Номер 931, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

931. a) $\left(\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 4} - \frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 7x + 10}\right) : \frac{4x + 16}{x - 2};$

б) $\left(\frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 - 25} - \frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 8x + 15}\right) : \frac{4x + 10}{5 - x}.$

a)

Упростим выражение $\left(\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 4} - \frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 7x + 10}\right) : \frac{4x + 16}{x - 2}$ по действиям.

1. Первым действием выполним вычитание в скобках. Для этого разложим на множители числители и знаменатели дробей. Квадратные трехчлены разложим по формуле $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1, x_2$ - корни уравнения $ax^2+bx+c=0$. Знаменатель $x^2-4$ разложим по формуле разности квадратов.

• $x^2 - x - 6 = 0$; по теореме Виета, $x_1+x_2=1, x_1x_2=-6$, откуда $x_1=3, x_2=-2$. Значит, $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.

• $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

• $x^2 - 4x - 5 = 0$; по теореме Виета, $x_1+x_2=4, x_1x_2=-5$, откуда $x_1=5, x_2=-1$. Значит, $x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$.

• $x^2 - 7x + 10 = 0$; по теореме Виета, $x_1+x_2=7, x_1x_2=10$, откуда $x_1=5, x_2=2$. Значит, $x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)$.

Подставим разложения в выражение в скобках и сократим дроби:

$\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 4} - \frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 7x + 10} = \frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{(x - 5)(x + 1)}{(x - 5)(x - 2)} = \frac{x - 3}{x - 2} - \frac{x + 1}{x - 2}$.

2. Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{x - 3}{x - 2} - \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{(x - 3) - (x + 1)}{x - 2} = \frac{x - 3 - x - 1}{x - 2} = \frac{-4}{x - 2}$.

3. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{-4}{x - 2} : \frac{4x + 16}{x - 2} = \frac{-4}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4x + 16}$.

Разложим на множители числитель второй дроби: $4x+16 = 4(x+4)$.

$\frac{-4}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4(x + 4)} = \frac{-4 \cdot (x - 2)}{(x - 2) \cdot 4(x + 4)}$.

4. Сократим полученную дробь:

$\frac{-4 \cdot (x - 2)}{(x - 2) \cdot 4(x + 4)} = \frac{-1}{x + 4}$.

Ответ: $-\frac{1}{x + 4}$.

б)

Упростим выражение $\left(\frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 - 25} - \frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 8x + 15}\right) : \frac{4x + 10}{5 - x}$ по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках. Разложим на множители числители и знаменатели.

• $x^2 - 3x - 10 = 0$; по теореме Виета, $x_1+x_2=3, x_1x_2=-10$, откуда $x_1=5, x_2=-2$. Значит, $x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$.

• $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.

• $x^2 + x - 12 = 0$; по теореме Виета, $x_1+x_2=-1, x_1x_2=-12$, откуда $x_1=3, x_2=-4$. Значит, $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.

• $x^2 - 8x + 15 = 0$; по теореме Виета, $x_1+x_2=8, x_1x_2=15$, откуда $x_1=5, x_2=3$. Значит, $x^2 - 8x + 15 = (x - 5)(x - 3)$.

Подставим разложения и сократим дроби:

$\frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 - 25} - \frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 8x + 15} = \frac{(x - 5)(x + 2)}{(x - 5)(x + 5)} - \frac{(x + 4)(x - 3)}{(x - 5)(x - 3)} = \frac{x + 2}{x + 5} - \frac{x + 4}{x - 5}$.

2. Приведем дроби к общему знаменателю $(x+5)(x-5)$ и выполним вычитание:

$\frac{(x + 2)(x - 5)}{(x + 5)(x - 5)} - \frac{(x + 4)(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = \frac{x^2 - 5x + 2x - 10 - (x^2 + 5x + 4x + 20)}{(x + 5)(x - 5)}$.

$\frac{x^2 - 3x - 10 - x^2 - 9x - 20}{(x + 5)(x - 5)} = \frac{-12x - 30}{(x + 5)(x - 5)} = \frac{-6(2x + 5)}{(x + 5)(x - 5)}$.

3. Выполним деление. Заметим, что $5 - x = -(x - 5)$.

$\frac{-6(2x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} : \frac{4x + 10}{5 - x} = \frac{-6(2x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} \cdot \frac{5 - x}{4x + 10}$.

Разложим $4x+10 = 2(2x+5)$ и заменим $5-x$ на $-(x-5)$:

$\frac{-6(2x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} \cdot \frac{-(x - 5)}{2(2x + 5)}$.

4. Сократим полученное выражение. Минус на минус дает плюс.

$\frac{6(2x + 5)(x - 5)}{2(x + 5)(x - 5)(2x + 5)} = \frac{6}{2(x + 5)} = \frac{3}{x + 5}$.

Ответ: $\frac{3}{x + 5}$.