Номер 940, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

940. Докажите, что если $ABC = 1$, то $\frac{1}{1+A+AB} + \frac{1}{1+AC+C} + \frac{1}{1+B+BC} = 1$.

Для доказательства равенства воспользуемся заданным условием $ABC = 1$. Наша цель — преобразовать левую часть выражения так, чтобы показать, что она равна 1. Мы сделаем это, приведя все три дроби к общему знаменателю.

Оставим первое слагаемое без изменений:$$ \frac{1}{1 + A + AB} $$

Теперь преобразуем второе слагаемое: $\frac{1}{1 + AC + C}$.Из условия $ABC = 1$ мы можем выразить $C$ через $A$ и $B$: $C = \frac{1}{AB}$.Подставим это выражение в знаменатель второй дроби:$$ 1 + AC + C = 1 + A\left(\frac{1}{AB}\right) + \frac{1}{AB} = 1 + \frac{1}{B} + \frac{1}{AB} $$Чтобы избавиться от дробей в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $AB$:$$ \frac{1}{1 + \frac{1}{B} + \frac{1}{AB}} = \frac{1 \cdot AB}{\left(1 + \frac{1}{B} + \frac{1}{AB}\right) \cdot AB} = \frac{AB}{AB + A + 1} $$

Далее преобразуем третье слагаемое: $\frac{1}{1 + B + BC}$.Из условия $ABC = 1$ мы можем выразить $BC$ как $BC = \frac{1}{A}$.Подставим это в знаменатель третьей дроби:$$ 1 + B + BC = 1 + B + \frac{1}{A} $$Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $A$:$$ \frac{1}{1 + B + \frac{1}{A}} = \frac{1 \cdot A}{\left(1 + B + \frac{1}{A}\right) \cdot A} = \frac{A}{A + AB + 1} $$

Теперь, когда все три дроби приведены к общему знаменателю $1 + A + AB$, мы можем их сложить:$$ \frac{1}{1 + A + AB} + \frac{AB}{1 + A + AB} + \frac{A}{1 + A + AB} = \frac{1 + AB + A}{1 + A + AB} $$

Поскольку числитель и знаменатель полученной дроби равны, ее значение равно 1.$$ \frac{1 + A + AB}{1 + A + AB} = 1 $$Таким образом, исходное равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано. При условии $ABC=1$ значение выражения $\frac{1}{1 + A + AB} + \frac{1}{1 + AC + C} + \frac{1}{1 + B + BC}$ действительно равно 1.