Страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

929. a) $ \left(\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)\right) : \left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} - \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)\right); $

б) $ \frac{a-b}{a(a-2)+4} + \frac{8+4(1-a)+a^2}{8+a^3} - \frac{1}{2+a}. $

а) Упростим данное выражение по действиям.

1. Сначала выполним сложение в первой скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} + \frac{y \cdot y}{x \cdot y} + \frac{xy}{xy} = \frac{x^2+y^2+xy}{xy}$.

2. Теперь выполним вычитание во второй скобке, приведя к общему знаменателю $xy$:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y-x}{xy}$.

3. Умножим результаты первых двух действий:

$\left(\frac{x^2+y^2+xy}{xy}\right) \cdot \left(\frac{y-x}{xy}\right) = \frac{(x^2+xy+y^2)(y-x)}{x^2y^2}$.

В числителе мы видим произведение, которое соответствует формуле разности кубов $y^3-x^3 = (y-x)(y^2+xy+x^2)$. Таким образом, получаем:

$\frac{y^3-x^3}{x^2y^2}$.

4. Упростим выражение, на которое производится деление (делитель):

$\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} - \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)$.

Приведем все члены к общему знаменателю $x^2y^2$:

$\frac{x^4}{x^2y^2} + \frac{y^4}{x^2y^2} - \left(\frac{x \cdot xy}{y \cdot xy} + \frac{y \cdot xy}{x \cdot xy}\right) = \frac{x^4+y^4 - (x^3y+xy^3)}{x^2y^2} = \frac{x^4-x^3y-xy^3+y^4}{x^2y^2}$.

Сгруппируем члены в числителе и вынесем общие множители:

$x^3(x-y) - y^3(x-y) = (x-y)(x^3-y^3)$.

Применим формулу разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, получим:

$(x-y)(x-y)(x^2+xy+y^2) = (x-y)^2(x^2+xy+y^2)$.

Итак, делитель равен:

$\frac{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}{x^2y^2}$.

5. Теперь выполним деление результата шага 3 на результат шага 4:

$\frac{y^3-x^3}{x^2y^2} : \frac{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}{x^2y^2} = \frac{y^3-x^3}{x^2y^2} \cdot \frac{x^2y^2}{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}$.

Сократим $x^2y^2$ и разложим числитель $y^3-x^3 = (y-x)(x^2+xy+y^2)$:

$\frac{(y-x)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}$.

Сократим на общий множитель $(x^2+xy+y^2)$ (который не равен нулю для любых действительных $x$ и $y$, не равных нулю одновременно):

$\frac{y-x}{(x-y)^2}$.

Поскольку $y-x = -(x-y)$, мы можем записать:

$\frac{-(x-y)}{(x-y)^2} = -\frac{1}{x-y} = \frac{1}{y-x}$.

Ответ: $\frac{1}{y-x}$.

б) В числителе первой дроби, $\frac{a-b}{a(a-2)+4}$, вероятно, допущена опечатка. Переменная $b$ встречается только один раз во всем выражении, что не позволяет значительно упростить его в общем виде. Если предположить, что вместо $b$ должно стоять число 2, то задача имеет логичное и простое решение, характерное для учебных примеров. Будем решать задачу при условии $b=2$.

Исходное выражение принимает вид:

$\frac{a-2}{a(a-2)+4} + \frac{8+4(1-a)+a^2}{8+a^3} - \frac{1}{2+a}$.

1. Упростим отдельные части выражения.

Знаменатель первой дроби: $a(a-2)+4 = a^2-2a+4$.

Числитель второй дроби: $8+4(1-a)+a^2 = 8+4-4a+a^2 = a^2-4a+12$.

Знаменатель второй дроби (используя формулу суммы кубов): $8+a^3 = 2^3+a^3 = (2+a)(4-2a+a^2) = (a+2)(a^2-2a+4)$.

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{a-2}{a^2-2a+4} + \frac{a^2-4a+12}{(a+2)(a^2-2a+4)} - \frac{1}{a+2}$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $(a+2)(a^2-2a+4)$.

$\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} + \frac{a^2-4a+12}{(a+2)(a^2-2a+4)} - \frac{1 \cdot (a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}$.

3. Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$\frac{(a^2-4) + (a^2-4a+12) - (a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$a^2-4 + a^2-4a+12 - a^2+2a-4 = (a^2+a^2-a^2) + (-4a+2a) + (-4+12-4) = a^2-2a+4$.

4. Полученная дробь имеет вид:

$\frac{a^2-2a+4}{(a+2)(a^2-2a+4)}$.

5. Сократим дробь на общий множитель $(a^2-2a+4)$. Этот множитель не равен нулю ни при каком действительном значении $a$, так как его дискриминант $D = (-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 4 = 4-16 = -12 < 0$.

$\frac{1}{a+2}$.

Ответ: $\frac{1}{a+2}$.

930. a) $a : \frac{a - 1}{2} - \frac{a^2 + 3a(a - 1) - 1}{2a^2 + 2a} \cdot \frac{-4a}{a^2 + 1 - 2a} - \frac{4a^2}{a^2 - 1}$;

б) $\left(\frac{3}{2} - \left(x^4 - \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1}\right)\right) \cdot \frac{x^3 - x(4x - 1) - 4}{x^7 + 6x^6 - x - 6} : \frac{x^2 + 29x + 78}{3x^2 + 12x - 36}$.

a)

Упростим выражение по действиям. Исходное выражение:

$a : \frac{a-1}{2} - \frac{a^2+3a(a-1)-1}{2a^2+2a} \cdot \frac{-4a}{a^2+1-2a} - \frac{4a^2}{a^2-1}$

1. Выполним первое действие — деление:

$a : \frac{a-1}{2} = a \cdot \frac{2}{a-1} = \frac{2a}{a-1}$

2. Выполним второе действие — умножение дробей. Сначала упростим числители и знаменатели.

Числитель первой дроби: $a^2+3a(a-1)-1 = a^2+3a^2-3a-1 = 4a^2-3a-1$. Найдем корни квадратного трехчлена $4a^2-3a-1=0$. Дискриминант $D = (-3)^2-4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9+16=25$. Корни $a_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{8}$, т.е. $a_1=1$, $a_2 = -\frac{1}{4}$. Тогда $4a^2-3a-1 = 4(a-1)(a+\frac{1}{4}) = (a-1)(4a+1)$.

Знаменатель первой дроби: $2a^2+2a = 2a(a+1)$.

Знаменатель второй дроби: $a^2+1-2a = (a-1)^2$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{a^2+3a(a-1)-1}{2a^2+2a} \cdot \frac{-4a}{a^2+1-2a} = \frac{(a-1)(4a+1)}{2a(a+1)} \cdot \frac{-4a}{(a-1)^2}$

Сократим общие множители $2a$ и $(a-1)$:

$\frac{4a+1}{a+1} \cdot \frac{-2}{a-1} = -\frac{2(4a+1)}{(a+1)(a-1)} = -\frac{8a+2}{a^2-1}$

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$\frac{2a}{a-1} - (-\frac{8a+2}{a^2-1}) - \frac{4a^2}{a^2-1} = \frac{2a}{a-1} + \frac{8a+2}{a^2-1} - \frac{4a^2}{a^2-1}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $a^2-1=(a-1)(a+1)$:

$\frac{2a(a+1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{8a+2}{a^2-1} - \frac{4a^2}{a^2-1} = \frac{2a^2+2a}{a^2-1} + \frac{8a+2}{a^2-1} - \frac{4a^2}{a^2-1}$

5. Сложим и вычтем числители:

$\frac{2a^2+2a+8a+2-4a^2}{a^2-1} = \frac{-2a^2+10a+2}{a^2-1}$

Можно вынести -2 за скобки в числителе: $\frac{-2(a^2-5a-1)}{a^2-1}$.

Ответ: $\frac{-2a^2+10a+2}{a^2-1}$

б)

Упростим выражение по действиям. Исходное выражение:

$(\frac{3}{2}-(\_x^4-\frac{x^4+1}{x^2+1})\cdot\frac{x^3-x(4x-1)-4}{x^7+6x^6-x-6}):\frac{x^2+29x+78}{3x^2+12x-36}$

1. Упростим выражение в первых внутренних скобках:

$x^4-\frac{x^4+1}{x^2+1} = \frac{x^4(x^2+1)-(x^4+1)}{x^2+1} = \frac{x^6+x^4-x^4-1}{x^2+1} = \frac{x^6-1}{x^2+1}$

2. Упростим вторую дробь в больших скобках. Сначала числитель:

$x^3-x(4x-1)-4 = x^3-4x^2+x-4 = x^2(x-4)+1(x-4) = (x^2+1)(x-4)$

Теперь знаменатель:

$x^7+6x^6-x-6 = x^6(x+6)-(x+6) = (x^6-1)(x+6)$

Вторая дробь равна: $\frac{(x^2+1)(x-4)}{(x^6-1)(x+6)}$

3. Выполним умножение выражений, полученных в шагах 1 и 2:

$\frac{x^6-1}{x^2+1} \cdot \frac{(x^2+1)(x-4)}{(x^6-1)(x+6)}$

Сокращая $(x^6-1)$ и $(x^2+1)$, получаем:

$\frac{x-4}{x+6}$

4. Выполним вычитание в больших скобках:

$\frac{3}{2} - \frac{x-4}{x+6} = \frac{3(x+6) - 2(x-4)}{2(x+6)} = \frac{3x+18-2x+8}{2(x+6)} = \frac{x+26}{2(x+6)}$

5. Упростим дробь-делитель. Числитель: $x^2+29x+78$. Найдем корни: $D=29^2-4 \cdot 78 = 841-312 = 529 = 23^2$. Корни $x_{1,2}=\frac{-29 \pm 23}{2}$, т.е. $x_1=-26$, $x_2=-3$. Итак, $x^2+29x+78=(x+26)(x+3)$.

Знаменатель: $3x^2+12x-36 = 3(x^2+4x-12)$. Корни $x^2+4x-12=0$ это $x_1=-6, x_2=2$. Итак, $3(x+6)(x-2)$.

Дробь-делитель равна: $\frac{(x+26)(x+3)}{3(x+6)(x-2)}$

6. Выполним конечное деление:

$\frac{x+26}{2(x+6)} : \frac{(x+26)(x+3)}{3(x+6)(x-2)} = \frac{x+26}{2(x+6)} \cdot \frac{3(x+6)(x-2)}{(x+26)(x+3)}$

Сократим $(x+26)$ и $(x+6)$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3(x-2)}{x+3} = \frac{3(x-2)}{2(x+3)}$

Ответ: $\frac{3(x-2)}{2(x+3)}$

931. a) $\left(\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 4} - \frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 7x + 10}\right) : \frac{4x + 16}{x - 2};$

б) $\left(\frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 - 25} - \frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 8x + 15}\right) : \frac{4x + 10}{5 - x}.$

a)

Упростим выражение $\left(\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 4} - \frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 7x + 10}\right) : \frac{4x + 16}{x - 2}$ по действиям.

1. Первым действием выполним вычитание в скобках. Для этого разложим на множители числители и знаменатели дробей. Квадратные трехчлены разложим по формуле $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1, x_2$ - корни уравнения $ax^2+bx+c=0$. Знаменатель $x^2-4$ разложим по формуле разности квадратов.

• $x^2 - x - 6 = 0$; по теореме Виета, $x_1+x_2=1, x_1x_2=-6$, откуда $x_1=3, x_2=-2$. Значит, $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.

• $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

• $x^2 - 4x - 5 = 0$; по теореме Виета, $x_1+x_2=4, x_1x_2=-5$, откуда $x_1=5, x_2=-1$. Значит, $x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$.

• $x^2 - 7x + 10 = 0$; по теореме Виета, $x_1+x_2=7, x_1x_2=10$, откуда $x_1=5, x_2=2$. Значит, $x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)$.

Подставим разложения в выражение в скобках и сократим дроби:

$\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 4} - \frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 7x + 10} = \frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{(x - 5)(x + 1)}{(x - 5)(x - 2)} = \frac{x - 3}{x - 2} - \frac{x + 1}{x - 2}$.

2. Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{x - 3}{x - 2} - \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{(x - 3) - (x + 1)}{x - 2} = \frac{x - 3 - x - 1}{x - 2} = \frac{-4}{x - 2}$.

3. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{-4}{x - 2} : \frac{4x + 16}{x - 2} = \frac{-4}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4x + 16}$.

Разложим на множители числитель второй дроби: $4x+16 = 4(x+4)$.

$\frac{-4}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4(x + 4)} = \frac{-4 \cdot (x - 2)}{(x - 2) \cdot 4(x + 4)}$.

4. Сократим полученную дробь:

$\frac{-4 \cdot (x - 2)}{(x - 2) \cdot 4(x + 4)} = \frac{-1}{x + 4}$.

Ответ: $-\frac{1}{x + 4}$.

б)

Упростим выражение $\left(\frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 - 25} - \frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 8x + 15}\right) : \frac{4x + 10}{5 - x}$ по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках. Разложим на множители числители и знаменатели.

• $x^2 - 3x - 10 = 0$; по теореме Виета, $x_1+x_2=3, x_1x_2=-10$, откуда $x_1=5, x_2=-2$. Значит, $x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$.

• $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.

• $x^2 + x - 12 = 0$; по теореме Виета, $x_1+x_2=-1, x_1x_2=-12$, откуда $x_1=3, x_2=-4$. Значит, $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.

• $x^2 - 8x + 15 = 0$; по теореме Виета, $x_1+x_2=8, x_1x_2=15$, откуда $x_1=5, x_2=3$. Значит, $x^2 - 8x + 15 = (x - 5)(x - 3)$.

Подставим разложения и сократим дроби:

$\frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 - 25} - \frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 8x + 15} = \frac{(x - 5)(x + 2)}{(x - 5)(x + 5)} - \frac{(x + 4)(x - 3)}{(x - 5)(x - 3)} = \frac{x + 2}{x + 5} - \frac{x + 4}{x - 5}$.

2. Приведем дроби к общему знаменателю $(x+5)(x-5)$ и выполним вычитание:

$\frac{(x + 2)(x - 5)}{(x + 5)(x - 5)} - \frac{(x + 4)(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = \frac{x^2 - 5x + 2x - 10 - (x^2 + 5x + 4x + 20)}{(x + 5)(x - 5)}$.

$\frac{x^2 - 3x - 10 - x^2 - 9x - 20}{(x + 5)(x - 5)} = \frac{-12x - 30}{(x + 5)(x - 5)} = \frac{-6(2x + 5)}{(x + 5)(x - 5)}$.

3. Выполним деление. Заметим, что $5 - x = -(x - 5)$.

$\frac{-6(2x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} : \frac{4x + 10}{5 - x} = \frac{-6(2x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} \cdot \frac{5 - x}{4x + 10}$.

Разложим $4x+10 = 2(2x+5)$ и заменим $5-x$ на $-(x-5)$:

$\frac{-6(2x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} \cdot \frac{-(x - 5)}{2(2x + 5)}$.

4. Сократим полученное выражение. Минус на минус дает плюс.

$\frac{6(2x + 5)(x - 5)}{2(x + 5)(x - 5)(2x + 5)} = \frac{6}{2(x + 5)} = \frac{3}{x + 5}$.

Ответ: $\frac{3}{x + 5}$.

932. a) $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+5)}$

б) $\frac{1}{1-x} + \frac{1}{x+1} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{4}{1+x^4} + \frac{8}{1+x^8} + \frac{16}{1+x^{16}}$

а) Данное выражение представляет собой сумму дробей. Заметим, что каждую дробь вида $\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}$ можно разложить на разность двух более простых дробей (этот метод известен как разложение на простейшие дроби):

$\frac{1}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{(x+n+1)-(x+n)}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{x+n+1}{(x+n)(x+n+1)} - \frac{x+n}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1}$

Применим это правило для каждого слагаемого в исходной сумме:

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+5)} =$

$= \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) + \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) + \left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}\right) + \left(\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}\right) + \left(\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+5}\right)$

Это телескопическая сумма. Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{x+1}$ и $+\frac{1}{x+1}$, $-\frac{1}{x+2}$ и $+\frac{1}{x+2}$, и так далее. Остаются только первое и последнее слагаемые:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+5}$

Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+5} = \frac{1 \cdot (x+5) - 1 \cdot x}{x(x+5)} = \frac{x+5-x}{x(x+5)} = \frac{5}{x(x+5)}$

Ответ: $\frac{5}{x(x+5)}$

б) Для упрощения этого выражения будем последовательно складывать слагаемые, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Сложим первые два слагаемых:

$\frac{1}{1-x} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{1 \cdot (1+x) + 1 \cdot (1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{1+x+1-x}{1-x^2} = \frac{2}{1-x^2}$

Теперь к результату прибавим третье слагаемое:

$\frac{2}{1-x^2} + \frac{2}{1+x^2} = \frac{2(1+x^2) + 2(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)} = \frac{2+2x^2+2-2x^2}{1-(x^2)^2} = \frac{4}{1-x^4}$

Прибавим четвертое слагаемое:

$\frac{4}{1-x^4} + \frac{4}{1+x^4} = \frac{4(1+x^4) + 4(1-x^4)}{(1-x^4)(1+x^4)} = \frac{4+4x^4+4-4x^4}{1-(x^4)^2} = \frac{8}{1-x^8}$

Прибавим пятое слагаемое:

$\frac{8}{1-x^8} + \frac{8}{1+x^8} = \frac{8(1+x^8) + 8(1-x^8)}{(1-x^8)(1+x^8)} = \frac{8+8x^8+8-8x^8}{1-(x^8)^2} = \frac{16}{1-x^{16}}$

И наконец, прибавим последнее, шестое слагаемое:

$\frac{16}{1-x^{16}} + \frac{16}{1+x^{16}} = \frac{16(1+x^{16}) + 16(1-x^{16})}{(1-x^{16})(1+x^{16})} = \frac{16+16x^{16}+16-16x^{16}}{1-(x^{16})^2} = \frac{32}{1-x^{32}}$

Ответ: $\frac{32}{1-x^{32}}$

933. Упростите выражение и найдите его значение при заданном значении буквы:

a) $ \left( \frac{m^3 + 1}{m + 1} - m \right) : \left( 1 - m^2 \right) - \frac{m}{1 + m} $ при $ m = -\frac{1}{3} $

б) $ \left( \frac{a^3 - 8}{a - 2} + 2a \right) : \left( 4 - a^2 \right) - \frac{a - 1}{2 - a} $ при $ a = \frac{2}{5} $

а) Сначала упростим данное выражение. Выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках: $\frac{m^3 + 1}{m + 1} - m$. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к числителю дроби.

$\frac{m^3 + 1}{m + 1} - m = \frac{(m+1)(m^2 - m \cdot 1 + 1^2)}{m+1} - m = \frac{(m+1)(m^2 - m + 1)}{m+1} - m$.

Сократим дробь на $(m+1)$ (при условии $m \neq -1$):

$(m^2 - m + 1) - m = m^2 - 2m + 1$.

Полученное выражение является полным квадратом разности: $m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$.

2. Теперь выполним деление результата первого действия на выражение $(1 - m^2)$.

$(m-1)^2 : (1 - m^2)$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для делителя: $1 - m^2 = (1-m)(1+m)$.

Также учтем, что $(m-1)^2 = (-(1-m))^2 = (1-m)^2$.

$\frac{(m-1)^2}{1 - m^2} = \frac{(1-m)^2}{(1-m)(1+m)} = \frac{1-m}{1+m}$.

3. Выполним последнее действие — вычитание.

$\frac{1-m}{1+m} - \frac{m}{1+m} = \frac{1-m-m}{1+m} = \frac{1-2m}{1+m}$.

4. Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значение при $m = -\frac{1}{3}$.

$\frac{1-2(-\frac{1}{3})}{1+(-\frac{1}{3})} = \frac{1+\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{3}+\frac{2}{3}}{\frac{3}{3}-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: $2,5$.

б) Сначала упростим данное выражение. Выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках: $\frac{a^3 - 8}{a - 2} + 2a$. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ к числителю дроби.

$\frac{a^3 - 2^3}{a - 2} + 2a = \frac{(a-2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2)}{a-2} + 2a = \frac{(a-2)(a^2 + 2a + 4)}{a-2} + 2a$.

Сократим дробь на $(a-2)$ (при условии $a \neq 2$):

$(a^2 + 2a + 4) + 2a = a^2 + 4a + 4$.

Полученное выражение является полным квадратом суммы: $a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$.

2. Теперь выполним деление результата первого действия на выражение $(4 - a^2)$.

$(a+2)^2 : (4 - a^2)$.

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для делителя: $4 - a^2 = (2-a)(2+a)$.

$\frac{(a+2)^2}{4 - a^2} = \frac{(a+2)^2}{(2-a)(2+a)} = \frac{a+2}{2-a}$.

3. Выполним последнее действие — вычитание.

$\frac{a+2}{2-a} - \frac{a-1}{2-a} = \frac{(a+2)-(a-1)}{2-a} = \frac{a+2-a+1}{2-a} = \frac{3}{2-a}$.

4. Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значение при $a = \frac{2}{5}$.

$\frac{3}{2 - \frac{2}{5}} = \frac{3}{\frac{10}{5} - \frac{2}{5}} = \frac{3}{\frac{8}{5}} = 3 \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{8}$.

Ответ: $\frac{15}{8}$.

Найдите значение выражения (934–937):

934. а) $(1 - \frac{1}{1-x}) : (\frac{1-2x^2}{1-x} - x - 1)$ при $x = \frac{1}{2};$

б) $\frac{m^2 - m + 1}{m^2 - 2m + 1} : (m - \frac{1}{1-m}) - \frac{1}{m^2 - m}$ при $m = 0,07.$

Упростим данное выражение, прежде чем подставлять значение переменной. Выполним действия по порядку.

1. Преобразуем выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю $(1-x)$:

$1 - \frac{1}{1-x} = \frac{1 \cdot (1-x)}{1-x} - \frac{1}{1-x} = \frac{1-x-1}{1-x} = \frac{-x}{1-x}$.

2. Преобразуем выражение во второй скобке, также приведя все члены к общему знаменателю $(1-x)$:

$\frac{1-2x^2}{1-x} - x - 1 = \frac{1-2x^2}{1-x} - \frac{x(1-x)}{1-x} - \frac{1(1-x)}{1-x} = \frac{1-2x^2 - (x-x^2) - (1-x)}{1-x}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{1 - 2x^2 - x + x^2 - 1 + x}{1-x} = \frac{(1-1) + (-x+x) + (-2x^2+x^2)}{1-x} = \frac{-x^2}{1-x}$.

3. Теперь выполним деление результатов, полученных в шагах 1 и 2. Деление дробей заменяется умножением на перевернутую дробь:

$\left(\frac{-x}{1-x}\right) : \left(\frac{-x^2}{1-x}\right) = \frac{-x}{1-x} \cdot \frac{1-x}{-x^2}$.

Сократим одинаковые множители $(-x)$ и $(1-x)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$):

$\frac{-x \cdot (1-x)}{(1-x) \cdot (-x^2)} = \frac{1}{x}$.

4. В результате упрощения исходное выражение стало равно $\frac{1}{x}$. Теперь подставим в него значение $x = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{1/2} = 1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: 2

Упростим исходное выражение по действиям, прежде чем подставлять значение $m$.

1. Выполним действие в скобках. Для этого приведем к общему знаменателю. Заметим, что $1-m = -(m-1)$, поэтому $\frac{1}{1-m} = -\frac{1}{m-1}$.

$m - \frac{1}{1-m} = m + \frac{1}{m-1} = \frac{m(m-1)}{m-1} + \frac{1}{m-1} = \frac{m^2-m+1}{m-1}$.

2. Выполним деление. Учтем, что знаменатель первой дроби $m^2 - 2m + 1$ является формулой квадрата разности: $(m-1)^2$.

$\frac{m^2 - m + 1}{m^2 - 2m + 1} : \left(m - \frac{1}{1-m}\right) = \frac{m^2 - m + 1}{(m-1)^2} : \frac{m^2-m+1}{m-1}$.

Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

$\frac{m^2 - m + 1}{(m-1)^2} \cdot \frac{m-1}{m^2-m+1} = \frac{1}{m-1}$.

3. Выполним вычитание. Для этого разложим знаменатель второй дроби на множители: $m^2-m = m(m-1)$.

$\frac{1}{m-1} - \frac{1}{m^2-m} = \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m(m-1)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $m(m-1)$:

$\frac{m}{m(m-1)} - \frac{1}{m(m-1)} = \frac{m-1}{m(m-1)}$.

Сократим дробь на $(m-1)$ (при условии $m \neq 1$):

$\frac{1}{m}$.

4. После всех упрощений исходное выражение равно $\frac{1}{m}$. Подставим в него заданное значение $m = 0,07$:

$\frac{1}{m} = \frac{1}{0,07} = \frac{1}{7/100} = 1 \cdot \frac{100}{7} = \frac{100}{7}$.

Ответ: $\frac{100}{7}$

935. a) $(a^2 - 1) \cdot \left(\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1\right)$ при $a = -0,03;$

б) $\left(\frac{1}{p+1} - \frac{3}{p^3+1} + \frac{3}{p^2-p+1}\right) \cdot \left(p - \frac{2p-1}{p+1}\right)$ при $p = -\frac{1}{3}.$

Сначала упростим данное выражение $(a^2 - 1) \cdot \left(\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1\right)$.

1. Выполним действия в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-1)(a+1) = a^2 - 1$:

$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1 = \frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{(a-1)(a+1)}{(a-1)(a+1)}$

$= \frac{a+1 - (a-1) + a^2-1}{a^2-1} = \frac{a+1-a+1+a^2-1}{a^2-1} = \frac{a^2+1}{a^2-1}$

2. Теперь умножим полученный результат на первый множитель $(a^2 - 1)$:

$(a^2 - 1) \cdot \frac{a^2+1}{a^2-1}$

Сократим $(a^2 - 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a^2 - 1 \neq 0$, то есть $a \neq \pm 1$). Получаем:

$a^2 + 1$

3. Подставим значение $a = -0,03$ в упрощенное выражение:

$(-0,03)^2 + 1 = 0,0009 + 1 = 1,0009$

Ответ: $1,0009$

Сначала упростим данное выражение $\left(\frac{1}{p+1} - \frac{3}{p^3+1} + \frac{3}{p^2-p+1}\right) \cdot \left(p - \frac{2p-1}{p+1}\right)$.

1. Упростим выражение в первой скобке. Используем формулу суммы кубов: $p^3+1 = (p+1)(p^2-p+1)$. Это будет общий знаменатель.

$\frac{1}{p+1} - \frac{3}{p^3+1} + \frac{3}{p^2-p+1} = \frac{1 \cdot (p^2-p+1)}{(p+1)(p^2-p+1)} - \frac{3}{(p+1)(p^2-p+1)} + \frac{3 \cdot (p+1)}{(p+1)(p^2-p+1)}$

Объединим дроби:

$\frac{p^2-p+1 - 3 + 3(p+1)}{p^3+1} = \frac{p^2-p+1-3+3p+3}{p^3+1} = \frac{p^2+2p+1}{p^3+1}$

Числитель является полным квадратом $(p+1)^2$. Запишем выражение в виде:

$\frac{(p+1)^2}{(p+1)(p^2-p+1)}$

Сократим на $(p+1)$ (при условии, что $p \neq -1$):

$\frac{p+1}{p^2-p+1}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Приведем к общему знаменателю $p+1$:

$p - \frac{2p-1}{p+1} = \frac{p(p+1)}{p+1} - \frac{2p-1}{p+1} = \frac{p^2+p-(2p-1)}{p+1} = \frac{p^2+p-2p+1}{p+1} = \frac{p^2-p+1}{p+1}$

3. Теперь перемножим упрощенные выражения из обеих скобок:

$\frac{p+1}{p^2-p+1} \cdot \frac{p^2-p+1}{p+1}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Получаем:

$1$

Результат равен 1 при всех допустимых значениях $p$ (то есть, $p \neq -1$).

4. Поскольку выражение равно 1, его значение не зависит от $p$. Следовательно, при $p = -\frac{1}{3}$ значение выражения также равно 1.

Ответ: $1$