Номер 927, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

927. a) $\left(\frac{k+1}{k-1} - \frac{k-1}{k+1}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{k}{4} - \frac{1}{4k}\right);$

б) $\frac{m^3 + m^2n + mn^2 + n^3}{m^2 + 2mn + n^2} : \frac{m^4 - n^4}{(m+n)^3}.$

а)

Требуется упростить выражение: $\left(\frac{k+1}{k-1} - \frac{k-1}{k+1}\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{k}{4} - \frac{1}{4k}\right)$.

1. Упростим выражение в первых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(k-1)(k+1) = k^2-1$:

$\frac{k+1}{k-1} - \frac{k-1}{k+1} = \frac{(k+1)(k+1) - (k-1)(k-1)}{(k-1)(k+1)} = \frac{(k+1)^2 - (k-1)^2}{k^2-1}$

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для числителя:

$\frac{((k+1) - (k-1))((k+1) + (k-1))}{k^2-1} = \frac{(k+1-k+1)(k+1+k-1)}{k^2-1} = \frac{2 \cdot 2k}{k^2-1} = \frac{4k}{k^2-1}$

2. Упростим выражение во вторых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $4k$:

$\frac{1}{2} - \frac{k}{4} - \frac{1}{4k} = \frac{1 \cdot 2k}{2 \cdot 2k} - \frac{k \cdot k}{4 \cdot k} - \frac{1}{4k} = \frac{2k - k^2 - 1}{4k}$

Вынесем минус за скобки в числителе и свернем его по формуле квадрата разности:

$\frac{-(k^2 - 2k + 1)}{4k} = -\frac{(k-1)^2}{4k}$

3. Перемножим результаты, полученные в шагах 1 и 2:

$\left(\frac{4k}{k^2-1}\right) \cdot \left(-\frac{(k-1)^2}{4k}\right) = \frac{4k}{(k-1)(k+1)} \cdot \left(-\frac{(k-1)^2}{4k}\right)$

Сократим общие множители $4k$ и $(k-1)$:

$-\frac{\cancel{4k} \cdot (k-1)^{\cancel{2}}}{(\cancel{k-1})(k+1) \cdot \cancel{4k}} = -\frac{k-1}{k+1} = \frac{1-k}{k+1}$

Ответ: $\frac{1-k}{k+1}$

б)

Требуется упростить выражение: $\frac{m^3 + m^2n + mn^2 + n^3}{m^2 + 2mn + n^2} : \frac{m^4 - n^4}{(m+n)^3}$.

1. Упростим первую дробь. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $m^3 + m^2n + mn^2 + n^3 = m^2(m+n) + n^2(m+n) = (m+n)(m^2+n^2)$.

Знаменатель: $m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$.

Таким образом, первая дробь равна: $\frac{(m+n)(m^2+n^2)}{(m+n)^2} = \frac{m^2+n^2}{m+n}$.

2. Упростим вторую дробь. Разложим на множители числитель.

Числитель: $m^4 - n^4 = (m^2)^2 - (n^2)^2 = (m^2-n^2)(m^2+n^2) = (m-n)(m+n)(m^2+n^2)$.

Знаменатель: $(m+n)^3$.

Таким образом, вторая дробь равна: $\frac{(m-n)(m+n)(m^2+n^2)}{(m+n)^3}$.

3. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{m^2+n^2}{m+n} : \frac{(m-n)(m+n)(m^2+n^2)}{(m+n)^3} = \frac{m^2+n^2}{m+n} \cdot \frac{(m+n)^3}{(m-n)(m+n)(m^2+n^2)}$

Объединим множители и проведем сокращение:

$\frac{(m^2+n^2)(m+n)^3}{(m+n)(m-n)(m+n)(m^2+n^2)} = \frac{(m^2+n^2)(m+n)^3}{(m+n)^2(m-n)(m^2+n^2)}$

Сокращаем $(m^2+n^2)$ и $(m+n)^2$:

$\frac{\cancel{(m^2+n^2)}(m+n)^{\cancel{3}}}{\cancel{(m+n)^2}(m-n)\cancel{(m^2+n^2)}} = \frac{m+n}{m-n}$

Ответ: $\frac{m+n}{m-n}$