 1})}{(a + \sqrt{a^2 - 1})(a - \sqrt{a^2 - 1})} + \frac{1 \cdot (a + \sqrt{a^2 - 1})}{(a - \sqrt{a^2 - 1})(a + \sqrt{a^2 - 1})} = \frac{(a - \sqrt{a^2 - 1}) + (a + \sqrt{a^2 - 1})}{1}$.

Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$a - \sqrt{a^2 - 1} + a + \sqrt{a^2 - 1} = 2a$.

Таким образом, значение всего выражения равно $2a$.

Ответ: $2a$