Страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

996. a) $ \frac{1}{2x + x^2 + 1} + \frac{4}{x + 2x^2 + x^3} = \frac{5}{2x + 2x^2} $;

б) $ \frac{7}{6x + 30} + \frac{3}{4x - 20} = \frac{15}{2x^2 - 50} $.

a)

Исходное уравнение: $$ \frac{1}{2x + x^2 + 1} + \frac{4}{x + 2x^2 + x^3} = \frac{5}{2x + 2x^2} $$ Для начала, разложим на множители знаменатели всех дробей.
Первый знаменатель: $2x + x^2 + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Это формула квадрата суммы.
Второй знаменатель: $x + 2x^2 + x^3 = x(1 + 2x + x^2) = x(x+1)^2$. Вынесли общий множитель $x$ и использовали ту же формулу.
Третий знаменатель: $2x + 2x^2 = 2x(1+x)$. Вынесли общий множитель $2x$.
Теперь перепишем уравнение с разложенными знаменателями: $$ \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{4}{x(x+1)^2} = \frac{5}{2x(x+1)} $$ Определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю:
$x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq -1$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей — это $2x(x+1)^2$. Умножим на него обе части уравнения, чтобы избавиться от дробей: $$ \frac{1 \cdot 2x(x+1)^2}{(x+1)^2} + \frac{4 \cdot 2x(x+1)^2}{x(x+1)^2} = \frac{5 \cdot 2x(x+1)^2}{2x(x+1)} $$ Сократим дроби: $$ 1 \cdot 2x + 4 \cdot 2 = 5 \cdot (x+1) $$ $$ 2x + 8 = 5x + 5 $$ Теперь решим полученное линейное уравнение: $$ 8 - 5 = 5x - 2x $$ $$ 3 = 3x $$ $$ x = 1 $$ Полученный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -1$).
Ответ: $1$.

б)

Исходное уравнение: $$ \frac{7}{6x + 30} + \frac{3}{4x - 20} = \frac{15}{2x^2 - 50} $$ Разложим знаменатели на множители:
$6x + 30 = 6(x+5)$
$4x - 20 = 4(x-5)$
$2x^2 - 50 = 2(x^2 - 25) = 2(x-5)(x+5)$. Здесь применена формула разности квадратов.
Подставим разложенные знаменатели в уравнение: $$ \frac{7}{6(x+5)} + \frac{3}{4(x-5)} = \frac{15}{2(x-5)(x+5)} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x+5 \neq 0$ и $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq -5$ и $x \neq 5$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $6(x+5)$, $4(x-5)$ и $2(x-5)(x+5)$ — это $12(x-5)(x+5)$, так как НОК(6, 4, 2) = 12.
Умножим обе части уравнения на НОЗ: $$ \frac{7 \cdot 12(x-5)(x+5)}{6(x+5)} + \frac{3 \cdot 12(x-5)(x+5)}{4(x-5)} = \frac{15 \cdot 12(x-5)(x+5)}{2(x-5)(x+5)} $$ После сокращения дробей получаем: $$ 7 \cdot 2(x-5) + 3 \cdot 3(x+5) = 15 \cdot 6 $$ $$ 14(x-5) + 9(x+5) = 90 $$ Раскроем скобки и решим уравнение: $$ 14x - 70 + 9x + 45 = 90 $$ $$ 23x - 25 = 90 $$ $$ 23x = 90 + 25 $$ $$ 23x = 115 $$ $$ x = \frac{115}{23} $$ $$ x = 5 $$ Проверим, соответствует ли найденный корень $x=5$ области допустимых значений. ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Поскольку корень $x=5$ не входит в ОДЗ (при этом значении знаменатели дробей $\frac{3}{4x-20}$ и $\frac{15}{2x^2-50}$ обращаются в ноль), он является посторонним корнем. Таким образом, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

997. a) $ \frac{2x^2 - 3x + x^3}{x^2 - 2x + 1} = 0; $

б) $ \frac{x(1-x)}{1+x} = 6; $

в) $ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{2+x}{x^2-1}; $

г) $ \frac{1}{x+1} + \frac{5}{x-1} = \frac{5+x}{x^2-1}. $

а)

Дано уравнение: $\frac{2x^2 - 3x + x^3}{x^2 - 2x + 1} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x^2 - 2x + 1 \neq 0$
Это формула квадрата разности: $(x - 1)^2 \neq 0$.
Следовательно, $x \neq 1$.

2. Приравняем числитель к нулю:
$x^3 + 2x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + 2x - 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$
или
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_2 + x_3 = -2$
$x_2 \cdot x_3 = -3$
Корни уравнения: $x_2 = 1$ и $x_3 = -3$.

3. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ.
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $x \neq 1$.
Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет условию $x \neq 1$, поэтому это посторонний корень.
Корень $x_3 = -3$ удовлетворяет условию $x \neq 1$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=0$ и $x=-3$.
Ответ: $0; -3$.

б)

Дано уравнение: $\frac{x(1 - x)}{1 + x} = 6$.

1. Найдем ОДЗ:
$1 + x \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

2. Умножим обе части уравнения на $(1 + x)$, так как $x \neq -1$:
$x(1 - x) = 6(1 + x)$
$x - x^2 = 6 + 6x$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 6x - x + 6 = 0$
$x^2 + 5x + 6 = 0$

3. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

4. Оба корня ($-2$ и $-3$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$).

Ответ: $-2; -3$.

в)

Дано уравнение: $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{2 + x}{x^2 - 1}$.

1. Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \neq 0$, что дает те же ограничения.
Итак, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$:
$\frac{1(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{2(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2 + x}{x^2 - 1}$
$\frac{x - 1 + 2(x + 1)}{x^2 - 1} = \frac{2 + x}{x^2 - 1}$

3. Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$x - 1 + 2x + 2 = 2 + x$
$3x + 1 = 2 + x$
$3x - x = 2 - 1$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$

4. Проверим корень по ОДЗ. $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условиям $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г)

Дано уравнение: $\frac{1}{x + 1} + \frac{5}{x - 1} = \frac{5 + x}{x^2 - 1}$.

1. ОДЗ такое же, как и в предыдущем примере: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2. Приведем левую часть к общему знаменателю $x^2 - 1$:
$\frac{1(x - 1) + 5(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{5 + x}{x^2 - 1}$
$\frac{x - 1 + 5x + 5}{x^2 - 1} = \frac{5 + x}{x^2 - 1}$

3. Приравняем числители:
$x - 1 + 5x + 5 = 5 + x$
$6x + 4 = 5 + x$
$6x - x = 5 - 4$
$5x = 1$
$x = \frac{1}{5}$

4. Проверим корень по ОДЗ. $x = \frac{1}{5}$ удовлетворяет условиям $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

998. a) $\frac{2}{x^2 - 10x + 25} - \frac{1}{x + 5} = \frac{10}{x^2 - 25}$

б) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{1}{x - 6} = \frac{12}{x^2 - 36}$

а) $\frac{2}{x^2 - 10x + 25} - \frac{1}{x+5} = \frac{10}{x^2 - 25}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$

$x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$

Перепишем уравнение:

$\frac{2}{(x-5)^2} - \frac{1}{x+5} = \frac{10}{(x-5)(x+5)}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x-5 \ne 0$ и $x+5 \ne 0$. Следовательно, $x \ne 5$ и $x \ne -5$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-5)^2(x+5)$:

$\frac{2(x+5)}{(x-5)^2(x+5)} - \frac{(x-5)^2}{(x-5)^2(x+5)} = \frac{10(x-5)}{(x-5)^2(x+5)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$2(x+5) - (x-5)^2 = 10(x-5)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2x + 10 - (x^2 - 10x + 25) = 10x - 50$

$2x + 10 - x^2 + 10x - 25 = 10x - 50$

$-x^2 + 12x - 15 = 10x - 50$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 12x + 15 + 10x - 50 = 0$

$x^2 - 2x - 35 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -35$

Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ne 5, x \ne -5$). Корень $x = -5$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ. Корень $x = 7$ удовлетворяет условию.

Ответ: $x=7$.

б) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{1}{x-6} = \frac{12}{x^2 - 36}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы: квадрат суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$

$x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$

Перепишем уравнение:

$\frac{2}{(x+6)^2} - \frac{1}{x-6} = \frac{12}{(x-6)(x+6)}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+6 \ne 0$ и $x-6 \ne 0$. Следовательно, $x \ne -6$ и $x \ne 6$.

Общий знаменатель: $(x+6)^2(x-6)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2(x-6) - 1(x+6)^2 = 12(x+6)$

Раскроем скобки:

$2x - 12 - (x^2 + 12x + 36) = 12x + 72$

$2x - 12 - x^2 - 12x - 36 = 12x + 72$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 - 10x - 48 = 12x + 72$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = x^2 + 10x + 48 + 12x + 72$

$x^2 + 22x + 120 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -22$

$x_1 \cdot x_2 = 120$

Подбором находим корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = -12$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ne -6, x \ne 6$). Оба корня удовлетворяют условиям ОДЗ.

Ответ: $x_1 = -10, x_2 = -12$.

999. a) $\frac{1}{x-8} + \frac{1}{x-6} + \frac{1}{x+6} + \frac{1}{x+8} = 0;$

б) $\frac{3}{x-2} - \frac{4}{x-1} = \frac{1}{x-4} - \frac{2}{x-3}.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x-8} + \frac{1}{x-6} + \frac{1}{x+6} + \frac{1}{x+8} = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели дробей не равны нулю. Таким образом, $ x \ne 8 $, $ x \ne 6 $, $ x \ne -6 $ и $ x \ne -8 $.

Для решения сгруппируем слагаемые, чтобы использовать формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $.

$ \left(\frac{1}{x-8} + \frac{1}{x+8}\right) + \left(\frac{1}{x-6} + \frac{1}{x+6}\right) = 0 $

Приведем дроби в каждой из скобок к общему знаменателю:

$ \frac{x+8+x-8}{(x-8)(x+8)} + \frac{x+6+x-6}{(x-6)(x+6)} = 0 $

Упростим числители и применим формулу разности квадратов к знаменателям:

$ \frac{2x}{x^2-64} + \frac{2x}{x^2-36} = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2x $ за скобку:

$ 2x \left( \frac{1}{x^2-64} + \frac{1}{x^2-36} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $ 2x = 0 $, откуда получаем первый корень $ x_1 = 0 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2) $ \frac{1}{x^2-64} + \frac{1}{x^2-36} = 0 $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x^2-64)(x^2-36) $:

$ \frac{x^2-36 + x^2-64}{(x^2-64)(x^2-36)} = 0 $

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Условие на знаменатель выполняется в рамках ОДЗ. Приравниваем числитель к нулю:

$ 2x^2 - 100 = 0 $

$ 2x^2 = 100 $

$ x^2 = 50 $

Отсюда находим еще два корня: $ x = \pm\sqrt{50} = \pm\sqrt{25 \cdot 2} = \pm5\sqrt{2} $.

Корни $ x_2 = 5\sqrt{2} $ и $ x_3 = -5\sqrt{2} $ также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 0; -5\sqrt{2}; 5\sqrt{2} $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x-1} = \frac{1}{x-4} - \frac{2}{x-3} $.

ОДЗ: $ x \ne 2, x \ne 1, x \ne 4, x \ne 3 $.

Приведем к общему знаменателю дроби в левой и правой частях уравнения.

Левая часть: $ \frac{3(x-1) - 4(x-2)}{(x-2)(x-1)} = \frac{3x-3-4x+8}{x^2-x-2x+2} = \frac{-x+5}{x^2-3x+2} $.

Правая часть: $ \frac{1(x-3) - 2(x-4)}{(x-4)(x-3)} = \frac{x-3-2x+8}{x^2-3x-4x+12} = \frac{-x+5}{x^2-7x+12} $.

Теперь уравнение имеет вид:

$ \frac{-x+5}{x^2-3x+2} = \frac{-x+5}{x^2-7x+12} $

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$ \frac{-x+5}{x^2-3x+2} - \frac{-x+5}{x^2-7x+12} = 0 $

Вынесем общий множитель $ (-x+5) $ за скобку:

$ (-x+5) \left( \frac{1}{x^2-3x+2} - \frac{1}{x^2-7x+12} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $ -x+5 = 0 $, откуда $ x_1 = 5 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

2) $ \frac{1}{x^2-3x+2} - \frac{1}{x^2-7x+12} = 0 $.

$ \frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{x^2-7x+12} $

Поскольку числители дробей равны (оба равны 1), то и их знаменатели должны быть равны:

$ x^2-3x+2 = x^2-7x+12 $

Вычтем $ x^2 $ из обеих частей:

$ -3x+2 = -7x+12 $

$ 7x-3x = 12-2 $

$ 4x = 10 $

$ x_2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5 $.

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 2,5; 5 $.

1000. а) $\frac{1}{x - x^{-1}} = 1;$

б) $\frac{1}{x + x^{-1}} = 1;$

в) $\frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5};$

г) $\frac{1}{x^2 - 12x + 36} + \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x + 6}.$

а)Исходное уравнение: $\frac{1}{x - x^{-1}} = 1$.
Преобразуем знаменатель, используя свойство степени $x^{-1} = \frac{1}{x}$: $x - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x}$.
Подставим это выражение в уравнение: $\frac{1}{\frac{x^2-1}{x}} = 1$, что эквивалентно $\frac{x}{x^2 - 1} = 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$ и $x^2 - 1 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Решаем уравнение $\frac{x}{x^2 - 1} = 1$. Умножим обе части на $x^2-1$:
$x = x^2 - 1$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - x - 1 = 0$
Решаем это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. В нашем случае $a=1, b=-1, c=-1$.
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
Оба найденных корня не равны $0, 1, -1$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

б)Исходное уравнение: $\frac{1}{x + x^{-1}} = 1$.
Преобразуем знаменатель: $x + x^{-1} = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x}$.
Подставим в уравнение: $\frac{1}{\frac{x^2+1}{x}} = 1$, что эквивалентно $\frac{x}{x^2 + 1} = 1$.
ОДЗ: $x \neq 0$. Знаменатель $x^2+1$ всегда положителен при любом действительном $x$.
Решаем уравнение $\frac{x}{x^2 + 1} = 1$:
$x = x^2 + 1$
Приводим к стандартному виду: $x^2 - x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

в)Исходное уравнение: $\frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5}$.
Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$
$25 - x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5)$
Перепишем уравнение: $\frac{2}{(x+5)^2} - \frac{10}{-(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5}$.
Упростим: $\frac{2}{(x+5)^2} + \frac{10}{(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5}$.
ОДЗ: знаменатели не должны равняться нулю, т.е. $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-5)(x+5)^2$ и умножим на него обе части уравнения:
$2(x-5) + 10(x+5) = 1(x+5)^2$
Раскроем скобки: $2x - 10 + 10x + 50 = x^2 + 10x + 25$.
Приведем подобные слагаемые: $12x + 40 = x^2 + 10x + 25$.
Перенесем все в одну сторону: $x^2 - 2x - 15 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -15, а их сумма равна 2. Корни: $x_1 = 5, x_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 5$ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = -3$.

г)Исходное уравнение: $\frac{1}{x^2 - 12x + 36} + \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x + 6}$.
Разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2$
$36 - x^2 = (6-x)(6+x) = -(x-6)(x+6)$
Перепишем уравнение: $\frac{1}{(x-6)^2} - \frac{12}{(x-6)(x+6)} = \frac{1}{x+6}$.
ОДЗ: $x \neq 6$ и $x \neq -6$.
Общий знаменатель: $(x-6)^2(x+6)$. Умножим обе части уравнения на него:
$1(x+6) - 12(x-6) = 1(x-6)^2$
Раскроем скобки: $x + 6 - 12x + 72 = x^2 - 12x + 36$.
Приведем подобные слагаемые: $-11x + 78 = x^2 - 12x + 36$.
Перенесем все в одну сторону: $x^2 - x - 42 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -42, а их сумма равна 1. Корни: $x_1 = 7, x_2 = -6$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2 = -6$ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ. Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 7$.

Подберите число x, удовлетворяющее равенству, если это возможно (1001–1005):

1001. а) $\sqrt{x+1} = 5;$ б) $\sqrt{x+3} = 1;$ в) $\sqrt{2x-1} = 3;$ г) $\sqrt{3x-2} = 4.$

а) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x + 1} = 5$.
Чтобы найти значение $x$, возведем обе части уравнения в квадрат. Это позволит избавиться от знака квадратного корня.
$(\sqrt{x + 1})^2 = 5^2$
$x + 1 = 25$
Далее решим полученное линейное уравнение:
$x = 25 - 1$
$x = 24$
Для проверки подставим найденное значение в исходное равенство:
$\sqrt{24 + 1} = \sqrt{25} = 5$
Так как $5=5$, равенство верно.
Ответ: $x=24$.

б) Дано уравнение $\sqrt{x + 3} = 1$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x + 3})^2 = 1^2$
$x + 3 = 1$
Решим полученное уравнение относительно $x$:
$x = 1 - 3$
$x = -2$
Выполним проверку, подставив $x = -2$ в исходное уравнение:
$\sqrt{-2 + 3} = \sqrt{1} = 1$
Равенство $1=1$ является верным.
Ответ: $x=-2$.

в) Дано уравнение $\sqrt{2x - 1} = 3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{2x - 1})^2 = 3^2$
$2x - 1 = 9$
Теперь решим линейное уравнение:
$2x = 9 + 1$
$2x = 10$
$x = \frac{10}{2}$
$x = 5$
Проверим полученный корень:
$\sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$
Равенство $3=3$ истинно.
Ответ: $x=5$.

г) Дано уравнение $\sqrt{3x - 2} = 4$.
Возведем в квадрат левую и правую части уравнения:
$(\sqrt{3x - 2})^2 = 4^2$
$3x - 2 = 16$
Решим полученное уравнение:
$3x = 16 + 2$
$3x = 18$
$x = \frac{18}{3}$
$x = 6$
Проверим найденное решение:
$\sqrt{3 \cdot 6 - 2} = \sqrt{18 - 2} = \sqrt{16} = 4$
Равенство $4=4$ является верным.
Ответ: $x=6$.

1002. a) $\sqrt[3]{x}=-1$;б) $\sqrt[4]{x}=2$;в) $\sqrt[3]{x+1}=2$;г) $\sqrt[3]{2x-1}=0$.

а) Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = -1$.
Чтобы найти значение $x$, необходимо возвести обе части уравнения в третью степень (так как корень кубический).
$(\sqrt[3]{x})^3 = (-1)^3$
$x = -1$
Поскольку показатель корня (3) — нечетное число, переменная под корнем может быть любым действительным числом, включая отрицательные. Поэтому полученное решение является корректным.
Проверка: Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение: $\sqrt[3]{-1} = -1$. Равенство верно.
Ответ: -1

б) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} = 2$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень.
$(\sqrt[4]{x})^4 = 2^4$
$x = 16$
Поскольку показатель корня (4) — четное число, подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), и значение самого корня также должно быть неотрицательным. В данном уравнении значение корня равно 2 (положительное число), что является допустимым. Найденный корень $x=16$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Проверка: Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение: $\sqrt[4]{16} = 2$. Равенство верно.
Ответ: 16

в) Дано уравнение $\sqrt[3]{x+1} = 2$.
Возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от знака корня.
$(\sqrt[3]{x+1})^3 = 2^3$
$x+1 = 8$
Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.
$x = 8 - 1$
$x = 7$
Проверка: Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение: $\sqrt[3]{7+1} = \sqrt[3]{8} = 2$. Равенство верно.
Ответ: 7

г) Дано уравнение $\sqrt[3]{2x-1} - 1 = 0$.
Сначала изолируем радикал (корень), перенеся -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$\sqrt[3]{2x-1} = 1$
Теперь возведем обе части уравнения в третью степень.
$(\sqrt[3]{2x-1})^3 = 1^3$
$2x-1 = 1$
Решим полученное линейное уравнение. Перенесем -1 в правую часть.
$2x = 1 + 1$
$2x = 2$
Разделим обе части уравнения на 2.
$x = \frac{2}{2}$
$x = 1$
Проверка: Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение: $\sqrt[3]{2(1)-1} - 1 = \sqrt[3]{2-1} - 1 = \sqrt[3]{1} - 1 = 1 - 1 = 0$. Равенство верно.
Ответ: 1

1003. a) $x^2 - 3x + 2 = (1 - x)\sqrt{x}$;

б) $\frac{2}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} = 1.$

а) $x^2 - 3x + 2 = (1 - x)\sqrt{x}$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия квадратного корня из $x$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Разложим на множители левую часть уравнения. Квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 2$ имеет корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$ (по теореме Виета, их сумма равна 3, а произведение равно 2). Следовательно, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

3. Подставим разложение в исходное уравнение: $(x-1)(x-2) = (1-x)\sqrt{x}$.

4. Заметим, что $(1-x) = -(x-1)$. Перепишем уравнение: $(x-1)(x-2) = -(x-1)\sqrt{x}$.

5. Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(x-1)$: $(x-1)(x-2) + (x-1)\sqrt{x} = 0$
$(x-1)((x-2) + \sqrt{x}) = 0$

6. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x-1 = 0 \implies x = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$). Проверим его, подставив в исходное уравнение: $1^2 - 3(1) + 2 = (1-1)\sqrt{1} \implies 1 - 3 + 2 = 0 \cdot 1 \implies 0 = 0$. Корень $x=1$ является решением.

Случай 2: $x-2 + \sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x} = 2-x$. Для этого иррационального уравнения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной (так как квадратный корень не может быть отрицательным): $2-x \ge 0 \implies x \le 2$. С учетом ОДЗ ($x \ge 0$), получаем ограничение для этого случая: $0 \le x \le 2$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = 2-x$ в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = (2-x)^2$
$x = 4 - 4x + x^2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

7. Проверим найденные корни на соответствие ограничению $0 \le x \le 2$: - $x=1$ удовлетворяет условию ($0 \le 1 \le 2$). Этот корень мы уже нашли в первом случае. - $x=4$ не удовлетворяет условию ($4 \not\le 2$). Это посторонний корень.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=1$.

Ответ: 1.

б) $\frac{2}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} = 1$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\sqrt{x}$ находится в знаменателе, поэтому $x$ должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

2. Для решения уравнения введем замену. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $x > 0$, то и $t > 0$.

3. Подставим новую переменную в уравнение: $\frac{2}{t} - t = 1$

4. Умножим обе части уравнения на $t$ (это допустимо, так как $t \neq 0$): $t \cdot (\frac{2}{t} - t) = 1 \cdot t$
$2 - t^2 = t$

5. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $t^2 + t - 2 = 0$

6. Решим это уравнение относительно $t$. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а сумма равна -1. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$. Или можно использовать формулу для корней квадратного уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$. $t_1 = \frac{-1+3}{2} = 1$
$t_2 = \frac{-1-3}{2} = -2$

7. Вспомним про наше ограничение на $t$: $t > 0$. - $t_1 = 1$ удовлетворяет этому условию. - $t_2 = -2$ не удовлетворяет этому условию, поэтому это посторонний корень.

8. Теперь вернемся к исходной переменной $x$. У нас есть единственный подходящий корень $t=1$: $\sqrt{x} = t \implies \sqrt{x} = 1$

9. Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$: $x = 1^2 \implies x = 1$

10. Проверим, соответствует ли найденный корень $x=1$ ОДЗ ($x>0$). Да, $1>0$. Подставим в исходное уравнение для окончательной проверки: $\frac{2}{\sqrt{1}} - \sqrt{1} = \frac{2}{1} - 1 = 2-1 = 1$. Верно.

Ответ: 1.

1004. a) $\sqrt{x} = -3;$

б) $\sqrt{-x} = 3;$

в) $\sqrt{2x + 1} = 2;$

г) $\sqrt{1 - x} = 3.$

а) Решим уравнение $\sqrt{x} = -3$.

По определению, арифметический квадратный корень (обозначаемый символом $\sqrt{}$) из любого неотрицательного числа является неотрицательным числом. В данном уравнении значение корня приравнивается к отрицательному числу -3, что противоречит определению арифметического квадратного корня. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: нет корней.

б) Решим уравнение $\sqrt{-x} = 3$.

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{-x})^2 = 3^2$

$-x = 9$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = -9$

Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt{-(-9)} = \sqrt{9} = 3$.

$3 = 3$. Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: -9.

в) Решим уравнение $\sqrt{2x + 1} = 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы устранить корень:

$(\sqrt{2x + 1})^2 = 2^2$

$2x + 1 = 4$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$2x = 4 - 1$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$ или $x = 1.5$

Проверим найденный корень:

$\sqrt{2 \cdot 1.5 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

$2 = 2$. Равенство верное, решение корректно.

Ответ: 1,5.

г) Решим уравнение $\sqrt{1 - x} = 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{1 - x})^2 = 3^2$

$1 - x = 9$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$-x = 9 - 1$

$-x = 8$

$x = -8$

Выполним проверку:

$\sqrt{1 - (-8)} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$.

$3 = 3$. Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: -8.

1005. а) $x^{\frac{1}{3}} = 2$;

б) $x^{\frac{2}{3}} = 3$;

в) $x^{\frac{1}{5}} = -1;$

г) $x^{-\frac{1}{3}} = 2;$

д) $x^{-\frac{2}{3}} = 1;$

е) $x^{\frac{3}{5}} = -2.$

а) Чтобы решить уравнение $x^{\frac{1}{3}} = 2$, необходимо возвести обе его части в степень $3$, чтобы избавиться от дробного показателя у переменной $x$.
$(x^{\frac{1}{3}})^3 = 2^3$
При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 8$
$x^1 = 8$
$x = 8$.
Ответ: $8$.

б) В уравнении $x^{\frac{2}{3}} = 3$ показатель степени имеет нечетный знаменатель $3$, поэтому основание $x$ может быть как положительным, так и отрицательным. Представим уравнение в виде $(\sqrt[3]{x})^2 = 3$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$\sqrt[3]{x} = \sqrt{3}$ или $\sqrt[3]{x} = -\sqrt{3}$.
Теперь возведем в куб обе части каждого из полученных уравнений:
1) $(\sqrt[3]{x})^3 = (\sqrt{3})^3 \implies x = 3\sqrt{3}$.
2) $(\sqrt[3]{x})^3 = (-\sqrt{3})^3 \implies x = -3\sqrt{3}$.
Следовательно, уравнение имеет два решения.
Ответ: $\pm 3\sqrt{3}$.

в) Дано уравнение $x^{\frac{1}{5}} = -1$. Это то же самое, что и $\sqrt[5]{x} = -1$.
Показатель степени $\frac{1}{5}$ имеет нечетный знаменатель, поэтому основание $x$ может быть отрицательным.
Возведем обе части уравнения в степень $5$:
$(x^{\frac{1}{5}})^5 = (-1)^5$
$x = -1$.
Ответ: $-1$.

г) Дано уравнение $x^{-\frac{1}{3}} = 2$.
По определению степени с отрицательным показателем, $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Поэтому уравнение можно переписать так:
$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$
Отсюда $x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$.
Теперь возведем обе части в куб:
$(x^{\frac{1}{3}})^3 = (\frac{1}{2})^3$
$x = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

д) В уравнении $x^{-\frac{2}{3}} = 1$ показатель степени отрицательный, поэтому $x \neq 0$. Перепишем уравнение:
$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 1$, что равносильно $x^{\frac{2}{3}} = 1$.
Как и в пункте б), знаменатель показателя нечетный. Запишем уравнение в виде $(\sqrt[3]{x})^2 = 1$.
Извлекая квадратный корень, получаем:
$\sqrt[3]{x} = 1$ или $\sqrt[3]{x} = -1$.
Возводя в куб каждое уравнение:
1) $x = 1^3 = 1$.
2) $x = (-1)^3 = -1$.
Оба решения удовлетворяют условию $x \neq 0$.
Ответ: $\pm 1$.

е) Дано уравнение $x^{\frac{3}{5}} = -2$.
Поскольку знаменатель показателя $5$ является нечетным числом, основание степени $x$ может быть отрицательным. Запишем уравнение в виде $(\sqrt[5]{x})^3 = -2$.
Чтобы найти $\sqrt[5]{x}$, извлечем кубический корень из обеих частей:
$\sqrt[5]{x} = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$.
Теперь возведем обе части в степень $5$:
$x = (-\sqrt[3]{2})^5 = -((\sqrt[3]{2})^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^2) = -(2 \cdot \sqrt[3]{2^2}) = -2\sqrt[3]{4}$.
Ответ: $-2\sqrt[3]{4}$.