Номер 935, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

935. a) $(a^2 - 1) \cdot \left(\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1\right)$ при $a = -0,03;$

б) $\left(\frac{1}{p+1} - \frac{3}{p^3+1} + \frac{3}{p^2-p+1}\right) \cdot \left(p - \frac{2p-1}{p+1}\right)$ при $p = -\frac{1}{3}.$

Сначала упростим данное выражение $(a^2 - 1) \cdot \left(\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1\right)$.

1. Выполним действия в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-1)(a+1) = a^2 - 1$:

$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1 = \frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{(a-1)(a+1)}{(a-1)(a+1)}$

$= \frac{a+1 - (a-1) + a^2-1}{a^2-1} = \frac{a+1-a+1+a^2-1}{a^2-1} = \frac{a^2+1}{a^2-1}$

2. Теперь умножим полученный результат на первый множитель $(a^2 - 1)$:

$(a^2 - 1) \cdot \frac{a^2+1}{a^2-1}$

Сократим $(a^2 - 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a^2 - 1 \neq 0$, то есть $a \neq \pm 1$). Получаем:

$a^2 + 1$

3. Подставим значение $a = -0,03$ в упрощенное выражение:

$(-0,03)^2 + 1 = 0,0009 + 1 = 1,0009$

Ответ: $1,0009$

Сначала упростим данное выражение $\left(\frac{1}{p+1} - \frac{3}{p^3+1} + \frac{3}{p^2-p+1}\right) \cdot \left(p - \frac{2p-1}{p+1}\right)$.

1. Упростим выражение в первой скобке. Используем формулу суммы кубов: $p^3+1 = (p+1)(p^2-p+1)$. Это будет общий знаменатель.

$\frac{1}{p+1} - \frac{3}{p^3+1} + \frac{3}{p^2-p+1} = \frac{1 \cdot (p^2-p+1)}{(p+1)(p^2-p+1)} - \frac{3}{(p+1)(p^2-p+1)} + \frac{3 \cdot (p+1)}{(p+1)(p^2-p+1)}$

Объединим дроби:

$\frac{p^2-p+1 - 3 + 3(p+1)}{p^3+1} = \frac{p^2-p+1-3+3p+3}{p^3+1} = \frac{p^2+2p+1}{p^3+1}$

Числитель является полным квадратом $(p+1)^2$. Запишем выражение в виде:

$\frac{(p+1)^2}{(p+1)(p^2-p+1)}$

Сократим на $(p+1)$ (при условии, что $p \neq -1$):

$\frac{p+1}{p^2-p+1}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Приведем к общему знаменателю $p+1$:

$p - \frac{2p-1}{p+1} = \frac{p(p+1)}{p+1} - \frac{2p-1}{p+1} = \frac{p^2+p-(2p-1)}{p+1} = \frac{p^2+p-2p+1}{p+1} = \frac{p^2-p+1}{p+1}$

3. Теперь перемножим упрощенные выражения из обеих скобок:

$\frac{p+1}{p^2-p+1} \cdot \frac{p^2-p+1}{p+1}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Получаем:

$1$

Результат равен 1 при всех допустимых значениях $p$ (то есть, $p \neq -1$).

4. Поскольку выражение равно 1, его значение не зависит от $p$. Следовательно, при $p = -\frac{1}{3}$ значение выражения также равно 1.

Ответ: $1$