Номер 934, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Найдите значение выражения (934–937):

934. а) $(1 - \frac{1}{1-x}) : (\frac{1-2x^2}{1-x} - x - 1)$ при $x = \frac{1}{2};$

б) $\frac{m^2 - m + 1}{m^2 - 2m + 1} : (m - \frac{1}{1-m}) - \frac{1}{m^2 - m}$ при $m = 0,07.$

Упростим данное выражение, прежде чем подставлять значение переменной. Выполним действия по порядку.

1. Преобразуем выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю $(1-x)$:

$1 - \frac{1}{1-x} = \frac{1 \cdot (1-x)}{1-x} - \frac{1}{1-x} = \frac{1-x-1}{1-x} = \frac{-x}{1-x}$.

2. Преобразуем выражение во второй скобке, также приведя все члены к общему знаменателю $(1-x)$:

$\frac{1-2x^2}{1-x} - x - 1 = \frac{1-2x^2}{1-x} - \frac{x(1-x)}{1-x} - \frac{1(1-x)}{1-x} = \frac{1-2x^2 - (x-x^2) - (1-x)}{1-x}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{1 - 2x^2 - x + x^2 - 1 + x}{1-x} = \frac{(1-1) + (-x+x) + (-2x^2+x^2)}{1-x} = \frac{-x^2}{1-x}$.

3. Теперь выполним деление результатов, полученных в шагах 1 и 2. Деление дробей заменяется умножением на перевернутую дробь:

$\left(\frac{-x}{1-x}\right) : \left(\frac{-x^2}{1-x}\right) = \frac{-x}{1-x} \cdot \frac{1-x}{-x^2}$.

Сократим одинаковые множители $(-x)$ и $(1-x)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$):

$\frac{-x \cdot (1-x)}{(1-x) \cdot (-x^2)} = \frac{1}{x}$.

4. В результате упрощения исходное выражение стало равно $\frac{1}{x}$. Теперь подставим в него значение $x = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{1/2} = 1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: 2

Упростим исходное выражение по действиям, прежде чем подставлять значение $m$.

1. Выполним действие в скобках. Для этого приведем к общему знаменателю. Заметим, что $1-m = -(m-1)$, поэтому $\frac{1}{1-m} = -\frac{1}{m-1}$.

$m - \frac{1}{1-m} = m + \frac{1}{m-1} = \frac{m(m-1)}{m-1} + \frac{1}{m-1} = \frac{m^2-m+1}{m-1}$.

2. Выполним деление. Учтем, что знаменатель первой дроби $m^2 - 2m + 1$ является формулой квадрата разности: $(m-1)^2$.

$\frac{m^2 - m + 1}{m^2 - 2m + 1} : \left(m - \frac{1}{1-m}\right) = \frac{m^2 - m + 1}{(m-1)^2} : \frac{m^2-m+1}{m-1}$.

Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

$\frac{m^2 - m + 1}{(m-1)^2} \cdot \frac{m-1}{m^2-m+1} = \frac{1}{m-1}$.

3. Выполним вычитание. Для этого разложим знаменатель второй дроби на множители: $m^2-m = m(m-1)$.

$\frac{1}{m-1} - \frac{1}{m^2-m} = \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m(m-1)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $m(m-1)$:

$\frac{m}{m(m-1)} - \frac{1}{m(m-1)} = \frac{m-1}{m(m-1)}$.

Сократим дробь на $(m-1)$ (при условии $m \neq 1$):

$\frac{1}{m}$.

4. После всех упрощений исходное выражение равно $\frac{1}{m}$. Подставим в него заданное значение $m = 0,07$:

$\frac{1}{m} = \frac{1}{0,07} = \frac{1}{7/100} = 1 \cdot \frac{100}{7} = \frac{100}{7}$.

Ответ: $\frac{100}{7}$