Номер 938, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (938–940).

938. Докажите справедливость равенства:

a) $ \frac{5x}{x+y} \cdot \left( \frac{xy+y^2}{5x-5y} + xy+y^2 \right) - \frac{xy}{x-y} = 5xy $

б) $ \frac{a-5}{6-3a} + \frac{4(a+1)}{a^2+4a} : \left( \frac{9a}{a^2-16} - \frac{a+4}{a^2-4a} \right) = \frac{1}{6} $

а) Для доказательства справедливости равенства преобразуем его левую часть. Первым шагом раскроем скобки, умножив множитель $\frac{5x}{x+y}$ на каждый член в скобках:
$\frac{5x}{x+y} \cdot \left(\frac{xy+y^2}{5x-5y} + xy + y^2\right) - \frac{xy}{x-y} = \frac{5x}{x+y} \cdot \frac{xy+y^2}{5x-5y} + \frac{5x}{x+y} \cdot (xy+y^2) - \frac{xy}{x-y}$.
Теперь упростим получившиеся слагаемые. Первое слагаемое: разложим на множители числитель и знаменатель дроби и сократим:
$\frac{5x}{x+y} \cdot \frac{y(x+y)}{5(x-y)} = \frac{x \cdot y}{x-y} = \frac{xy}{x-y}$.
Второе слагаемое: вынесем общий множитель и сократим:
$\frac{5x}{x+y} \cdot y(x+y) = 5xy$.
Подставим упрощенные выражения обратно в левую часть равенства:
$\frac{xy}{x-y} + 5xy - \frac{xy}{x-y}$.
Приведя подобные слагаемые, видим, что $\frac{xy}{x-y}$ и $-\frac{xy}{x-y}$ взаимно уничтожаются. В результате остается $5xy$.
Таким образом, левая часть тождественно равна правой: $5xy = 5xy$. Равенство доказано.
Ответ: равенство справедливо.

б) Для доказательства справедливости равенства преобразуем его левую часть, выполняя действия в соответствии с их порядком.
1. Выполним действие в скобках (вычитание):
$\frac{9a}{a^2 - 16} - \frac{a+4}{a^2 - 4a} = \frac{9a}{(a-4)(a+4)} - \frac{a+4}{a(a-4)}$.
Приводим к общему знаменателю $a(a-4)(a+4)$:
$\frac{9a \cdot a - (a+4)(a+4)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{9a^2 - (a^2+8a+16)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{8a^2-8a-16}{a(a-4)(a+4)}$.
Разложим числитель на множители: $8(a^2-a-2) = 8(a-2)(a+1)$.
Результат в скобках: $\frac{8(a-2)(a+1)}{a(a-4)(a+4)}$.
2. Выполним деление:
$\frac{4(a+1)}{a^2+4a} : \frac{8(a-2)(a+1)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{4(a+1)}{a(a+4)} \cdot \frac{a(a-4)(a+4)}{8(a-2)(a+1)}$.
После сокращения общих множителей ($4$, $a$, $(a+1)$, $(a+4)$) получаем:
$\frac{a-4}{2(a-2)}$.
3. Выполним сложение:
$\frac{a-5}{6-3a} + \frac{a-4}{2(a-2)} = \frac{a-5}{-3(a-2)} + \frac{a-4}{2(a-2)} = -\frac{a-5}{3(a-2)} + \frac{a-4}{2(a-2)}$.
Приводим к общему знаменателю $6(a-2)$:
$\frac{-2(a-5) + 3(a-4)}{6(a-2)} = \frac{-2a+10+3a-12}{6(a-2)} = \frac{a-2}{6(a-2)}$.
Сократив дробь на $(a-2)$, получаем $\frac{1}{6}$.
Левая часть равна $\frac{1}{6}$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.
Ответ: равенство справедливо.