Страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

936. a) $\left(\frac{4x}{4-x^2} - \frac{x-2}{4+2x}\right) \cdot \frac{4}{x+2} - \frac{x}{1-x^2}$ при $x = -1,5;$

б) $\frac{a}{1-a} - \frac{1-a^2}{1+a^2} \cdot \left(\frac{1}{(a-2)^2} - \frac{a}{1-a^2}\right)$ при $a = 2,5.$

а) Сначала упростим данное алгебраическое выражение: $\left(\frac{4x}{4-x^2} - \frac{x-2}{4+2x}\right) \cdot \frac{4}{x+2} - \frac{x}{1-x^2}$.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{4x}{4-x^2} - \frac{x-2}{4+2x} = \frac{4x}{(2-x)(2+x)} - \frac{x-2}{2(2+x)}$

Общий знаменатель равен $2(2-x)(2+x)$.

$\frac{2 \cdot 4x}{2(2-x)(2+x)} - \frac{(x-2)(2-x)}{2(2-x)(2+x)} = \frac{8x - (-(2-x))(2-x)}{2(2-x)(2+x)} = \frac{8x + (2-x)^2}{2(2-x)(2+x)}$

Раскроем квадрат в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{8x + 4 - 4x + x^2}{2(2-x)(2+x)} = \frac{x^2+4x+4}{2(2-x)(2+x)}$

Числитель является полным квадратом $(x+2)^2$. Сократим дробь:

$\frac{(x+2)^2}{2(2-x)(2+x)} = \frac{x+2}{2(2-x)}$

2. Умножим полученный результат на $\frac{4}{x+2}$:

$\frac{x+2}{2(2-x)} \cdot \frac{4}{x+2} = \frac{4(x+2)}{2(2-x)(x+2)} = \frac{2}{2-x}$

3. Теперь всё выражение имеет вид:

$\frac{2}{2-x} - \frac{x}{1-x^2}$

4. Подставим значение $x = -1,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{2}{2 - (-1,5)} - \frac{-1,5}{1 - (-1,5)^2} = \frac{2}{2 + 1,5} - \frac{-1,5}{1 - 2,25} = \frac{2}{3,5} - \frac{-1,5}{-1,25} = \frac{2}{3,5} - \frac{1,5}{1,25}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные и выполним вычисления:

$\frac{20}{35} - \frac{150}{125} = \frac{4}{7} - \frac{6}{5} = \frac{4 \cdot 5}{35} - \frac{6 \cdot 7}{35} = \frac{20 - 42}{35} = -\frac{22}{35}$

Ответ: $-\frac{22}{35}$

б) В выражении $\frac{a}{1-a} - \frac{1-a^2}{1+a^2} \cdot \left(\frac{1}{(a-2)^2} - \frac{a}{1-a^2}\right)$ подставим значение $a = 2,5$ и вычислим по частям.

1. Вычислим значение первого слагаемого:

$\frac{a}{1-a} = \frac{2,5}{1-2,5} = \frac{2,5}{-1,5} = -\frac{25}{15} = -\frac{5}{3}$

2. Вычислим значение множителя перед скобкой:

$\frac{1-a^2}{1+a^2} = \frac{1 - (2,5)^2}{1 + (2,5)^2} = \frac{1 - 6,25}{1 + 6,25} = \frac{-5,25}{7,25} = -\frac{525}{725} = -\frac{21 \cdot 25}{29 \cdot 25} = -\frac{21}{29}$

3. Вычислим значение выражения в скобках $\left(\frac{1}{(a-2)^2} - \frac{a}{1-a^2}\right)$:

Первый член в скобках: $\frac{1}{(2,5-2)^2} = \frac{1}{(0,5)^2} = \frac{1}{0,25} = 4$.

Второй член в скобках: $\frac{a}{1-a^2} = \frac{2,5}{1-(2,5)^2} = \frac{2,5}{1-6,25} = \frac{2,5}{-5,25} = -\frac{250}{525} = -\frac{10 \cdot 25}{21 \cdot 25} = -\frac{10}{21}$.

Значение выражения в скобках: $4 - \left(-\frac{10}{21}\right) = 4 + \frac{10}{21} = \frac{84}{21} + \frac{10}{21} = \frac{94}{21}$.

4. Выполним умножение результата из пункта 3 на результат из пункта 2:

$-\frac{21}{29} \cdot \frac{94}{21} = -\frac{94}{29}$

5. Наконец, выполним вычитание, объединив результат из пункта 1 и пункта 4:

$-\frac{5}{3} - \left(-\frac{94}{29}\right) = -\frac{5}{3} + \frac{94}{29}$

Приведем к общему знаменателю $3 \cdot 29 = 87$:

$\frac{-5 \cdot 29}{87} + \frac{94 \cdot 3}{87} = \frac{-145 + 282}{87} = \frac{137}{87}$

Ответ: $\frac{137}{87}$

937. a) $\left( \frac{9}{m^2 - 9} + \frac{3}{(3-m)^2} \right) \cdot \frac{(m-3)^2}{6} + \frac{6}{3+m}$ при $m = 2 \frac{1}{2}$;

б) $\left( \frac{2}{4-p^2} - \frac{2}{(p-2)^2} \right) \cdot \frac{(2-p)^2}{4} - \frac{2}{p+2}$ при $p = 1,5$.

а) Сначала упростим данное выражение: $(\frac{9}{m^2-9} + \frac{3}{(3-m)^2}) \cdot \frac{(m-3)^2}{6} + \frac{6}{3+m}$.
1. Преобразуем знаменатели в первой скобке. Используем формулу разности квадратов $m^2-9 = (m-3)(m+3)$ и свойство квадрата $(3-m)^2 = (-(m-3))^2 = (m-3)^2$.
Выражение в скобках принимает вид: $\frac{9}{(m-3)(m+3)} + \frac{3}{(m-3)^2}$.
2. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(m-3)^2(m+3)$:
$\frac{9(m-3)}{(m-3)^2(m+3)} + \frac{3(m+3)}{(m-3)^2(m+3)} = \frac{9(m-3) + 3(m+3)}{(m-3)^2(m+3)} = \frac{9m - 27 + 3m + 9}{(m-3)^2(m+3)} = \frac{12m - 18}{(m-3)^2(m+3)} = \frac{6(2m - 3)}{(m-3)^2(m+3)}$.
3. Теперь выполним умножение:
$\frac{6(2m - 3)}{(m-3)^2(m+3)} \cdot \frac{(m-3)^2}{6}$.
Сокращаем общие множители 6 и $(m-3)^2$:
$\frac{2m - 3}{m+3}$.
4. Выполним сложение с последним слагаемым:
$\frac{2m - 3}{m+3} + \frac{6}{3+m} = \frac{2m - 3 + 6}{m+3} = \frac{2m+3}{m+3}$.
5. Теперь подставим значение $m = 2\frac{1}{2} = 2,5$ в упрощенное выражение:
$\frac{2 \cdot 2,5 + 3}{2,5 + 3} = \frac{5+3}{5,5} = \frac{8}{5,5} = \frac{80}{55} = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11}$.
Ответ: $1\frac{5}{11}$.

б) Сначала упростим данное выражение: $(\frac{2}{4-p^2} - \frac{2}{(p-2)^2}) \cdot \frac{(2-p)^2}{4} - \frac{2}{p+2}$.
1. Преобразуем знаменатели в первой скобке. Используем формулу разности квадратов $4-p^2 = (2-p)(2+p)$ и свойство квадрата $(p-2)^2 = (-(2-p))^2 = (2-p)^2$.
Выражение в скобках принимает вид: $\frac{2}{(2-p)(2+p)} - \frac{2}{(2-p)^2}$.
2. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(2-p)^2(2+p)$:
$\frac{2(2-p)}{(2-p)^2(2+p)} - \frac{2(2+p)}{(2-p)^2(2+p)} = \frac{2(2-p) - 2(2+p)}{(2-p)^2(2+p)} = \frac{4 - 2p - 4 - 2p}{(2-p)^2(2+p)} = \frac{-4p}{(2-p)^2(2+p)}$.
3. Теперь выполним умножение:
$\frac{-4p}{(2-p)^2(2+p)} \cdot \frac{(2-p)^2}{4}$.
Сокращаем общие множители 4 и $(2-p)^2$:
$\frac{-p}{2+p}$.
4. Выполним вычитание последней дроби:
$\frac{-p}{p+2} - \frac{2}{p+2} = \frac{-p-2}{p+2} = \frac{-(p+2)}{p+2} = -1$.
5. Результат упрощения - константа $-1$, которая не зависит от значения переменной $p$. Следовательно, при $p=1,5$ значение выражения равно $-1$. (Область допустимых значений $p \neq \pm2$ соблюдается).
Ответ: $-1$.

Доказываем (938–940).

938. Докажите справедливость равенства:

a) $ \frac{5x}{x+y} \cdot \left( \frac{xy+y^2}{5x-5y} + xy+y^2 \right) - \frac{xy}{x-y} = 5xy $

б) $ \frac{a-5}{6-3a} + \frac{4(a+1)}{a^2+4a} : \left( \frac{9a}{a^2-16} - \frac{a+4}{a^2-4a} \right) = \frac{1}{6} $

а) Для доказательства справедливости равенства преобразуем его левую часть. Первым шагом раскроем скобки, умножив множитель $\frac{5x}{x+y}$ на каждый член в скобках:
$\frac{5x}{x+y} \cdot \left(\frac{xy+y^2}{5x-5y} + xy + y^2\right) - \frac{xy}{x-y} = \frac{5x}{x+y} \cdot \frac{xy+y^2}{5x-5y} + \frac{5x}{x+y} \cdot (xy+y^2) - \frac{xy}{x-y}$.
Теперь упростим получившиеся слагаемые. Первое слагаемое: разложим на множители числитель и знаменатель дроби и сократим:
$\frac{5x}{x+y} \cdot \frac{y(x+y)}{5(x-y)} = \frac{x \cdot y}{x-y} = \frac{xy}{x-y}$.
Второе слагаемое: вынесем общий множитель и сократим:
$\frac{5x}{x+y} \cdot y(x+y) = 5xy$.
Подставим упрощенные выражения обратно в левую часть равенства:
$\frac{xy}{x-y} + 5xy - \frac{xy}{x-y}$.
Приведя подобные слагаемые, видим, что $\frac{xy}{x-y}$ и $-\frac{xy}{x-y}$ взаимно уничтожаются. В результате остается $5xy$.
Таким образом, левая часть тождественно равна правой: $5xy = 5xy$. Равенство доказано.
Ответ: равенство справедливо.

б) Для доказательства справедливости равенства преобразуем его левую часть, выполняя действия в соответствии с их порядком.
1. Выполним действие в скобках (вычитание):
$\frac{9a}{a^2 - 16} - \frac{a+4}{a^2 - 4a} = \frac{9a}{(a-4)(a+4)} - \frac{a+4}{a(a-4)}$.
Приводим к общему знаменателю $a(a-4)(a+4)$:
$\frac{9a \cdot a - (a+4)(a+4)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{9a^2 - (a^2+8a+16)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{8a^2-8a-16}{a(a-4)(a+4)}$.
Разложим числитель на множители: $8(a^2-a-2) = 8(a-2)(a+1)$.
Результат в скобках: $\frac{8(a-2)(a+1)}{a(a-4)(a+4)}$.
2. Выполним деление:
$\frac{4(a+1)}{a^2+4a} : \frac{8(a-2)(a+1)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{4(a+1)}{a(a+4)} \cdot \frac{a(a-4)(a+4)}{8(a-2)(a+1)}$.
После сокращения общих множителей ($4$, $a$, $(a+1)$, $(a+4)$) получаем:
$\frac{a-4}{2(a-2)}$.
3. Выполним сложение:
$\frac{a-5}{6-3a} + \frac{a-4}{2(a-2)} = \frac{a-5}{-3(a-2)} + \frac{a-4}{2(a-2)} = -\frac{a-5}{3(a-2)} + \frac{a-4}{2(a-2)}$.
Приводим к общему знаменателю $6(a-2)$:
$\frac{-2(a-5) + 3(a-4)}{6(a-2)} = \frac{-2a+10+3a-12}{6(a-2)} = \frac{a-2}{6(a-2)}$.
Сократив дробь на $(a-2)$, получаем $\frac{1}{6}$.
Левая часть равна $\frac{1}{6}$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.
Ответ: равенство справедливо.

939. Докажите, что выражения:

a) $\frac{(x - 3)^3}{2} - \frac{(x + 3)^3}{2}$ и $\frac{9(x^2 + 3)}{4}$;

б) $\left(\frac{x - 3}{3}\right)^3 + \left(\frac{x + 3}{3}\right)^3$ и $\frac{x(x^2 + 27)}{27}

не являются тождественно равными на множестве всех действительных чисел.

а)

Чтобы доказать, что два выражения не являются тождественно равными, нужно показать, что их равенство не выполняется для всех действительных чисел x. Это можно сделать, упростив выражения и сравнив их, или найдя конкретное значение x, при котором значения выражений различны.

Рассмотрим первое выражение: $E_1 = \frac{(x-3)^3}{2} - \frac{(x+3)^3}{2}$.

Упростим его, вынеся общий множитель $\frac{1}{2}$ и раскрыв кубы биномов, используя формулы $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$E_1 = \frac{1}{2} \left( (x-3)^3 - (x+3)^3 \right)$

$(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

$(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

Подставим раскрытые скобки обратно в выражение для $E_1$:

$E_1 = \frac{1}{2} \left( (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) - (x^3 + 9x^2 + 27x + 27) \right)$

$E_1 = \frac{1}{2} (x^3 - 9x^2 + 27x - 27 - x^3 - 9x^2 - 27x - 27)$

После приведения подобных слагаемых в скобках получаем:

$E_1 = \frac{1}{2} (-18x^2 - 54) = -9x^2 - 27$

Теперь рассмотрим второе выражение: $E_2 = \frac{9(x^2+3)}{4}$.

Упростим его: $E_2 = \frac{9x^2+27}{4} = \frac{9}{4}x^2 + \frac{27}{4}$.

Мы получили два разных выражения: $E_1 = -9x^2 - 27$ и $E_2 = \frac{9}{4}x^2 + \frac{27}{4}$.

Чтобы убедиться, что они не равны, подставим любое значение, например, $x=0$:

$E_1(0) = -9(0)^2 - 27 = -27$

$E_2(0) = \frac{9(0^2+3)}{4} = \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27}{4}$

Так как $-27 \neq \frac{27}{4}$, исходные выражения не являются тождественно равными.

Ответ: Выражения не являются тождественно равными. Упрощение первого выражения дает $-9x^2 - 27$, а второго — $\frac{9}{4}x^2 + \frac{27}{4}$. Эти многочлены не равны, что подтверждается, например, при $x=0$, когда их значения равны $-27$ и $\frac{27}{4}$ соответственно.

б)

Рассмотрим пару выражений: $E_3 = \left(\frac{x-3}{3}\right)^3 + \left(\frac{x+3}{3}\right)^3$ и $E_4 = \frac{x(x^2+27)}{27}$.

Упростим первое выражение $E_3$:

$E_3 = \frac{(x-3)^3}{3^3} + \frac{(x+3)^3}{3^3} = \frac{(x-3)^3 + (x+3)^3}{27}$

Для упрощения числителя воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=x-3$ и $b=x+3$:

$a+b = (x-3) + (x+3) = 2x$

Можно также раскрыть кубы и сложить:

$(x-3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

$(x+3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

$(x-3)^3 + (x+3)^3 = (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) + (x^3 + 9x^2 + 27x + 27) = 2x^3 + 54x = 2x(x^2+27)$

Подставляем результат в выражение для $E_3$:

$E_3 = \frac{2x(x^2+27)}{27}$

Теперь сравним упрощенное первое выражение $E_3$ со вторым выражением $E_4 = \frac{x(x^2+27)}{27}$.

Приравняем их, чтобы найти, при каких значениях x они равны:

$\frac{2x(x^2+27)}{27} = \frac{x(x^2+27)}{27}$

$2x(x^2+27) = x(x^2+27)$

$2x(x^2+27) - x(x^2+27) = 0$

$x(x^2+27) = 0$

Так как $x^2+27$ никогда не равно нулю для действительных x, равенство выполняется только при $x=0$.

Поскольку равенство выполняется не для всех действительных чисел, а только для одного, выражения не являются тождественно равными. Например, при $x=1$:

$E_3(1) = \frac{2(1)(1^2+27)}{27} = \frac{56}{27}$

$E_4(1) = \frac{1(1^2+27)}{27} = \frac{28}{27}$

Так как $\frac{56}{27} \neq \frac{28}{27}$, выражения не являются тождественно равными.

Ответ: Выражения не являются тождественно равными, так как их равенство выполняется только при $x=0$, а для всех $x \neq 0$ их значения не совпадают.

940. Докажите, что если $ABC = 1$, то $\frac{1}{1+A+AB} + \frac{1}{1+AC+C} + \frac{1}{1+B+BC} = 1$.

Для доказательства равенства воспользуемся заданным условием $ABC = 1$. Наша цель — преобразовать левую часть выражения так, чтобы показать, что она равна 1. Мы сделаем это, приведя все три дроби к общему знаменателю.

Оставим первое слагаемое без изменений:$$ \frac{1}{1 + A + AB} $$

Теперь преобразуем второе слагаемое: $\frac{1}{1 + AC + C}$.Из условия $ABC = 1$ мы можем выразить $C$ через $A$ и $B$: $C = \frac{1}{AB}$.Подставим это выражение в знаменатель второй дроби:$$ 1 + AC + C = 1 + A\left(\frac{1}{AB}\right) + \frac{1}{AB} = 1 + \frac{1}{B} + \frac{1}{AB} $$Чтобы избавиться от дробей в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $AB$:$$ \frac{1}{1 + \frac{1}{B} + \frac{1}{AB}} = \frac{1 \cdot AB}{\left(1 + \frac{1}{B} + \frac{1}{AB}\right) \cdot AB} = \frac{AB}{AB + A + 1} $$

Далее преобразуем третье слагаемое: $\frac{1}{1 + B + BC}$.Из условия $ABC = 1$ мы можем выразить $BC$ как $BC = \frac{1}{A}$.Подставим это в знаменатель третьей дроби:$$ 1 + B + BC = 1 + B + \frac{1}{A} $$Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $A$:$$ \frac{1}{1 + B + \frac{1}{A}} = \frac{1 \cdot A}{\left(1 + B + \frac{1}{A}\right) \cdot A} = \frac{A}{A + AB + 1} $$

Теперь, когда все три дроби приведены к общему знаменателю $1 + A + AB$, мы можем их сложить:$$ \frac{1}{1 + A + AB} + \frac{AB}{1 + A + AB} + \frac{A}{1 + A + AB} = \frac{1 + AB + A}{1 + A + AB} $$

Поскольку числитель и знаменатель полученной дроби равны, ее значение равно 1.$$ \frac{1 + A + AB}{1 + A + AB} = 1 $$Таким образом, исходное равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано. При условии $ABC=1$ значение выражения $\frac{1}{1 + A + AB} + \frac{1}{1 + AC + C} + \frac{1}{1 + B + BC}$ действительно равно 1.

941. Упростите выражение:

а) $\sqrt{a^2}$; б) $\sqrt[4]{a^2}$; в) $\sqrt[4]{a^4}$; г) $\sqrt[4]{a^{12}}$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{a^2}$ используется основное свойство арифметического квадратного корня, которое гласит, что корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Это связано с тем, что результат извлечения квадратного корня (арифметического) не может быть отрицательным, а выражение $a^2$ всегда неотрицательно.
Формула выглядит так: $\sqrt{x^2} = |x|$.
Применяя эту формулу к нашему случаю, получаем: $\sqrt{a^2} = |a|$.
Ответ: $|a|$

б) Выражение $\sqrt[4]{a^2}$ можно упростить, используя свойство степеней с дробными показателями или свойство вложенных корней.
Первый способ: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. Тогда $\sqrt[4]{a^2} = (a^2)^{\frac{1}{4}} = a^{2 \cdot \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$. Однако эта запись верна только для $a \ge 0$. Чтобы учесть все действительные значения $a$, необходимо действовать иначе, так как $\sqrt[4]{a^2}$ определено для всех $a$.
Второй способ (более общий): представим корень 4-й степени как корень квадратный из корня квадратного: $\sqrt[4]{x} = \sqrt{\sqrt{x}}$.
Тогда $\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{\sqrt{a^2}}$.
Как мы знаем из пункта а), $\sqrt{a^2} = |a|$.
Подставляя это в наше выражение, получаем: $\sqrt{|a|}$. Это выражение определено для всех действительных $a$, так как $|a| \ge 0$.
Ответ: $\sqrt{|a|}$

в) Выражение $\sqrt[4]{a^4}$ упрощается по аналогии с пунктом а). Для любого корня четной степени $2n$ справедливо тождество: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
В данном случае у нас корень 4-й степени (четной) из выражения в 4-й степени.
Следовательно, $\sqrt[4]{a^4} = |a|$.
Это гарантирует, что результат извлечения корня будет неотрицательным, как и требуется по определению арифметического корня.
Ответ: $|a|$

г) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{a^{12}}$ представим подкоренное выражение $a^{12}$ как степень с показателем 4.
Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$, можно записать: $a^{12} = a^{3 \cdot 4} = (a^3)^4$.
Тогда исходное выражение примет вид: $\sqrt[4]{(a^3)^4}$.
Теперь мы можем применить правило из пункта в), где в качестве основы степени выступает выражение $a^3$: $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
В нашем случае $x = a^3$, поэтому: $\sqrt[4]{(a^3)^4} = |a^3|$.
Выражение $|a^3|$ всегда неотрицательно, что соответствует требованию для результата корня четной степени.
Ответ: $|a^3|$

942. Верно ли равенство $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = 1 - x$, если $x \leq 1$?

Для проверки истинности равенства $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = 1 - x$ при условии $x \le 1$, необходимо упростить левую часть.

Подкоренное выражение $x^2 - 2x + 1$ представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=1$, поэтому: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Подставим это выражение обратно в левую часть исходного равенства: $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x-1)^2}$.

По свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$). Применим это свойство: $\sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$.

Теперь рассмотрим модуль $|x-1|$ с учетом заданного условия $x \le 1$. Если $x \le 1$, то разность $x-1$ будет меньше или равна нулю ($x-1 \le 0$). Согласно определению модуля, если выражение под знаком модуля неположительное, то его модуль равен противоположному выражению: $|a| = -a$ при $a \le 0$. Следовательно, $|x-1| = -(x-1) = -x + 1 = 1-x$.

В результате упрощения мы получили, что левая часть равенства $\sqrt{x^2 - 2x + 1}$ тождественно равна $1-x$ при $x \le 1$. Правая часть исходного равенства также равна $1-x$. Поскольку левая и правая части равны, данное равенство является верным при заданном условии.

Ответ: да, равенство верно.

943. При каких $a$ и $b$ верно равенство $\sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b}$?

Для того чтобы данное равенство было верным, необходимо, чтобы обе его части были определены, то есть имели смысл. Это называется нахождением области допустимых значений (ОДЗ).

Рассмотрим область определения для левой и правой частей равенства $\sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b}$.

1. Выражение в правой части, $|a|\sqrt{b}$, содержит квадратный корень из $b$. Арифметический квадратный корень определён только для неотрицательных чисел. Следовательно, должно выполняться условие: $$ b \geq 0 $$

2. Выражение в левой части, $\sqrt{a^2b}$, также содержит квадратный корень. Подкоренное выражение $a^2b$ должно быть неотрицательным: $$ a^2b \geq 0 $$

Для того чтобы исходное равенство было корректным, оба этих условия должны выполняться одновременно. Получаем систему неравенств: $$ \begin{cases} b \geq 0 \\ a^2b \geq 0 \end{cases} $$ Рассмотрим второе неравенство $a^2b \geq 0$. Квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательным, то есть $a^2 \geq 0$. Если мы умножим это неравенство на неотрицательное число $b$ (что следует из первого условия, $b \geq 0$), то произведение $a^2b$ также будет неотрицательным. Таким образом, условие $a^2b \geq 0$ автоматически выполняется, если выполняется условие $b \geq 0$. Переменная $a$ при этом может быть любым действительным числом.

Итак, область допустимых значений для данного равенства: $a$ — любое действительное число, $b \geq 0$.

Теперь проверим, будет ли равенство тождественно верным в этой области. Преобразуем левую часть равенства $\sqrt{a^2b}$, используя свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, которое справедливо для $x \geq 0$ и $y \geq 0$. В нашем случае $x = a^2$ и $y = b$. Так как $a^2 \geq 0$ и мы работаем в области, где $b \geq 0$, мы можем применить это свойство: $$ \sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} $$ По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2}$ равно модулю числа $a$: $$ \sqrt{a^2} = |a| $$ Подставляя это в наше преобразование, получаем: $$ \sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b} $$ Мы видим, что левая часть равенства тождественно равна правой части для всех $a$ и $b$ из области допустимых значений.

Ответ: Равенство верно при любом действительном значении $a$ и любом неотрицательном значении $b$ (то есть $b \geq 0$).

Упростите выражение (944-946):

944. а) $\sqrt{-a} \cdot \sqrt[3]{a}$;

б) $\sqrt[3]{-x^2} \cdot \sqrt[4]{-x}$;

в) $\sqrt[3]{1-\sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{3+2\sqrt{2}}$;

г) $\sqrt{a-1} \cdot \sqrt[4]{1-a} \cdot (-\sqrt[3]{a}-7).$

а) $\sqrt{-a} \cdot \sqrt[3]{a}$

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным: $-a \ge 0$, что означает $a \le 0$. Чтобы перемножить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 2 и 3 равно 6.

$\sqrt{-a} = (-a)^{1/2} = ((-a)^3)^{1/6} = \sqrt[6]{(-a)^3} = \sqrt[6]{-a^3}$.

$\sqrt[3]{a} = a^{1/3} = (a^2)^{1/6} = \sqrt[6]{a^2}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$\sqrt[6]{-a^3} \cdot \sqrt[6]{a^2} = \sqrt[6]{(-a^3) \cdot a^2} = \sqrt[6]{-a^5}$.

Так как $a \le 0$, то $a^5 \le 0$, и $-a^5 \ge 0$. Выражение под корнем 6-й степени неотрицательно, следовательно, решение корректно.

Ответ: $\sqrt[6]{-a^5}$.

б) $\sqrt[3]{-x^2} \cdot \sqrt[4]{-x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четвертой степени должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, откуда $x \le 0$. Кубический корень определен для любого действительного числа. Приведем корни к общему показателю 12 (НОК(3, 4) = 12).

$\sqrt[3]{-x^2} = \sqrt[3 \cdot 4]{(-x^2)^4} = \sqrt[12]{(-1)^4 \cdot (x^2)^4} = \sqrt[12]{x^8}$.

$\sqrt[4]{-x} = \sqrt[4 \cdot 3]{(-x)^3} = \sqrt[12]{-x^3}$. (Это корректно, так как при $x \le 0$, $-x \ge 0$).

Перемножим корни:

$\sqrt[12]{x^8} \cdot \sqrt[12]{-x^3} = \sqrt[12]{x^8 \cdot (-x^3)} = \sqrt[12]{-x^{11}}$.

При $x \le 0$ выражение $-x^{11} \ge 0$, так что корень 12-й степени определен.

Ответ: $\sqrt[12]{-x^{11}}$.

в) $\sqrt[3]{1-\sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{3+2\sqrt{2}}$

Упростим второй множитель. Заметим, что выражение под корнем является полным квадратом:

$3+2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (1+\sqrt{2})^2$.

Тогда $\sqrt[6]{3+2\sqrt{2}} = \sqrt[6]{(1+\sqrt{2})^2}$. Используя свойство $\sqrt[nk]{a^k} = \sqrt[n]{a}$ для $a \ge 0$, получаем:

$\sqrt[6]{(1+\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$.

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\sqrt[3]{1-\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$.

Используя свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, получаем:

$\sqrt[3]{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \sqrt[3]{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{1-2} = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Ответ: $-1$.

г) $\sqrt{a-1} \cdot \sqrt[4]{1-a} \cdot (-\sqrt[3]{a-7})$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $a$.

1. Для существования корня $\sqrt{a-1}$, необходимо, чтобы $a-1 \ge 0$, то есть $a \ge 1$.

2. Для существования корня $\sqrt[4]{1-a}$, необходимо, чтобы $1-a \ge 0$, то есть $a \le 1$.

3. Кубический корень $\sqrt[3]{a-7}$ определен для любого действительного значения $a$.

Система неравенств $\begin{cases} a \ge 1 \\ a \le 1 \end{cases}$ имеет единственное решение: $a=1$. Следовательно, данное выражение определено только при $a=1$. Подставим это значение в выражение:

$\sqrt{1-1} \cdot \sqrt[4]{1-1} \cdot (-\sqrt[3]{1-7}) = \sqrt{0} \cdot \sqrt[4]{0} \cdot (-\sqrt[3]{-6}) = 0 \cdot 0 \cdot \sqrt[3]{6} = 0$.

Ответ: $0$.

945. a) $5\sqrt[3]{16} + 3\sqrt[3]{-54} - 6\sqrt[3]{-128} - 7\sqrt[3]{-250} + 2\sqrt[3]{432};$

б) $7\sqrt[3]{24} + 5\sqrt[3]{81} + 4\sqrt[3]{-192} + 2\sqrt[3]{-375} - \sqrt[3]{1029}.$

a) Чтобы упростить выражение $5\sqrt[3]{16} + 3\sqrt[3]{-54} - 6\sqrt[3]{-128} - 7\sqrt[3]{-250} + 2\sqrt[3]{432}$, необходимо преобразовать каждый член, вынеся из-под знака кубического корня множитель, который является полным кубом.

1. Упростим $5\sqrt[3]{16}$. Число 16 можно представить как $8 \cdot 2$, где 8 это $2^3$.
$5\sqrt[3]{16} = 5\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 5\sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 5 \cdot 2\sqrt[3]{2} = 10\sqrt[3]{2}$.

2. Упростим $3\sqrt[3]{-54}$. Используем свойство $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$. Число 54 можно представить как $27 \cdot 2$, где 27 это $3^3$.
$3\sqrt[3]{-54} = -3\sqrt[3]{54} = -3\sqrt[3]{27 \cdot 2} = -3\sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = -3 \cdot 3\sqrt[3]{2} = -9\sqrt[3]{2}$.

3. Упростим $-6\sqrt[3]{-128}$. Число 128 можно представить как $64 \cdot 2$, где 64 это $4^3$.
$-6\sqrt[3]{-128} = (-6)(-\sqrt[3]{128}) = 6\sqrt[3]{128} = 6\sqrt[3]{64 \cdot 2} = 6\sqrt[3]{4^3 \cdot 2} = 6 \cdot 4\sqrt[3]{2} = 24\sqrt[3]{2}$.

4. Упростим $-7\sqrt[3]{-250}$. Число 250 можно представить как $125 \cdot 2$, где 125 это $5^3$.
$-7\sqrt[3]{-250} = (-7)(-\sqrt[3]{250}) = 7\sqrt[3]{250} = 7\sqrt[3]{125 \cdot 2} = 7\sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = 7 \cdot 5\sqrt[3]{2} = 35\sqrt[3]{2}$.

5. Упростим $2\sqrt[3]{432}$. Число 432 можно представить как $216 \cdot 2$, где 216 это $6^3$.
$2\sqrt[3]{432} = 2\sqrt[3]{216 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{6^3 \cdot 2} = 2 \cdot 6\sqrt[3]{2} = 12\sqrt[3]{2}$.

Теперь сложим полученные выражения, так как все они содержат общий множитель $\sqrt[3]{2}$:
$10\sqrt[3]{2} - 9\sqrt[3]{2} + 24\sqrt[3]{2} + 35\sqrt[3]{2} + 12\sqrt[3]{2} = (10 - 9 + 24 + 35 + 12)\sqrt[3]{2} = (1 + 24 + 35 + 12)\sqrt[3]{2} = (25 + 35 + 12)\sqrt[3]{2} = 72\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $72\sqrt[3]{2}$

б) Упростим выражение $7\sqrt[3]{24} + 5\sqrt[3]{81} + 4\sqrt[3]{-192} + 2\sqrt[3]{-375} - \sqrt[3]{1029}$ по тому же принципу.

1. Упростим $7\sqrt[3]{24}$. Число 24 можно представить как $8 \cdot 3$, где 8 это $2^3$.
$7\sqrt[3]{24} = 7\sqrt[3]{8 \cdot 3} = 7\sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 7 \cdot 2\sqrt[3]{3} = 14\sqrt[3]{3}$.

2. Упростим $5\sqrt[3]{81}$. Число 81 можно представить как $27 \cdot 3$, где 27 это $3^3$.
$5\sqrt[3]{81} = 5\sqrt[3]{27 \cdot 3} = 5\sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = 5 \cdot 3\sqrt[3]{3} = 15\sqrt[3]{3}$.

3. Упростим $4\sqrt[3]{-192}$. Число 192 можно представить как $64 \cdot 3$, где 64 это $4^3$.
$4\sqrt[3]{-192} = -4\sqrt[3]{192} = -4\sqrt[3]{64 \cdot 3} = -4\sqrt[3]{4^3 \cdot 3} = -4 \cdot 4\sqrt[3]{3} = -16\sqrt[3]{3}$.

4. Упростим $2\sqrt[3]{-375}$. Число 375 можно представить как $125 \cdot 3$, где 125 это $5^3$.
$2\sqrt[3]{-375} = -2\sqrt[3]{375} = -2\sqrt[3]{125 \cdot 3} = -2\sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = -2 \cdot 5\sqrt[3]{3} = -10\sqrt[3]{3}$.

5. Упростим $-\sqrt[3]{1029}$. Число 1029 можно представить как $343 \cdot 3$, где 343 это $7^3$.
$-\sqrt[3]{1029} = -\sqrt[3]{343 \cdot 3} = -\sqrt[3]{7^3 \cdot 3} = -7\sqrt[3]{3}$.

Теперь сложим полученные выражения, так как все они содержат общий множитель $\sqrt[3]{3}$:
$14\sqrt[3]{3} + 15\sqrt[3]{3} - 16\sqrt[3]{3} - 10\sqrt[3]{3} - 7\sqrt[3]{3} = (14 + 15 - 16 - 10 - 7)\sqrt[3]{3} = (29 - 33)\sqrt[3]{3} = -4\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $-4\sqrt[3]{3}$