Страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

920. Разложите многочлен на множители:

а) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3$;

б) $x^4 + x^2 + 1$;

в) $x^8 + x^4 + 1$.

а) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3$

Для решения этой задачи воспользуемся тождеством для суммы кубов. Сначала введем замену переменных, чтобы упростить выражение.

Пусть $X = a - b$, $Y = b - c$, $Z = c - a$.

Теперь найдем сумму этих переменных:

$X + Y + Z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = a - b + b - c + c - a = 0$

Существует известное тождество: если сумма трех чисел равна нулю ($X + Y + Z = 0$), то сумма их кубов равна их утроенному произведению ($X^3 + Y^3 + Z^3 = 3XYZ$).

Поскольку в нашем случае $X + Y + Z = 0$, мы можем применить это тождество.

Подставим обратно исходные выражения для $X$, $Y$ и $Z$:

$(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$

Таким образом, мы разложили многочлен на множители.

Ответ: $3(a - b)(b - c)(c - a)$.

б) $x^4 + x^2 + 1$

Для разложения этого многочлена на множители применим метод выделения полного квадрата. Идея состоит в том, чтобы добавить и отнять одно и то же слагаемое, чтобы получить формулу разности квадратов.

Чтобы выражение $x^4 + 1$ стало частью полного квадрата $(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$, нам не хватает $x^2$. Добавим и вычтем $x^2$:

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:

$(x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$

Мы получили выражение вида $A^2 - B^2$, где $A = x^2 + 1$ и $B = x$. Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$(x^2 + 1)^2 - x^2 = ((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$

Запишем многочлены в стандартном виде, упорядочив слагаемые по убыванию степеней $x$:

$(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.

в) $x^8 + x^4 + 1$

Этот многочлен можно разложить на множители, используя тот же метод, что и в предыдущем пункте — выделение полного квадрата.

Добавим и вычтем $x^4$, чтобы получить полный квадрат для $x^8 + 1$:

$x^8 + x^4 + 1 = x^8 + 2x^4 + 1 - x^4$

Сгруппируем первые три члена и представим выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $x^4 = (x^2)^2$.

$(x^8 + 2x^4 + 1) - x^4 = (x^4 + 1)^2 - (x^2)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = x^4 + 1$ и $B = x^2$:

$(x^4 + 1)^2 - (x^2)^2 = (x^4 + 1 - x^2)(x^4 + 1 + x^2) = (x^4 - x^2 + 1)(x^4 + x^2 + 1)$

Теперь мы имеем произведение двух многочленов. Второй множитель, $x^4 + x^2 + 1$, — это выражение из пункта б), которое мы уже разложили:

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Первый множитель, $x^4 - x^2 + 1$, не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение исходного многочлена на множители имеет вид:

$(x^4 - x^2 + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x^4 - x^2 + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.

921. Многочлен $x^4 + 2x^3 + mx^2 + 2x + n$ является квадратом другого многочлена. Найдите числа $m$ и $n$.

По условию, многочлен $x^4 + 2x^3 + mx^2 + 2x + n$ является квадратом другого многочлена. Так как степень исходного многочлена равна 4, то многочлен, квадратом которого он является, должен иметь степень 2. Представим этот многочлен в общем виде $ax^2 + bx + c$.

Тогда должно выполняться тождество:

$x^4 + 2x^3 + mx^2 + 2x + n = (ax^2 + bx + c)^2$

Раскроем скобки в правой части равенства, используя формулу квадрата суммы трех слагаемых $(A+B+C)^2 = A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC$:

$(ax^2 + bx + c)^2 = (ax^2)^2 + (bx)^2 + c^2 + 2(ax^2)(bx) + 2(ax^2)(c) + 2(bx)(c)$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$a^2x^4 + b^2x^2 + c^2 + 2abx^3 + 2acx^2 + 2bcx = a^2x^4 + (2ab)x^3 + (b^2 + 2ac)x^2 + (2bc)x + c^2$

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях исходного тождества:

$x^4 + 2x^3 + mx^2 + 2x + n = a^2x^4 + (2ab)x^3 + (b^2 + 2ac)x^2 + (2bc)x + c^2$

Получим систему уравнений:

1. Коэффициент при $x^4$: $a^2 = 1$
2. Коэффициент при $x^3$: $2ab = 2$
3. Коэффициент при $x^2$: $b^2 + 2ac = m$
4. Коэффициент при $x$: $2bc = 2$
5. Свободный член: $c^2 = n$

Решим эту систему. Из первого уравнения $a^2 = 1$ следует, что $a = 1$ или $a = -1$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a = 1$

Подставим $a = 1$ во второе уравнение: $2 \cdot 1 \cdot b = 2$, откуда $b = 1$.
Подставим $b = 1$ в четвертое уравнение: $2 \cdot 1 \cdot c = 2$, откуда $c = 1$.
Теперь найдем $m$ и $n$, подставив найденные значения $a, b, c$ в третье и пятое уравнения:
$m = b^2 + 2ac = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$.
$n = c^2 = 1^2 = 1$.

Случай 2: $a = -1$

Подставим $a = -1$ во второе уравнение: $2 \cdot (-1) \cdot b = 2$, откуда $-2b = 2$, то есть $b = -1$.
Подставим $b = -1$ в четвертое уравнение: $2 \cdot (-1) \cdot c = 2$, откуда $-2c = 2$, то есть $c = -1$.
Теперь найдем $m$ и $n$ для этого случая:
$m = b^2 + 2ac = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$.
$n = c^2 = (-1)^2 = 1$.

В обоих случаях мы получили одинаковые значения для $m$ и $n$. Это ожидаемо, так как $(ax^2+bx+c)^2 = (-(ax^2+bx+c))^2 = (-ax^2-bx-c)^2$.

Таким образом, искомые числа: $m=3$ и $n=1$. Исходный многочлен равен $(x^2+x+1)^2$.

Ответ: $m = 3, n = 1$.

Упростите выражение (922—932):

922¹. a) $\frac{48m^2ab}{26ma^2b^3}$,

б) $\frac{64xy^3z^5}{18x^2yz^3}$,

в) $\frac{128a^0b^{-3}c^9}{32a^6b^{-2}c^{-9}}$,

г) $\frac{121x^3y^0z^{-5}}{77x^{-8}y^{-4}z^{-2}}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{48m^2ab}{26ma^2b^3} $, мы сокращаем числовые коэффициенты и степени переменных по отдельности.
Сначала сократим числовой коэффициент: $ \frac{48}{26} = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 13} = \frac{24}{13} $.
Теперь упростим переменные, используя свойство степеней $ \frac{x^n}{x^m} = x^{n-m} $:
Для переменной $ m $: $ \frac{m^2}{m} = m^{2-1} = m^1 = m $.
Для переменной $ a $: $ \frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a} $.
Для переменной $ b $: $ \frac{b}{b^3} = b^{1-3} = b^{-2} = \frac{1}{b^2} $.
Собирая все вместе, получаем: $ \frac{24}{13} \cdot m \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{24m}{13ab^2} $.
Ответ: $ \frac{24m}{13ab^2} $

б) Рассмотрим выражение $ \frac{64xy^3z^5}{18x^2yz^3} $.
Сократим дробь по коэффициентам: $ \frac{64}{18} = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 9} = \frac{32}{9} $.
Теперь упростим каждую переменную:
Для $ x $: $ \frac{x}{x^2} = x^{1-2} = x^{-1} = \frac{1}{x} $.
Для $ y $: $ \frac{y^3}{y} = y^{3-1} = y^2 $.
Для $ z $: $ \frac{z^5}{z^3} = z^{5-3} = z^2 $.
Объединяем полученные части: $ \frac{32}{9} \cdot \frac{1}{x} \cdot y^2 \cdot z^2 = \frac{32y^2z^2}{9x} $.
Ответ: $ \frac{32y^2z^2}{9x} $

в) Упростим выражение $ \frac{128a^0b^{-3}c^9}{32a^6b^{-2}c^{-9}} $.
Сначала разделим числовые коэффициенты: $ \frac{128}{32} = 4 $.
Теперь поработаем с переменными, используя свойство $ \frac{x^n}{x^m} = x^{n-m} $ и помня, что любое число в нулевой степени равно единице ($ a^0 = 1 $).
Для $ a $: $ \frac{a^0}{a^6} = \frac{1}{a^6} = a^{0-6} = a^{-6} $.
Для $ b $: $ \frac{b^{-3}}{b^{-2}} = b^{-3 - (-2)} = b^{-3+2} = b^{-1} = \frac{1}{b} $.
Для $ c $: $ \frac{c^9}{c^{-9}} = c^{9 - (-9)} = c^{9+9} = c^{18} $.
Результат: $ 4 \cdot a^{-6} \cdot b^{-1} \cdot c^{18} = \frac{4c^{18}}{a^6b} $.
Ответ: $ \frac{4c^{18}}{a^6b} $

г) Рассмотрим выражение $ \frac{121x^3y^0z^{-5}}{77x^{-8}y^{-4}z^{-2}} $.
Сократим коэффициенты: $ \frac{121}{77} = \frac{11 \cdot 11}{7 \cdot 11} = \frac{11}{7} $.
Упростим переменные:
Для $ x $: $ \frac{x^3}{x^{-8}} = x^{3 - (-8)} = x^{3+8} = x^{11} $.
Для $ y $: $ \frac{y^0}{y^{-4}} = y^{0 - (-4)} = y^4 $ (поскольку $ y^0 = 1 $).
Для $ z $: $ \frac{z^{-5}}{z^{-2}} = z^{-5 - (-2)} = z^{-5+2} = z^{-3} = \frac{1}{z^3} $.
Собираем все части вместе: $ \frac{11}{7} \cdot x^{11} \cdot y^4 \cdot \frac{1}{z^3} = \frac{11x^{11}y^4}{7z^3} $.
Ответ: $ \frac{11x^{11}y^4}{7z^3} $

923. a) $\frac{38a^7b^4c^{12}}{144ab^6c^3}$;

б) $\frac{144xy^9z^{11}}{24x^5y^7z}$;

в) $\left(\frac{(5a^3(b+c))^2 \cdot (c-b)^2}{(b^2+2bc+c^2) \cdot 10a^4}\right)^{-1}$;

г) $\frac{(-1(-2a)^2 \cdot b)^2}{(-2a^2)^3 \cdot b^4}$.

a)

Для упрощения дроби $\frac{38a^7b^4c^{12}}{144ab^6c^3}$ разделим коэффициенты и степени переменных по отдельности.

1. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{38}{144}$. Находим наибольший общий делитель для 38 и 144. $38 = 2 \cdot 19$, $144 = 2 \cdot 72$. Общий делитель - 2. $\frac{38}{144} = \frac{19}{72}$.

2. Упростим степени переменных, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной a: $\frac{a^7}{a^1} = a^{7-1} = a^6$.

Для переменной b: $\frac{b^4}{b^6} = b^{4-6} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$.

Для переменной c: $\frac{c^{12}}{c^3} = c^{12-3} = c^9$.

3. Объединяем полученные результаты:

$\frac{19}{72} \cdot a^6 \cdot \frac{1}{b^2} \cdot c^9 = \frac{19a^6c^9}{72b^2}$.

Ответ: $\frac{19a^6c^9}{72b^2}$

б)

Упростим выражение $\frac{144xy^9z^{11}}{24x^5y^7z}$.

1. Сократим коэффициенты: $\frac{144}{24} = 6$.

2. Упростим степени переменных, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной x: $\frac{x}{x^5} = x^{1-5} = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$.

Для переменной y: $\frac{y^9}{y^7} = y^{9-7} = y^2$.

Для переменной z: $\frac{z^{11}}{z} = z^{11-1} = z^{10}$.

3. Собираем все вместе:

$6 \cdot \frac{1}{x^4} \cdot y^2 \cdot z^{10} = \frac{6y^2z^{10}}{x^4}$.

Ответ: $\frac{6y^2z^{10}}{x^4}$

в)

Рассмотрим выражение $(\frac{(5a^3(b+c))^2 \cdot (c-b)^2}{(b^2 + 2bc + c^2) \cdot 10a^4})^{-1}$.

1. Сначала упростим выражение внутри скобок. Начнем с числителя:

$(5a^3(b+c))^2 = 5^2(a^3)^2(b+c)^2 = 25a^6(b+c)^2$.

Весь числитель: $25a^6(b+c)^2 \cdot (c-b)^2$.

2. Теперь упростим знаменатель:

Выражение $b^2 + 2bc + c^2$ является формулой квадрата суммы: $(b+c)^2$.

Весь знаменатель: $(b+c)^2 \cdot 10a^4$.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{25a^6(b+c)^2(c-b)^2}{10a^4(b+c)^2}$.

4. Сократим дробь:

Сокращаем $(b+c)^2$ в числителе и знаменателе (при условии $b+c \neq 0$).

Сокращаем коэффициенты и степени a: $\frac{25a^6}{10a^4} = \frac{5}{2}a^{6-4} = \frac{5}{2}a^2$.

После сокращения выражение в скобках равно $\frac{5a^2(c-b)^2}{2}$. Заметим, что $(c-b)^2 = (b-c)^2$.

5. Теперь применим внешнюю степень -1. Возведение в степень -1 эквивалентно нахождению обратной дроби:

$(\frac{5a^2(c-b)^2}{2})^{-1} = \frac{2}{5a^2(c-b)^2}$.

Ответ: $\frac{2}{5a^2(c-b)^2}$

г)

Упростим выражение $\frac{(-1(-2a)^2 \cdot b)^2}{(-2a^2)^3 \cdot b^4}$.

1. Упростим числитель:

Сначала возведем в квадрат выражение в скобках: $(-2a)^2 = (-2)^2 a^2 = 4a^2$.

Теперь выражение в скобках числителя имеет вид $(-1 \cdot 4a^2 \cdot b) = -4a^2b$.

Возводим в квадрат: $(-4a^2b)^2 = (-4)^2(a^2)^2b^2 = 16a^4b^2$.

2. Упростим знаменатель:

Возведем в куб: $(-2a^2)^3 = (-2)^3(a^2)^3 = -8a^6$.

Весь знаменатель: $-8a^6 \cdot b^4 = -8a^6b^4$.

3. Разделим упрощенный числитель на знаменатель:

$\frac{16a^4b^2}{-8a^6b^4}$.

4. Сократим полученную дробь:

Коэффициенты: $\frac{16}{-8} = -2$.

Переменная a: $\frac{a^4}{a^6} = a^{4-6} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$.

Переменная b: $\frac{b^2}{b^4} = b^{2-4} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$.

5. Объединим результаты:

$-2 \cdot \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{b^2} = -\frac{2}{a^2b^2}$.

Ответ: $-\frac{2}{a^2b^2}$

924. a) $(\frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y}) : \frac{xy}{x^2 - y^2};$

б) $(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1} + 4m)(m - \frac{1}{m}).$

a) $\left(\frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y}\right) : \frac{xy}{x^2-y^2}$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:

$\frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y} = \frac{x(x+y) - x(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

2. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2 + xy - (x^2 - xy)}{x^2 - y^2} = \frac{x^2 + xy - x^2 + xy}{x^2 - y^2} = \frac{2xy}{x^2 - y^2}$

3. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac{2xy}{x^2 - y^2} : \frac{xy}{x^2 - y^2} = \frac{2xy}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{xy}$

4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($xy$ и $x^2-y^2$):

$\frac{2\cancel{xy}}{\cancel{x^2 - y^2}} \cdot \frac{\cancel{x^2 - y^2}}{\cancel{xy}} = 2$

При условии, что $x \neq y$, $x \neq -y$, $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Ответ: $2$

б) $\left(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1} + 4m\right) \left(m - \frac{1}{m}\right)$

Решим задачу по действиям. Сначала упростим выражение в каждой из скобок.

1. Упростим выражение в первой скобке: $\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1} + 4m$.

Приведем первые две дроби к общему знаменателю $(m-1)(m+1) = m^2-1$:

$\frac{(m+1)(m+1)}{(m-1)(m+1)} - \frac{(m-1)(m-1)}{(m-1)(m+1)} = \frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{m^2-1}$

Раскроем квадраты в числителе по формулам сокращенного умножения:

$\frac{(m^2 + 2m + 1) - (m^2 - 2m + 1)}{m^2 - 1} = \frac{m^2 + 2m + 1 - m^2 + 2m - 1}{m^2 - 1} = \frac{4m}{m^2 - 1}$

Теперь добавим к результату $4m$:

$\frac{4m}{m^2 - 1} + 4m = \frac{4m}{m^2 - 1} + \frac{4m(m^2 - 1)}{m^2 - 1} = \frac{4m + 4m^3 - 4m}{m^2 - 1} = \frac{4m^3}{m^2 - 1}$

2. Упростим выражение во второй скобке: $m - \frac{1}{m}$.

Приведем к общему знаменателю $m$:

$m - \frac{1}{m} = \frac{m \cdot m}{m} - \frac{1}{m} = \frac{m^2 - 1}{m}$

3. Теперь перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$\frac{4m^3}{m^2 - 1} \cdot \frac{m^2 - 1}{m}$

4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($m^2-1$ и $m$):

$\frac{4m^2 \cdot \cancel{m} \cdot \cancel{(m^2 - 1)}}{\cancel{(m^2 - 1)} \cdot \cancel{m}} = 4m^2$

При условии, что $m \neq 1$, $m \neq -1$, $m \neq 0$.

Ответ: $4m^2$

925. а) $\left(\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}\right)\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-2\right);$

б) $\left(\frac{x^2y-y^2x}{x-y}+xy\right)\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right).$

а)

Решим задачу, упрощая поочередно каждую из скобок.

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$\frac{y}{x-y} + \frac{x}{x+y} = \frac{y(x+y) + x(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{xy + y^2 + x^2 - xy}{x^2 - y^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Приведем все члены к общему знаменателю $x^2y^2$:

$\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} - 2 = \frac{x^2 \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} + \frac{y^2 \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} - \frac{2x^2y^2}{x^2y^2} = \frac{x^4 + y^4 - 2x^2y^2}{x^2y^2}$

Заметим, что числитель $x^4 - 2x^2y^2 + y^4$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x^2$ и $b=y^2$:

$\frac{(x^2 - y^2)^2}{x^2y^2}$

3. Теперь перемножим упрощенные выражения из первой и второй скобок:

$\left(\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}\right) \cdot \left(\frac{(x^2 - y^2)^2}{x^2y^2}\right)$

Сократим общий множитель $(x^2 - y^2)$:

$\frac{x^2 + y^2}{1} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2y^2} = \frac{(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)}{x^2y^2}$

Применим к числителю формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$\frac{(x^2)^2 - (y^2)^2}{x^2y^2} = \frac{x^4 - y^4}{x^2y^2}$

Ответ: $\frac{x^4 - y^4}{x^2y^2}$

б)

Решим задачу, упрощая поочередно каждую из скобок.

1. Упростим выражение в первой скобке. В числителе дроби вынесем общий множитель $xy$ за скобки:

$\frac{x^2y - y^2x}{x-y} + xy = \frac{xy(x-y)}{x-y} + xy$

Сократим дробь на $(x-y)$ (при условии $x \neq y$):

$xy + xy = 2xy$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y \cdot y}{x \cdot y} + \frac{x \cdot x}{y \cdot x} = \frac{y^2 + x^2}{xy}$

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

$2xy \cdot \left(\frac{x^2 + y^2}{xy}\right)$

Сократим на $xy$ (при условии $x \neq 0, y \neq 0$):

$2(x^2 + y^2)$

Ответ: $2(x^2 + y^2)$

926. а) $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(x-y)+(x+y)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right);$

б) $\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\right):\left(2-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right):\left(\frac{y}{x}+1\right).$

а) $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})(x-y) + (x+y)(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})$

Для решения данного выражения, мы будем упрощать его по частям. Сначала выполним действия в скобках, приводя дроби к общему знаменателю, а затем выполним умножение и сложение.

1. Преобразуем выражение в первой паре скобок: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$.

2. Преобразуем выражение в последней паре скобок: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y-x}{xy}$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$(\frac{x+y}{xy})(x-y) + (x+y)(\frac{y-x}{xy})$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

Первое слагаемое: $\frac{x+y}{xy} \cdot (x-y) = \frac{(x+y)(x-y)}{xy} = \frac{x^2-y^2}{xy}$ (используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$).

Второе слагаемое: $(x+y) \cdot \frac{y-x}{xy} = \frac{(x+y)(y-x)}{xy}$. Заметим, что $y-x = -(x-y)$, поэтому выражение можно переписать как $\frac{-(x+y)(x-y)}{xy} = \frac{-(x^2-y^2)}{xy} = \frac{y^2-x^2}{xy}$.

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{x^2-y^2}{xy} + \frac{y^2-x^2}{xy} = \frac{(x^2-y^2) + (y^2-x^2)}{xy} = \frac{x^2-y^2+y^2-x^2}{xy} = \frac{0}{xy} = 0$.

Данное равенство верно при $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Ответ: $0$

б) $(\frac{y}{x} - \frac{x}{y}) : (2 - \frac{x}{y} - \frac{y}{x}) : (\frac{y}{x} + 1)$

Решим задачу по действиям, предварительно упростив выражения в каждой из скобок, приведя их к общему знаменателю.

1. Упростим первое выражение в скобках: $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{y \cdot y}{xy} - \frac{x \cdot x}{xy} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$.

2. Упростим второе выражение в скобках: $2 - \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{2xy}{xy} - \frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy} = \frac{2xy - x^2 - y^2}{xy}$. В числителе можно вынести минус за скобки, чтобы получить формулу квадрата разности: $\frac{-(x^2 - 2xy + y^2)}{xy} = \frac{-(x-y)^2}{xy}$.

3. Упростим третье выражение в скобках: $\frac{y}{x} + 1 = \frac{y}{x} + \frac{x}{x} = \frac{y+x}{x}$.

Теперь выполним деление по порядку, подставив упрощенные выражения.

4. Первое деление: $(\frac{y^2 - x^2}{xy}) : (\frac{-(x-y)^2}{xy})$.

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$\frac{y^2 - x^2}{xy} \cdot \frac{xy}{-(x-y)^2} = \frac{y^2 - x^2}{-(x-y)^2}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$ и учтем, что $y-x = -(x-y)$:

$\frac{(y-x)(y+x)}{-(x-y)^2} = \frac{-(x-y)(x+y)}{-(x-y)^2} = \frac{x+y}{x-y}$.

5. Второе деление: результат первого действия делим на третье упрощенное выражение.

$(\frac{x+y}{x-y}) : (\frac{x+y}{x}) = \frac{x+y}{x-y} \cdot \frac{x}{x+y}$.

Сокращаем на общий множитель $(x+y)$ (при условии $x+y \neq 0$):

$\frac{x}{x-y}$.

Ответ: $\frac{x}{x-y}$

927. a) $\left(\frac{k+1}{k-1} - \frac{k-1}{k+1}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{k}{4} - \frac{1}{4k}\right);$

б) $\frac{m^3 + m^2n + mn^2 + n^3}{m^2 + 2mn + n^2} : \frac{m^4 - n^4}{(m+n)^3}.$

а)

Требуется упростить выражение: $\left(\frac{k+1}{k-1} - \frac{k-1}{k+1}\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{k}{4} - \frac{1}{4k}\right)$.

1. Упростим выражение в первых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(k-1)(k+1) = k^2-1$:

$\frac{k+1}{k-1} - \frac{k-1}{k+1} = \frac{(k+1)(k+1) - (k-1)(k-1)}{(k-1)(k+1)} = \frac{(k+1)^2 - (k-1)^2}{k^2-1}$

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для числителя:

$\frac{((k+1) - (k-1))((k+1) + (k-1))}{k^2-1} = \frac{(k+1-k+1)(k+1+k-1)}{k^2-1} = \frac{2 \cdot 2k}{k^2-1} = \frac{4k}{k^2-1}$

2. Упростим выражение во вторых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $4k$:

$\frac{1}{2} - \frac{k}{4} - \frac{1}{4k} = \frac{1 \cdot 2k}{2 \cdot 2k} - \frac{k \cdot k}{4 \cdot k} - \frac{1}{4k} = \frac{2k - k^2 - 1}{4k}$

Вынесем минус за скобки в числителе и свернем его по формуле квадрата разности:

$\frac{-(k^2 - 2k + 1)}{4k} = -\frac{(k-1)^2}{4k}$

3. Перемножим результаты, полученные в шагах 1 и 2:

$\left(\frac{4k}{k^2-1}\right) \cdot \left(-\frac{(k-1)^2}{4k}\right) = \frac{4k}{(k-1)(k+1)} \cdot \left(-\frac{(k-1)^2}{4k}\right)$

Сократим общие множители $4k$ и $(k-1)$:

$-\frac{\cancel{4k} \cdot (k-1)^{\cancel{2}}}{(\cancel{k-1})(k+1) \cdot \cancel{4k}} = -\frac{k-1}{k+1} = \frac{1-k}{k+1}$

Ответ: $\frac{1-k}{k+1}$

б)

Требуется упростить выражение: $\frac{m^3 + m^2n + mn^2 + n^3}{m^2 + 2mn + n^2} : \frac{m^4 - n^4}{(m+n)^3}$.

1. Упростим первую дробь. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $m^3 + m^2n + mn^2 + n^3 = m^2(m+n) + n^2(m+n) = (m+n)(m^2+n^2)$.

Знаменатель: $m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$.

Таким образом, первая дробь равна: $\frac{(m+n)(m^2+n^2)}{(m+n)^2} = \frac{m^2+n^2}{m+n}$.

2. Упростим вторую дробь. Разложим на множители числитель.

Числитель: $m^4 - n^4 = (m^2)^2 - (n^2)^2 = (m^2-n^2)(m^2+n^2) = (m-n)(m+n)(m^2+n^2)$.

Знаменатель: $(m+n)^3$.

Таким образом, вторая дробь равна: $\frac{(m-n)(m+n)(m^2+n^2)}{(m+n)^3}$.

3. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{m^2+n^2}{m+n} : \frac{(m-n)(m+n)(m^2+n^2)}{(m+n)^3} = \frac{m^2+n^2}{m+n} \cdot \frac{(m+n)^3}{(m-n)(m+n)(m^2+n^2)}$

Объединим множители и проведем сокращение:

$\frac{(m^2+n^2)(m+n)^3}{(m+n)(m-n)(m+n)(m^2+n^2)} = \frac{(m^2+n^2)(m+n)^3}{(m+n)^2(m-n)(m^2+n^2)}$

Сокращаем $(m^2+n^2)$ и $(m+n)^2$:

$\frac{\cancel{(m^2+n^2)}(m+n)^{\cancel{3}}}{\cancel{(m+n)^2}(m-n)\cancel{(m^2+n^2)}} = \frac{m+n}{m-n}$

Ответ: $\frac{m+n}{m-n}$

928. a) $(\frac{4(a - 2)}{a^2 - a - 6} + \frac{a - 3}{4 - a^2}) \cdot (\frac{a^2 - 4}{a - 1} - \frac{2}{a - 3})$

б) $(\frac{3}{y - 2} + \frac{3y + 12}{25 - y^2}) : (\frac{2y - 1}{y^2 - 25} - \frac{y - 5}{2y^2 + 9y - 5})$

в) $(\frac{a}{a^2 - 4} - \frac{8}{a^2 + 2a}) \cdot (\frac{a^2 - 2a}{4 - a} + \frac{a + 8}{a + 2})$

г) $(\frac{1}{a^2 - 4a} + \frac{a + 3}{a^2 - 16}) \cdot (\frac{4a - a^2}{a + 2} + \frac{a + 8}{a + 4})$

¹Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выражения имеют смысл.

д) $(\frac{a + 3b}{(a - b)^2} + \frac{a - 3b}{a^2 - b^2}) : \frac{a^2 + 3b^2}{(a - b)^2}$

е) $(\frac{a + 2b}{(a + b)^2} - \frac{a - 4b}{a^2 - b^2}) : \frac{b^2 + 2ab}{(a + b)^2}$

а) Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $a^2-a-6 = (a-3)(a+2)$; $4-a^2 = -(a^2-4) = -(a-2)(a+2)$.
$\frac{4(a-2)}{a^2 - a - 6} + \frac{a-3}{4-a^2} = \frac{4(a-2)}{(a-3)(a+2)} - \frac{a-3}{(a-2)(a+2)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(a-3)(a+2)(a-2)$:
$\frac{4(a-2)(a-2) - (a-3)(a-3)}{(a-3)(a+2)(a-2)} = \frac{4(a-2)^2 - (a-3)^2}{(a-3)(a+2)(a-2)}$
Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности:
$\frac{4(a^2-4a+4) - (a^2-6a+9)}{(a-3)(a+2)(a-2)} = \frac{4a^2-16a+16 - a^2+6a-9}{(a-3)(a+2)(a-2)} = \frac{3a^2-10a+7}{(a-3)(a+2)(a-2)}$
Разложим числитель $3a^2-10a+7$ на множители. Корни уравнения $3a^2-10a+7=0$ равны $a_1=1$ и $a_2=\frac{7}{3}$, поэтому $3a^2-10a+7 = 3(a-1)(a-\frac{7}{3}) = (a-1)(3a-7)$.
Получаем: $\frac{(a-1)(3a-7)}{(a-3)(a+2)(a-2)}$.
2. Выполним умножение. Учтем, что $a^2-4=(a-2)(a+2)$.
$(\frac{(a-1)(3a-7)}{(a-3)(a+2)(a-2)}) \cdot \frac{a^2-4}{a-1} = \frac{(a-1)(3a-7)}{(a-3)(a+2)(a-2)} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{a-1}$
Сокращаем дроби и получаем: $\frac{3a-7}{a-3}$.
3. Выполним вычитание.
$\frac{3a-7}{a-3} - \frac{2}{a-3} = \frac{3a-7-2}{a-3} = \frac{3a-9}{a-3} = \frac{3(a-3)}{a-3} = 3$.

Ответ: $3$.

б) Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в первых скобках. Разложим знаменатель $25-y^2 = -(y^2-25) = -(y-5)(y+5)$.
$\frac{3}{y-2} + \frac{3y+12}{25-y^2} = \frac{3}{y-2} - \frac{3(y+4)}{(y-5)(y+5)}$
Приведем к общему знаменателю $(y-2)(y-5)(y+5)$:
$\frac{3(y-5)(y+5) - 3(y+4)(y-2)}{(y-2)(y-5)(y+5)} = \frac{3(y^2-25) - 3(y^2+2y-8)}{(y-2)(y-5)(y+5)} = \frac{3y^2-75 - 3y^2-6y+24}{(y-2)(y-5)(y+5)} = \frac{-6y-51}{(y-2)(y-5)(y+5)} = \frac{-3(2y+17)}{(y-2)(y-5)(y+5)}$.
2. Преобразуем выражение во вторых скобках. Разложим знаменатели: $y^2-25 = (y-5)(y+5)$; $2y^2+9y-5 = (2y-1)(y+5)$.
$\frac{2y-1}{y^2-25} - \frac{y-5}{2y^2+9y-5} = \frac{2y-1}{(y-5)(y+5)} - \frac{y-5}{(2y-1)(y+5)}$
Приведем к общему знаменателю $(y-5)(y+5)(2y-1)$:
$\frac{(2y-1)^2 - (y-5)^2}{(y-5)(y+5)(2y-1)}$
В числителе используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\frac{((2y-1)-(y-5))((2y-1)+(y-5))}{(y-5)(y+5)(2y-1)} = \frac{(y+4)(3y-6)}{(y-5)(y+5)(2y-1)} = \frac{3(y+4)(y-2)}{(y-5)(y+5)(2y-1)}$.
3. Выполним деление:
$\frac{-3(2y+17)}{(y-2)(y-5)(y+5)} : \frac{3(y+4)(y-2)}{(y-5)(y+5)(2y-1)} = \frac{-3(2y+17)}{(y-2)(y-5)(y+5)} \cdot \frac{(y-5)(y+5)(2y-1)}{3(y+4)(y-2)}$
Сокращаем дроби: $\frac{-(2y+17)(2y-1)}{(y-2)^2(y+4)}$.

Ответ: $\frac{-(2y+17)(2y-1)}{(y-2)^2(y+4)}$.

в) Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатели: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$; $a^2+2a = a(a+2)$.
$\frac{a}{a^2-4} - \frac{8}{a^2+2a} = \frac{a}{(a-2)(a+2)} - \frac{8}{a(a+2)}$
Приведем к общему знаменателю $a(a-2)(a+2)$:
$\frac{a \cdot a - 8(a-2)}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2-8a+16}{a(a-2)(a+2)} = \frac{(a-4)^2}{a(a-2)(a+2)}$.
2. Выполним умножение. Преобразуем множители: $a^2-2a = a(a-2)$; $4-a = -(a-4)$.
$\frac{(a-4)^2}{a(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a^2-2a}{4-a} = \frac{(a-4)^2}{a(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a(a-2)}{-(a-4)}$
Сокращаем дроби: $\frac{a-4}{a+2} \cdot (-1) = \frac{-(a-4)}{a+2} = \frac{4-a}{a+2}$.
3. Выполним сложение.
$\frac{4-a}{a+2} + \frac{a+8}{a+2} = \frac{4-a+a+8}{a+2} = \frac{12}{a+2}$.

Ответ: $\frac{12}{a+2}$.

г) Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатели: $a^2-4a = a(a-4)$; $a^2-16 = (a-4)(a+4)$.
$\frac{1}{a^2-4a} + \frac{a+3}{a^2-16} = \frac{1}{a(a-4)} + \frac{a+3}{(a-4)(a+4)}$
Приведем к общему знаменателю $a(a-4)(a+4)$:
$\frac{1(a+4) + a(a+3)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{a+4+a^2+3a}{a(a-4)(a+4)} = \frac{a^2+4a+4}{a(a-4)(a+4)} = \frac{(a+2)^2}{a(a-4)(a+4)}$.
2. Выполним умножение. Преобразуем множитель $4a-a^2 = -a(a-4)$.
$\frac{(a+2)^2}{a(a-4)(a+4)} \cdot \frac{4a-a^2}{a+2} = \frac{(a+2)^2}{a(a-4)(a+4)} \cdot \frac{-a(a-4)}{a+2}$
Сокращаем дроби: $\frac{a+2}{a+4} \cdot (-1) = \frac{-(a+2)}{a+4} = \frac{-a-2}{a+4}$.
3. Выполним сложение.
$\frac{-a-2}{a+4} + \frac{a+8}{a+4} = \frac{-a-2+a+8}{a+4} = \frac{6}{a+4}$.

Ответ: $\frac{6}{a+4}$.

д) Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатель $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{a+3b}{(a-b)^2} + \frac{a-3b}{a^2-b^2} = \frac{a+3b}{(a-b)^2} + \frac{a-3b}{(a-b)(a+b)}$
Приведем к общему знаменателю $(a-b)^2(a+b)$:
$\frac{(a+3b)(a+b) + (a-3b)(a-b)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{(a^2+4ab+3b^2) + (a^2-4ab+3b^2)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{2a^2+6b^2}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{2(a^2+3b^2)}{(a-b)^2(a+b)}$.
2. Выполним деление.
$\frac{2(a^2+3b^2)}{(a-b)^2(a+b)} : \frac{a^2+3b^2}{(a-b)^2} = \frac{2(a^2+3b^2)}{(a-b)^2(a+b)} \cdot \frac{(a-b)^2}{a^2+3b^2}$
Сокращаем дроби: $\frac{2}{a+b}$.

Ответ: $\frac{2}{a+b}$.

е) Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатель $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{a+2b}{(a+b)^2} - \frac{a-4b}{a^2-b^2} = \frac{a+2b}{(a+b)^2} - \frac{a-4b}{(a-b)(a+b)}$
Приведем к общему знаменателю $(a+b)^2(a-b)$:
$\frac{(a+2b)(a-b) - (a-4b)(a+b)}{(a+b)^2(a-b)} = \frac{(a^2+ab-2b^2) - (a^2-3ab-4b^2)}{(a+b)^2(a-b)} = \frac{a^2+ab-2b^2 - a^2+3ab+4b^2}{(a+b)^2(a-b)} = \frac{4ab+2b^2}{(a+b)^2(a-b)} = \frac{2b(2a+b)}{(a+b)^2(a-b)}$.
2. Преобразуем делитель: $\frac{b^2+2ab}{(a+b)^2} = \frac{b(b+2a)}{(a+b)^2}$.
3. Выполним деление.
$\frac{2b(2a+b)}{(a+b)^2(a-b)} : \frac{b(2a+b)}{(a+b)^2} = \frac{2b(2a+b)}{(a+b)^2(a-b)} \cdot \frac{(a+b)^2}{b(2a+b)}$
Сокращаем дроби: $\frac{2}{a-b}$.

Ответ: $\frac{2}{a-b}$.