Номер 936, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

936. a) $\left(\frac{4x}{4-x^2} - \frac{x-2}{4+2x}\right) \cdot \frac{4}{x+2} - \frac{x}{1-x^2}$ при $x = -1,5;$

б) $\frac{a}{1-a} - \frac{1-a^2}{1+a^2} \cdot \left(\frac{1}{(a-2)^2} - \frac{a}{1-a^2}\right)$ при $a = 2,5.$

а) Сначала упростим данное алгебраическое выражение: $\left(\frac{4x}{4-x^2} - \frac{x-2}{4+2x}\right) \cdot \frac{4}{x+2} - \frac{x}{1-x^2}$.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{4x}{4-x^2} - \frac{x-2}{4+2x} = \frac{4x}{(2-x)(2+x)} - \frac{x-2}{2(2+x)}$

Общий знаменатель равен $2(2-x)(2+x)$.

$\frac{2 \cdot 4x}{2(2-x)(2+x)} - \frac{(x-2)(2-x)}{2(2-x)(2+x)} = \frac{8x - (-(2-x))(2-x)}{2(2-x)(2+x)} = \frac{8x + (2-x)^2}{2(2-x)(2+x)}$

Раскроем квадрат в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{8x + 4 - 4x + x^2}{2(2-x)(2+x)} = \frac{x^2+4x+4}{2(2-x)(2+x)}$

Числитель является полным квадратом $(x+2)^2$. Сократим дробь:

$\frac{(x+2)^2}{2(2-x)(2+x)} = \frac{x+2}{2(2-x)}$

2. Умножим полученный результат на $\frac{4}{x+2}$:

$\frac{x+2}{2(2-x)} \cdot \frac{4}{x+2} = \frac{4(x+2)}{2(2-x)(x+2)} = \frac{2}{2-x}$

3. Теперь всё выражение имеет вид:

$\frac{2}{2-x} - \frac{x}{1-x^2}$

4. Подставим значение $x = -1,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{2}{2 - (-1,5)} - \frac{-1,5}{1 - (-1,5)^2} = \frac{2}{2 + 1,5} - \frac{-1,5}{1 - 2,25} = \frac{2}{3,5} - \frac{-1,5}{-1,25} = \frac{2}{3,5} - \frac{1,5}{1,25}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные и выполним вычисления:

$\frac{20}{35} - \frac{150}{125} = \frac{4}{7} - \frac{6}{5} = \frac{4 \cdot 5}{35} - \frac{6 \cdot 7}{35} = \frac{20 - 42}{35} = -\frac{22}{35}$

Ответ: $-\frac{22}{35}$

б) В выражении $\frac{a}{1-a} - \frac{1-a^2}{1+a^2} \cdot \left(\frac{1}{(a-2)^2} - \frac{a}{1-a^2}\right)$ подставим значение $a = 2,5$ и вычислим по частям.

1. Вычислим значение первого слагаемого:

$\frac{a}{1-a} = \frac{2,5}{1-2,5} = \frac{2,5}{-1,5} = -\frac{25}{15} = -\frac{5}{3}$

2. Вычислим значение множителя перед скобкой:

$\frac{1-a^2}{1+a^2} = \frac{1 - (2,5)^2}{1 + (2,5)^2} = \frac{1 - 6,25}{1 + 6,25} = \frac{-5,25}{7,25} = -\frac{525}{725} = -\frac{21 \cdot 25}{29 \cdot 25} = -\frac{21}{29}$

3. Вычислим значение выражения в скобках $\left(\frac{1}{(a-2)^2} - \frac{a}{1-a^2}\right)$:

Первый член в скобках: $\frac{1}{(2,5-2)^2} = \frac{1}{(0,5)^2} = \frac{1}{0,25} = 4$.

Второй член в скобках: $\frac{a}{1-a^2} = \frac{2,5}{1-(2,5)^2} = \frac{2,5}{1-6,25} = \frac{2,5}{-5,25} = -\frac{250}{525} = -\frac{10 \cdot 25}{21 \cdot 25} = -\frac{10}{21}$.

Значение выражения в скобках: $4 - \left(-\frac{10}{21}\right) = 4 + \frac{10}{21} = \frac{84}{21} + \frac{10}{21} = \frac{94}{21}$.

4. Выполним умножение результата из пункта 3 на результат из пункта 2:

$-\frac{21}{29} \cdot \frac{94}{21} = -\frac{94}{29}$

5. Наконец, выполним вычитание, объединив результат из пункта 1 и пункта 4:

$-\frac{5}{3} - \left(-\frac{94}{29}\right) = -\frac{5}{3} + \frac{94}{29}$

Приведем к общему знаменателю $3 \cdot 29 = 87$:

$\frac{-5 \cdot 29}{87} + \frac{94 \cdot 3}{87} = \frac{-145 + 282}{87} = \frac{137}{87}$

Ответ: $\frac{137}{87}$