Номер 933, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

933. Упростите выражение и найдите его значение при заданном значении буквы:

a) $ \left( \frac{m^3 + 1}{m + 1} - m \right) : \left( 1 - m^2 \right) - \frac{m}{1 + m} $ при $ m = -\frac{1}{3} $

б) $ \left( \frac{a^3 - 8}{a - 2} + 2a \right) : \left( 4 - a^2 \right) - \frac{a - 1}{2 - a} $ при $ a = \frac{2}{5} $

а) Сначала упростим данное выражение. Выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках: $\frac{m^3 + 1}{m + 1} - m$. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к числителю дроби.

$\frac{m^3 + 1}{m + 1} - m = \frac{(m+1)(m^2 - m \cdot 1 + 1^2)}{m+1} - m = \frac{(m+1)(m^2 - m + 1)}{m+1} - m$.

Сократим дробь на $(m+1)$ (при условии $m \neq -1$):

$(m^2 - m + 1) - m = m^2 - 2m + 1$.

Полученное выражение является полным квадратом разности: $m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$.

2. Теперь выполним деление результата первого действия на выражение $(1 - m^2)$.

$(m-1)^2 : (1 - m^2)$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для делителя: $1 - m^2 = (1-m)(1+m)$.

Также учтем, что $(m-1)^2 = (-(1-m))^2 = (1-m)^2$.

$\frac{(m-1)^2}{1 - m^2} = \frac{(1-m)^2}{(1-m)(1+m)} = \frac{1-m}{1+m}$.

3. Выполним последнее действие — вычитание.

$\frac{1-m}{1+m} - \frac{m}{1+m} = \frac{1-m-m}{1+m} = \frac{1-2m}{1+m}$.

4. Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значение при $m = -\frac{1}{3}$.

$\frac{1-2(-\frac{1}{3})}{1+(-\frac{1}{3})} = \frac{1+\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{3}+\frac{2}{3}}{\frac{3}{3}-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: $2,5$.

б) Сначала упростим данное выражение. Выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках: $\frac{a^3 - 8}{a - 2} + 2a$. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ к числителю дроби.

$\frac{a^3 - 2^3}{a - 2} + 2a = \frac{(a-2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2)}{a-2} + 2a = \frac{(a-2)(a^2 + 2a + 4)}{a-2} + 2a$.

Сократим дробь на $(a-2)$ (при условии $a \neq 2$):

$(a^2 + 2a + 4) + 2a = a^2 + 4a + 4$.

Полученное выражение является полным квадратом суммы: $a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$.

2. Теперь выполним деление результата первого действия на выражение $(4 - a^2)$.

$(a+2)^2 : (4 - a^2)$.

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для делителя: $4 - a^2 = (2-a)(2+a)$.

$\frac{(a+2)^2}{4 - a^2} = \frac{(a+2)^2}{(2-a)(2+a)} = \frac{a+2}{2-a}$.

3. Выполним последнее действие — вычитание.

$\frac{a+2}{2-a} - \frac{a-1}{2-a} = \frac{(a+2)-(a-1)}{2-a} = \frac{a+2-a+1}{2-a} = \frac{3}{2-a}$.

4. Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значение при $a = \frac{2}{5}$.

$\frac{3}{2 - \frac{2}{5}} = \frac{3}{\frac{10}{5} - \frac{2}{5}} = \frac{3}{\frac{8}{5}} = 3 \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{8}$.

Ответ: $\frac{15}{8}$.