Номер 923, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

923. a) $\frac{38a^7b^4c^{12}}{144ab^6c^3}$;

б) $\frac{144xy^9z^{11}}{24x^5y^7z}$;

в) $\left(\frac{(5a^3(b+c))^2 \cdot (c-b)^2}{(b^2+2bc+c^2) \cdot 10a^4}\right)^{-1}$;

г) $\frac{(-1(-2a)^2 \cdot b)^2}{(-2a^2)^3 \cdot b^4}$.

a)

Для упрощения дроби $\frac{38a^7b^4c^{12}}{144ab^6c^3}$ разделим коэффициенты и степени переменных по отдельности.

1. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{38}{144}$. Находим наибольший общий делитель для 38 и 144. $38 = 2 \cdot 19$, $144 = 2 \cdot 72$. Общий делитель - 2. $\frac{38}{144} = \frac{19}{72}$.

2. Упростим степени переменных, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной a: $\frac{a^7}{a^1} = a^{7-1} = a^6$.

Для переменной b: $\frac{b^4}{b^6} = b^{4-6} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$.

Для переменной c: $\frac{c^{12}}{c^3} = c^{12-3} = c^9$.

3. Объединяем полученные результаты:

$\frac{19}{72} \cdot a^6 \cdot \frac{1}{b^2} \cdot c^9 = \frac{19a^6c^9}{72b^2}$.

Ответ: $\frac{19a^6c^9}{72b^2}$

б)

Упростим выражение $\frac{144xy^9z^{11}}{24x^5y^7z}$.

1. Сократим коэффициенты: $\frac{144}{24} = 6$.

2. Упростим степени переменных, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной x: $\frac{x}{x^5} = x^{1-5} = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$.

Для переменной y: $\frac{y^9}{y^7} = y^{9-7} = y^2$.

Для переменной z: $\frac{z^{11}}{z} = z^{11-1} = z^{10}$.

3. Собираем все вместе:

$6 \cdot \frac{1}{x^4} \cdot y^2 \cdot z^{10} = \frac{6y^2z^{10}}{x^4}$.

Ответ: $\frac{6y^2z^{10}}{x^4}$

в)

Рассмотрим выражение $(\frac{(5a^3(b+c))^2 \cdot (c-b)^2}{(b^2 + 2bc + c^2) \cdot 10a^4})^{-1}$.

1. Сначала упростим выражение внутри скобок. Начнем с числителя:

$(5a^3(b+c))^2 = 5^2(a^3)^2(b+c)^2 = 25a^6(b+c)^2$.

Весь числитель: $25a^6(b+c)^2 \cdot (c-b)^2$.

2. Теперь упростим знаменатель:

Выражение $b^2 + 2bc + c^2$ является формулой квадрата суммы: $(b+c)^2$.

Весь знаменатель: $(b+c)^2 \cdot 10a^4$.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{25a^6(b+c)^2(c-b)^2}{10a^4(b+c)^2}$.

4. Сократим дробь:

Сокращаем $(b+c)^2$ в числителе и знаменателе (при условии $b+c \neq 0$).

Сокращаем коэффициенты и степени a: $\frac{25a^6}{10a^4} = \frac{5}{2}a^{6-4} = \frac{5}{2}a^2$.

После сокращения выражение в скобках равно $\frac{5a^2(c-b)^2}{2}$. Заметим, что $(c-b)^2 = (b-c)^2$.

5. Теперь применим внешнюю степень -1. Возведение в степень -1 эквивалентно нахождению обратной дроби:

$(\frac{5a^2(c-b)^2}{2})^{-1} = \frac{2}{5a^2(c-b)^2}$.

Ответ: $\frac{2}{5a^2(c-b)^2}$

г)

Упростим выражение $\frac{(-1(-2a)^2 \cdot b)^2}{(-2a^2)^3 \cdot b^4}$.

1. Упростим числитель:

Сначала возведем в квадрат выражение в скобках: $(-2a)^2 = (-2)^2 a^2 = 4a^2$.

Теперь выражение в скобках числителя имеет вид $(-1 \cdot 4a^2 \cdot b) = -4a^2b$.

Возводим в квадрат: $(-4a^2b)^2 = (-4)^2(a^2)^2b^2 = 16a^4b^2$.

2. Упростим знаменатель:

Возведем в куб: $(-2a^2)^3 = (-2)^3(a^2)^3 = -8a^6$.

Весь знаменатель: $-8a^6 \cdot b^4 = -8a^6b^4$.

3. Разделим упрощенный числитель на знаменатель:

$\frac{16a^4b^2}{-8a^6b^4}$.

4. Сократим полученную дробь:

Коэффициенты: $\frac{16}{-8} = -2$.

Переменная a: $\frac{a^4}{a^6} = a^{4-6} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$.

Переменная b: $\frac{b^2}{b^4} = b^{2-4} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$.

5. Объединим результаты:

$-2 \cdot \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{b^2} = -\frac{2}{a^2b^2}$.

Ответ: $-\frac{2}{a^2b^2}$