Номер 929, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

929. a) $ \left(\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)\right) : \left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} - \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)\right); $

б) $ \frac{a-b}{a(a-2)+4} + \frac{8+4(1-a)+a^2}{8+a^3} - \frac{1}{2+a}. $

а) Упростим данное выражение по действиям.

1. Сначала выполним сложение в первой скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} + \frac{y \cdot y}{x \cdot y} + \frac{xy}{xy} = \frac{x^2+y^2+xy}{xy}$.

2. Теперь выполним вычитание во второй скобке, приведя к общему знаменателю $xy$:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y-x}{xy}$.

3. Умножим результаты первых двух действий:

$\left(\frac{x^2+y^2+xy}{xy}\right) \cdot \left(\frac{y-x}{xy}\right) = \frac{(x^2+xy+y^2)(y-x)}{x^2y^2}$.

В числителе мы видим произведение, которое соответствует формуле разности кубов $y^3-x^3 = (y-x)(y^2+xy+x^2)$. Таким образом, получаем:

$\frac{y^3-x^3}{x^2y^2}$.

4. Упростим выражение, на которое производится деление (делитель):

$\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} - \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)$.

Приведем все члены к общему знаменателю $x^2y^2$:

$\frac{x^4}{x^2y^2} + \frac{y^4}{x^2y^2} - \left(\frac{x \cdot xy}{y \cdot xy} + \frac{y \cdot xy}{x \cdot xy}\right) = \frac{x^4+y^4 - (x^3y+xy^3)}{x^2y^2} = \frac{x^4-x^3y-xy^3+y^4}{x^2y^2}$.

Сгруппируем члены в числителе и вынесем общие множители:

$x^3(x-y) - y^3(x-y) = (x-y)(x^3-y^3)$.

Применим формулу разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, получим:

$(x-y)(x-y)(x^2+xy+y^2) = (x-y)^2(x^2+xy+y^2)$.

Итак, делитель равен:

$\frac{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}{x^2y^2}$.

5. Теперь выполним деление результата шага 3 на результат шага 4:

$\frac{y^3-x^3}{x^2y^2} : \frac{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}{x^2y^2} = \frac{y^3-x^3}{x^2y^2} \cdot \frac{x^2y^2}{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}$.

Сократим $x^2y^2$ и разложим числитель $y^3-x^3 = (y-x)(x^2+xy+y^2)$:

$\frac{(y-x)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}$.

Сократим на общий множитель $(x^2+xy+y^2)$ (который не равен нулю для любых действительных $x$ и $y$, не равных нулю одновременно):

$\frac{y-x}{(x-y)^2}$.

Поскольку $y-x = -(x-y)$, мы можем записать:

$\frac{-(x-y)}{(x-y)^2} = -\frac{1}{x-y} = \frac{1}{y-x}$.

Ответ: $\frac{1}{y-x}$.

б) В числителе первой дроби, $\frac{a-b}{a(a-2)+4}$, вероятно, допущена опечатка. Переменная $b$ встречается только один раз во всем выражении, что не позволяет значительно упростить его в общем виде. Если предположить, что вместо $b$ должно стоять число 2, то задача имеет логичное и простое решение, характерное для учебных примеров. Будем решать задачу при условии $b=2$.

Исходное выражение принимает вид:

$\frac{a-2}{a(a-2)+4} + \frac{8+4(1-a)+a^2}{8+a^3} - \frac{1}{2+a}$.

1. Упростим отдельные части выражения.

Знаменатель первой дроби: $a(a-2)+4 = a^2-2a+4$.

Числитель второй дроби: $8+4(1-a)+a^2 = 8+4-4a+a^2 = a^2-4a+12$.

Знаменатель второй дроби (используя формулу суммы кубов): $8+a^3 = 2^3+a^3 = (2+a)(4-2a+a^2) = (a+2)(a^2-2a+4)$.

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{a-2}{a^2-2a+4} + \frac{a^2-4a+12}{(a+2)(a^2-2a+4)} - \frac{1}{a+2}$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $(a+2)(a^2-2a+4)$.

$\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} + \frac{a^2-4a+12}{(a+2)(a^2-2a+4)} - \frac{1 \cdot (a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}$.

3. Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$\frac{(a^2-4) + (a^2-4a+12) - (a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$a^2-4 + a^2-4a+12 - a^2+2a-4 = (a^2+a^2-a^2) + (-4a+2a) + (-4+12-4) = a^2-2a+4$.

4. Полученная дробь имеет вид:

$\frac{a^2-2a+4}{(a+2)(a^2-2a+4)}$.

5. Сократим дробь на общий множитель $(a^2-2a+4)$. Этот множитель не равен нулю ни при каком действительном значении $a$, так как его дискриминант $D = (-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 4 = 4-16 = -12 < 0$.

$\frac{1}{a+2}$.

Ответ: $\frac{1}{a+2}$.