Страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (955—957):

955. а) $\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+1\right):\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right);$

б) $\left(\sqrt{a}-\frac{1}{1+\sqrt{a}}\right)\cdot\frac{\sqrt{a}+1}{1-\sqrt{a}-a};$

в) $\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x-y};$

г) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-7}-\frac{4}{\sqrt{m}+7}+\frac{m}{49-m}.$

а) Сначала выполним действия в скобках, приводя слагаемые к общему знаменателю, а затем выполним деление.

1. Упростим первое выражение в скобках:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} + 1 = \frac{\sqrt{x} + 1 \cdot (\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} = \frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}$

2. Упростим второе выражение в скобках:
$1 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x}+1) - \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = \frac{1}{\sqrt{x}+1}$

3. Выполним деление полученных дробей. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:
$\left(\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\right) : \left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right) = \frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{1}$

4. Сократим общие множители $(\sqrt{x}+1)$:
$\frac{2\sqrt{x}+1}{\cancel{\sqrt{x}+1}} \cdot \frac{\cancel{\sqrt{x}+1}}{1} = 2\sqrt{x}+1$

Ответ: $2\sqrt{x}+1$

б) Упростим выражение в скобках, а затем выполним умножение.

1. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $1+\sqrt{a}$:
$\sqrt{a} - \frac{1}{1+\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(1+\sqrt{a}) - 1}{1+\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+a-1}{1+\sqrt{a}}$

2. Подставим полученное выражение обратно и выполним умножение:
$\frac{a+\sqrt{a}-1}{1+\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}+1}{1-\sqrt{a}-a}$

3. Сократим общие множители $(1+\sqrt{a})$:
$\frac{a+\sqrt{a}-1}{\cancel{1+\sqrt{a}}} \cdot \frac{\cancel{\sqrt{a}+1}}{1-\sqrt{a}-a} = \frac{a+\sqrt{a}-1}{1-\sqrt{a}-a}$

4. В знаменателе вынесем $-1$ за скобки, чтобы получить выражение, идентичное числителю:
$\frac{a+\sqrt{a}-1}{-( -1+\sqrt{a}+a )} = \frac{a+\sqrt{a}-1}{-(a+\sqrt{a}-1)}$

5. Сократим дробь:
$\frac{\cancel{a+\sqrt{a}-1}}{-(\cancel{a+\sqrt{a}-1})} = -1$

Ответ: $-1$

в) Упростим каждую дробь по отдельности, используя формулы сокращенного умножения, а затем выполним вычитание.

1. Упростим первую дробь. Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=\sqrt{x}, b=\sqrt{y}$:
$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \sqrt{x}+\sqrt{y}$

2. Упростим вторую дробь. В числителе используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=\sqrt{x}, b=\sqrt{y}$. В знаменателе — разность квадратов:
$\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x-y} = \frac{(\sqrt{x})^3-(\sqrt{y})^3}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

3. Выполним вычитание полученных выражений:
$(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - \frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

4. Приведем к общему знаменателю $(\sqrt{x}+\sqrt{y})$:
$\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 - (x+\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{(x+2\sqrt{xy}+y) - (x+\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

5. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{x+2\sqrt{xy}+y - x - \sqrt{xy} - y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

г) Приведем все дроби к общему знаменателю и выполним действия.

1. Заметим, что знаменатель третьей дроби можно разложить по формуле разности квадратов: $49-m = 7^2-(\sqrt{m})^2 = (7-\sqrt{m})(7+\sqrt{m})$. Вынесем знак минус: $-( \sqrt{m}-7)(\sqrt{m}+7)$.
Общий знаменатель для всех трех дробей: $(\sqrt{m}-7)(\sqrt{m}+7) = m-49$.

2. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-7} - \frac{4}{\sqrt{m}+7} + \frac{m}{49-m} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}+7)}{(\sqrt{m}-7)(\sqrt{m}+7)} - \frac{4(\sqrt{m}-7)}{(\sqrt{m}-7)(\sqrt{m}+7)} - \frac{m}{(\sqrt{m}-7)(\sqrt{m}+7)}$

3. Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}+7) - 4(\sqrt{m}-7) - m}{m-49}$

4. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{m+7\sqrt{m} - 4\sqrt{m} + 28 - m}{m-49} = \frac{(m-m) + (7\sqrt{m}-4\sqrt{m}) + 28}{m-49} = \frac{3\sqrt{m}+28}{m-49}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{m}+28}{m-49}$

956. a) $(1 - (1 - a^{-1}b)^{-1})^{-2} + (1 - (1 - ab^{-1})^{-1})^{-2}$;

б) $(a + \sqrt{a^2 - 1})^{-1} + (a - \sqrt{a^2 - 1})^{-1}$.

а) $(1 - (1 - a^{-1}b)^{-1})^{-2} + (1 - (1 - ab^{-1})^{-1})^{-2}$

Для упрощения данного выражения рассмотрим каждое слагаемое по отдельности. Мы будем использовать свойство степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

1. Упростим первое слагаемое: $(1 - (1 - a^{-1}b)^{-1})^{-2}$.

Сначала преобразуем выражение в самых внутренних скобках:

$1 - a^{-1}b = 1 - \frac{b}{a} = \frac{a - b}{a}$.

Теперь возведем его в степень -1:

$(1 - a^{-1}b)^{-1} = \left(\frac{a - b}{a}\right)^{-1} = \frac{a}{a - b}$.

Вычтем полученный результат из 1:

$1 - \frac{a}{a - b} = \frac{(a - b) - a}{a - b} = \frac{-b}{a - b}$.

И, наконец, возведем в степень -2:

$\left(\frac{-b}{a - b}\right)^{-2} = \left(\frac{a - b}{-b}\right)^{2} = \frac{(a - b)^2}{(-b)^2} = \frac{(a - b)^2}{b^2}$.

2. Упростим второе слагаемое: $(1 - (1 - ab^{-1})^{-1})^{-2}$.

Действуем аналогично. Преобразуем внутреннее выражение:

$1 - ab^{-1} = 1 - \frac{a}{b} = \frac{b - a}{b}$.

Возводим в степень -1:

$(1 - ab^{-1})^{-1} = \left(\frac{b - a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{b - a}$.

Вычитаем из 1:

$1 - \frac{b}{b - a} = \frac{(b - a) - b}{b - a} = \frac{-a}{b - a}$.

Возводим в степень -2:

$\left(\frac{-a}{b - a}\right)^{-2} = \left(\frac{b - a}{-a}\right)^{2} = \frac{(b - a)^2}{(-a)^2} = \frac{(b - a)^2}{a^2}$.

3. Теперь сложим полученные результаты.

$\frac{(a - b)^2}{b^2} + \frac{(b - a)^2}{a^2}$.

Поскольку $(b - a)^2 = (-(a-b))^2 = (a - b)^2$, мы можем переписать сумму следующим образом:

$\frac{(a - b)^2}{b^2} + \frac{(a - b)^2}{a^2}$.

Вынесем общий множитель $(a - b)^2$ за скобки:

$(a - b)^2 \left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}\right)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $a^2b^2$:

$(a - b)^2 \left(\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}\right) = \frac{(a - b)^2(a^2 + b^2)}{a^2b^2}$.

Ответ: $\frac{(a - b)^2(a^2 + b^2)}{a^2b^2}$

б) $(a + \sqrt{a^2 - 1})^{-1} + (a - \sqrt{a^2 - 1})^{-1}$

Используя свойство $x^{-1} = \frac{1}{x}$, перепишем исходное выражение в виде суммы дробей:

$\frac{1}{a + \sqrt{a^2 - 1}} + \frac{1}{a - \sqrt{a^2 - 1}}$.

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению их знаменателей:

$(a + \sqrt{a^2 - 1})(a - \sqrt{a^2 - 1})$.

Это выражение является разностью квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Применим эту формулу:

$a^2 - (\sqrt{a^2 - 1})^2 = a^2 - (a^2 - 1) = a^2 - a^2 + 1 = 1$.

Теперь, когда мы знаем, что общий знаменатель равен 1, мы можем сложить дроби:

$\frac{1 \cdot (a - \sqrt{a^2 - 1})}{(a + \sqrt{a^2 - 1})(a - \sqrt{a^2 - 1})} + \frac{1 \cdot (a + \sqrt{a^2 - 1})}{(a - \sqrt{a^2 - 1})(a + \sqrt{a^2 - 1})} = \frac{(a - \sqrt{a^2 - 1}) + (a + \sqrt{a^2 - 1})}{1}$.

Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$a - \sqrt{a^2 - 1} + a + \sqrt{a^2 - 1} = 2a$.

Таким образом, значение всего выражения равно $2a$.

Ответ: $2a$

957. a) $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}});$

б) $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}});$

в) $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n);$

г) $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b).$

а) $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае $x = m^{\frac{1}{2}}$ и $y = n^{\frac{1}{2}}$.

Подставим эти значения в формулу:

$(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) = (m^{\frac{1}{2}})^2 - (n^{\frac{1}{2}})^2$

Используя свойство степени $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$, получаем:

$(m^{\frac{1}{2}})^2 = m^{\frac{1}{2} \cdot 2} = m^1 = m$

$(n^{\frac{1}{2}})^2 = n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = n^1 = n$

Таким образом, итоговое выражение равно $m - n$.

Ответ: $m - n$

б) $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})$

Этот пример также решается с помощью формулы разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = a^{\frac{2}{3}}$ и $y = b^{\frac{2}{3}}$.

Применяем формулу:

$(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) = (a^{\frac{2}{3}})^2 - (b^{\frac{2}{3}})^2$

По свойству степени $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$:

$(a^{\frac{2}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3} \cdot 2} = a^{\frac{4}{3}}$

$(b^{\frac{2}{3}})^2 = b^{\frac{2}{3} \cdot 2} = b^{\frac{4}{3}}$

В результате получаем $a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}}$

в) $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n)$

Данное выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность кубов": $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$.

Определим $x$ и $y$. Пусть $x = m^{\frac{1}{2}}$ и $y = n^{\frac{1}{2}}$.

Тогда $x^2 = (m^{\frac{1}{2}})^2 = m$, $y^2 = (n^{\frac{1}{2}})^2 = n$, и $xy = m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}}$.

Таким образом, наше выражение можно переписать как $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})((m^{\frac{1}{2}})^2 + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2)$, что полностью соответствует формуле разности кубов.

Результатом будет $x^3 - y^3$:

$(m^{\frac{1}{2}})^3 - (n^{\frac{1}{2}})^3 = m^{\frac{1}{2} \cdot 3} - n^{\frac{1}{2} \cdot 3} = m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}$

Ответ: $m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}$

г) $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$

Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "сумма кубов": $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3$.

Определим $x$ и $y$. Пусть $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = b^{\frac{1}{2}}$.

Тогда $x^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a$, $y^2 = (b^{\frac{1}{2}})^2 = b$, и $xy = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$.

Выражение можно записать в виде $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})((a^{\frac{1}{2}})^2 - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2)$, что является формулой суммы кубов.

Результатом будет $x^3 + y^3$:

$(a^{\frac{1}{2}})^3 + (b^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{1}{2} \cdot 3} + b^{\frac{1}{2} \cdot 3} = a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}$

Ответ: $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}$

958. Сократите дробь:

а) $\frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}};$

б) $\frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}};$

в) $\frac{x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}}}{x - y};$

г) $\frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a + b};$

д) $\frac{x - x^{0.5}y^{0.5} + y}{x^{1.5} - y^{1.5}}.$

е) $\frac{a^{1.5} - b^{1.5}}{a + a^{0.5}b^{0.5} + b}. $

Чтобы сократить дробь $\frac{x-y}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}$, мы можем представить числитель $x-y$ как разность квадратов. Поскольку $x = (x^{\frac{1}{2}})^2$ и $y = (y^{\frac{1}{2}})^2$, мы можем применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $x-y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$. Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь: $\frac{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}$ Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$ в числителе и знаменателе. В результате получаем $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$.

Данная задача аналогична предыдущей. Сократим дробь $\frac{x-y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$. Числитель $x-y$ снова представляем как разность квадратов: $x-y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$. Подставляем это выражение в дробь: $\frac{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$ Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$ и получаем: $x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$.

Рассмотрим дробь $\frac{x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}}}{x-y}$. Для упрощения используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для числителя и формулу разности квадратов для знаменателя. Представим $x^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}})^3$ и $y^{\frac{3}{2}} = (y^{\frac{1}{2}})^3$. Числитель: $x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})( (x^{\frac{1}{2}})^2 + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2 ) = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y)$. Знаменатель: $x-y = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$. Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y)}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}$ Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$: $\frac{x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$.

Ответ: $\frac{x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$.

Рассмотрим дробь $\frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a+b}$. Разложим числитель на множители, используя формулу разности кубов: $a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$. Знаменатель $a+b$ не имеет общих множителей с числителем (над полем действительных чисел). Таким образом, данная дробь не может быть сокращена.

Примечание: Возможно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы знаменатель был $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$, то дробь можно было бы сократить: $\frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$.

Ответ: Дробь $\frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a+b}$ является несократимой.

Рассмотрим дробь $\frac{x - x^{0.5}y^{0.5} + y}{x^{1.5} - y^{1.5}}$. Разложим знаменатель на множители по формуле разности кубов: $x^{1.5} - y^{1.5} = (x^{0.5})^3 - (y^{0.5})^3 = (x^{0.5} - y^{0.5})( (x^{0.5})^2 + x^{0.5}y^{0.5} + (y^{0.5})^2) = (x^{0.5} - y^{0.5})(x + x^{0.5}y^{0.5} + y)$. Дробь принимает вид: $\frac{x - x^{0.5}y^{0.5} + y}{(x^{0.5} - y^{0.5})(x + x^{0.5}y^{0.5} + y)}$ Числитель $x - x^{0.5}y^{0.5} + y$ не совпадает ни с одним из множителей знаменателя (отличается знаком среднего члена от второго множителя). Следовательно, дробь в данном виде несократима.

Примечание: Вероятно, в условии задачи есть опечатка. Если бы в знаменателе стоял знак плюс (сумма кубов), как в похожих задачах, то решение было бы следующим: $x^{1.5} + y^{1.5} = (x^{0.5})^3 + (y^{0.5})^3 = (x^{0.5} + y^{0.5})(x - x^{0.5}y^{0.5} + y)$. Тогда дробь $\frac{x - x^{0.5}y^{0.5} + y}{x^{1.5} + y^{1.5}}$ можно сократить: $\frac{x - x^{0.5}y^{0.5} + y}{(x^{0.5} + y^{0.5})(x - x^{0.5}y^{0.5} + y)} = \frac{1}{x^{0.5} + y^{0.5}}$.

Ответ: Дробь $\frac{x - x^{0.5}y^{0.5} + y}{x^{1.5} - y^{1.5}}$ является несократимой.

Чтобы сократить дробь $\frac{a^{1.5} - b^{1.5}}{a + a^{0.5}b^{0.5} + b}$, разложим числитель на множители. Используем формулу разности кубов $u^3-v^3 = (u-v)(u^2+uv+v^2)$, где $u=a^{0.5}$ и $v=b^{0.5}$. Числитель: $a^{1.5} - b^{1.5} = (a^{0.5})^3 - (b^{0.5})^3 = (a^{0.5} - b^{0.5})((a^{0.5})^2 + a^{0.5}b^{0.5} + (b^{0.5})^2) = (a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$. Подставим это выражение в дробь: $\frac{(a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)}{a + a^{0.5}b^{0.5} + b}$ Сократим общий множитель $(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$ в числителе и знаменателе. В результате получаем $a^{0.5} - b^{0.5}$.

Ответ: $a^{0.5} - b^{0.5}$.

959. Упростите выражение:

a) $\frac{(x^{0.5} + y^{0.5})(x^{0.5} + 5y^{0.5}) - (x^{0.5} + 2y^{0.5})(x^{0.5} - 2y^{0.5})}{3\sqrt{y}(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})};$

б) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} - 1} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1} - \sqrt[3]{x} - 1;$

в) $\left( \frac{\frac{1}{x} - x}{\left(\sqrt[3]{x} + x^{-\frac{1}{3}} + 1\right)\left(x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} - 1\right)} + x^3 \right)^{-3};$

г) $\sqrt{x} \left( \frac{x + \sqrt[4]{x^3y^2} + y\sqrt[4]{xy^2} + y^2}{(\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})^2} - y \right)^{-1} + \frac{1}{x^{-0.25}y^{0.5} - 1}.$

Определите, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение

(960–962):

960. а) $(\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}})^2 \cdot (\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} - \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1})$;

б) $\frac{1-x^{-2}}{x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{x^{-2}-x}{x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}}$.

а)

Для того чтобы данное выражение имело смысл, необходимо выполнение нескольких условий, связанных с наличием квадратных корней и деления на переменные.

Исходное выражение: $ (\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}})^2 \cdot (\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} - \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}) $

1. Условие для квадратного корня.

Выражение содержит $\sqrt{x}$. Квадратный корень из числа определен только для неотрицательных чисел, поэтому должно выполняться условие: $x \ge 0$.

2. Условия для знаменателей дробей.

Знаменатели дробей в выражении не должны быть равны нулю.

• В члене $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ знаменатель равен $2\sqrt{x}$. Условие: $2\sqrt{x} \ne 0$, что эквивалентно $\sqrt{x} \ne 0$, и значит $x \ne 0$.
• В дроби $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ знаменатель равен $\sqrt{x}+1$. Условие: $\sqrt{x}+1 \ne 0$. Поскольку $x \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge 0$, и $\sqrt{x}+1 \ge 1$. Таким образом, этот знаменатель никогда не равен нулю при допустимых значениях $x$.
• В дроби $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ знаменатель равен $\sqrt{x}-1$. Условие: $\sqrt{x}-1 \ne 0$, что означает $\sqrt{x} \ne 1$, и следовательно, $x \ne 1$.

3. Объединение всех условий.

Мы получили следующие ограничения для $x$:

$x \ge 0$

$x \ne 0$

$x \ne 1$

Объединив эти условия, получаем, что $x$ должен быть строго больше нуля и не равен единице: $x > 0$ и $x \ne 1$.

В виде интервалов это можно записать как $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Выражение имеет смысл при $x > 0$ и $x \ne 1$.

б)

Чтобы определить, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл, рассмотрим все его компоненты.

Исходное выражение: $ \frac{1-x^{-2}}{x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{x^{-2}-x}{x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}} $

1. Условия для степеней с рациональными и отрицательными показателями.

Выражение содержит степени $x^{\frac{1}{2}}$, $x^{-\frac{1}{2}}$, $x^{\frac{3}{2}}$, $x^{-2}$.

• Степени с дробным показателем $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ и $x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}$ определены при $x \ge 0$.
• Степени с отрицательным показателем $x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ и $x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ требуют, чтобы основание степени не было равно нулю, то есть $x \ne 0$.

Совмещая эти два условия ($x \ge 0$ и $x \ne 0$), получаем, что $x$ должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. Условия для знаменателей дробей.

Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

• Знаменатель первой и третьей дроби: $x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}$. Найдем, когда он равен нулю: $x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 0 \implies \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \implies \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Так как $x>0$, мы можем умножить обе части на $\sqrt{x}$, получив $x=1$. Следовательно, должно выполняться условие $x \ne 1$.
• Знаменатель второй дроби: $x^{\frac{3}{2}}$. Условие $x^{\frac{3}{2}} \ne 0$ означает $x \ne 0$. Это условие уже учтено в требовании $x > 0$.

3. Объединение всех условий.

Собирая все найденные ограничения, получаем:

$x > 0$

$x \ne 1$

Это означает, что $x$ может быть любым положительным числом, кроме единицы.

В виде интервалов это можно записать как $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Выражение имеет смысл при $x > 0$ и $x \ne 1$.