Номер 930, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

930. a) $a : \frac{a - 1}{2} - \frac{a^2 + 3a(a - 1) - 1}{2a^2 + 2a} \cdot \frac{-4a}{a^2 + 1 - 2a} - \frac{4a^2}{a^2 - 1}$;

б) $\left(\frac{3}{2} - \left(x^4 - \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1}\right)\right) \cdot \frac{x^3 - x(4x - 1) - 4}{x^7 + 6x^6 - x - 6} : \frac{x^2 + 29x + 78}{3x^2 + 12x - 36}$.

a)

Упростим выражение по действиям. Исходное выражение:

$a : \frac{a-1}{2} - \frac{a^2+3a(a-1)-1}{2a^2+2a} \cdot \frac{-4a}{a^2+1-2a} - \frac{4a^2}{a^2-1}$

1. Выполним первое действие — деление:

$a : \frac{a-1}{2} = a \cdot \frac{2}{a-1} = \frac{2a}{a-1}$

2. Выполним второе действие — умножение дробей. Сначала упростим числители и знаменатели.

Числитель первой дроби: $a^2+3a(a-1)-1 = a^2+3a^2-3a-1 = 4a^2-3a-1$. Найдем корни квадратного трехчлена $4a^2-3a-1=0$. Дискриминант $D = (-3)^2-4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9+16=25$. Корни $a_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{8}$, т.е. $a_1=1$, $a_2 = -\frac{1}{4}$. Тогда $4a^2-3a-1 = 4(a-1)(a+\frac{1}{4}) = (a-1)(4a+1)$.

Знаменатель первой дроби: $2a^2+2a = 2a(a+1)$.

Знаменатель второй дроби: $a^2+1-2a = (a-1)^2$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{a^2+3a(a-1)-1}{2a^2+2a} \cdot \frac{-4a}{a^2+1-2a} = \frac{(a-1)(4a+1)}{2a(a+1)} \cdot \frac{-4a}{(a-1)^2}$

Сократим общие множители $2a$ и $(a-1)$:

$\frac{4a+1}{a+1} \cdot \frac{-2}{a-1} = -\frac{2(4a+1)}{(a+1)(a-1)} = -\frac{8a+2}{a^2-1}$

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$\frac{2a}{a-1} - (-\frac{8a+2}{a^2-1}) - \frac{4a^2}{a^2-1} = \frac{2a}{a-1} + \frac{8a+2}{a^2-1} - \frac{4a^2}{a^2-1}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $a^2-1=(a-1)(a+1)$:

$\frac{2a(a+1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{8a+2}{a^2-1} - \frac{4a^2}{a^2-1} = \frac{2a^2+2a}{a^2-1} + \frac{8a+2}{a^2-1} - \frac{4a^2}{a^2-1}$

5. Сложим и вычтем числители:

$\frac{2a^2+2a+8a+2-4a^2}{a^2-1} = \frac{-2a^2+10a+2}{a^2-1}$

Можно вынести -2 за скобки в числителе: $\frac{-2(a^2-5a-1)}{a^2-1}$.

Ответ: $\frac{-2a^2+10a+2}{a^2-1}$

б)

Упростим выражение по действиям. Исходное выражение:

$(\frac{3}{2}-(\_x^4-\frac{x^4+1}{x^2+1})\cdot\frac{x^3-x(4x-1)-4}{x^7+6x^6-x-6}):\frac{x^2+29x+78}{3x^2+12x-36}$

1. Упростим выражение в первых внутренних скобках:

$x^4-\frac{x^4+1}{x^2+1} = \frac{x^4(x^2+1)-(x^4+1)}{x^2+1} = \frac{x^6+x^4-x^4-1}{x^2+1} = \frac{x^6-1}{x^2+1}$

2. Упростим вторую дробь в больших скобках. Сначала числитель:

$x^3-x(4x-1)-4 = x^3-4x^2+x-4 = x^2(x-4)+1(x-4) = (x^2+1)(x-4)$

Теперь знаменатель:

$x^7+6x^6-x-6 = x^6(x+6)-(x+6) = (x^6-1)(x+6)$

Вторая дробь равна: $\frac{(x^2+1)(x-4)}{(x^6-1)(x+6)}$

3. Выполним умножение выражений, полученных в шагах 1 и 2:

$\frac{x^6-1}{x^2+1} \cdot \frac{(x^2+1)(x-4)}{(x^6-1)(x+6)}$

Сокращая $(x^6-1)$ и $(x^2+1)$, получаем:

$\frac{x-4}{x+6}$

4. Выполним вычитание в больших скобках:

$\frac{3}{2} - \frac{x-4}{x+6} = \frac{3(x+6) - 2(x-4)}{2(x+6)} = \frac{3x+18-2x+8}{2(x+6)} = \frac{x+26}{2(x+6)}$

5. Упростим дробь-делитель. Числитель: $x^2+29x+78$. Найдем корни: $D=29^2-4 \cdot 78 = 841-312 = 529 = 23^2$. Корни $x_{1,2}=\frac{-29 \pm 23}{2}$, т.е. $x_1=-26$, $x_2=-3$. Итак, $x^2+29x+78=(x+26)(x+3)$.

Знаменатель: $3x^2+12x-36 = 3(x^2+4x-12)$. Корни $x^2+4x-12=0$ это $x_1=-6, x_2=2$. Итак, $3(x+6)(x-2)$.

Дробь-делитель равна: $\frac{(x+26)(x+3)}{3(x+6)(x-2)}$

6. Выполним конечное деление:

$\frac{x+26}{2(x+6)} : \frac{(x+26)(x+3)}{3(x+6)(x-2)} = \frac{x+26}{2(x+6)} \cdot \frac{3(x+6)(x-2)}{(x+26)(x+3)}$

Сократим $(x+26)$ и $(x+6)$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3(x-2)}{x+3} = \frac{3(x-2)}{2(x+3)}$

Ответ: $\frac{3(x-2)}{2(x+3)}$