Страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1040. Постройте графики функций $y = x$ и $y = x^2$. Имеются ли точки, принадлежащие графикам этих функций, обладающие свойством симметричности относительно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат;

в) начала координат?

Сначала построим графики заданных функций.

1. График функции $y=x$ — это прямая линия. Она является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через начало координат. Для построения можно взять две точки, например, (0, 0) и (2, 2).

2. График функции $y=x^2$ — это парабола. Ее вершина находится в начале координат (0, 0), а ветви направлены вверх. График проходит через точки (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4).

Теперь проанализируем симметричность точек на этих графиках.

а) оси абсцисс
Симметрия относительно оси абсцисс (оси $Ox$) означает, что для каждой точки $(x, y)$, принадлежащей графику, точка $(x, -y)$ также должна принадлежать ему.

Для функции $y=x$: если точка $(x, y)$ лежит на графике, то $y=x$. Чтобы симметричная ей точка $(x, -y)$ тоже лежала на графике, должно выполняться условие $-y = x$. Система уравнений $\begin{cases} y = x \\ -y = x \end{cases}$ имеет единственное решение $x=0, y=0$. Таким образом, только точка (0, 0) обладает этим свойством (она симметрична самой себе).

Для функции $y=x^2$: если точка $(x, y)$ лежит на графике, то $y=x^2$. Для симметричной точки $(x, -y)$ должно выполняться условие $-y = x^2$. Система уравнений $\begin{cases} y = x^2 \\ -y = x^2 \end{cases}$ приводит к равенству $-x^2 = x^2$, что возможно только при $x^2=0$, то есть $x=0$. Тогда и $y=0$. Следовательно, только точка (0, 0) симметрична самой себе относительно оси абсцисс.

Ответ: Да, имеются. Для обоих графиков это точка (0, 0), которая лежит на оси симметрии и поэтому симметрична самой себе. Других пар точек, обладающих этим свойством симметричности, на данных графиках нет.

б) оси ординат
Симметрия относительно оси ординат (оси $Oy$) означает, что для каждой точки $(x, y)$, принадлежащей графику, точка $(-x, y)$ также должна принадлежать ему. Это свойство выполняется для четных функций, у которых $f(-x) = f(x)$.

Для функции $y=x$: проверим свойство четности: $f(-x) = -x$. Так как $-x \neq x$ (кроме $x=0$), функция не является четной. Ее график не симметричен относительно оси ординат. Единственная точка, которая симметрична самой себе, — это точка (0, 0), лежащая на оси $Oy$.

Для функции $y=x^2$: проверим свойство четности: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат. Для любой точки $(a, a^2)$ на параболе (где $a \neq 0$), существует симметричная ей точка $(-a, a^2)$, которая также лежит на параболе. Например, точки (2, 4) и (-2, 4).

Ответ: Да, имеются. Для графика $y=x$ это только точка (0, 0). Для графика $y=x^2$ свойством симметрии относительно оси ординат обладает любая пара точек вида $(a, a^2)$ и $(-a, a^2)$, а также точка (0, 0).

в) начала координат
Симметрия относительно начала координат (0, 0) означает, что для каждой точки $(x, y)$, принадлежащей графику, точка $(-x, -y)$ также должна принадлежать ему. Это свойство выполняется для нечетных функций, у которых $f(-x) = -f(x)$.

Для функции $y=x$: проверим свойство нечетности: $f(-x) = -x$. Так как $-f(x) = -x$, то $f(-x) = -f(x)$. Функция является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат. Для любой точки $(a, a)$ на прямой (где $a \neq 0$), существует симметричная ей точка $(-a, -a)$, которая также лежит на прямой.

Для функции $y=x^2$: мы уже установили, что функция четная. Она не может быть нечетной, кроме случая $f(x)=0$. Если точка $(x,y)$ лежит на графике, то $y=x^2$. Для симметричной точки $(-x, -y)$ должно выполняться условие $-y = (-x)^2 = x^2$. Система $\begin{cases} y = x^2 \\ -y = x^2 \end{cases}$ имеет единственное решение $x=0, y=0$. Таким образом, только начало координат (0, 0) симметрично самому себе.

Ответ: Да, имеются. Для графика $y=x$ свойством симметрии относительно начала координат обладает любая пара точек вида $(a, a)$ и $(-a, -a)$, а также точка (0, 0). Для графика $y=x^2$ это только точка (0, 0).

1041. Существуют ли $x$, такие, что $x^3 = x$?

Да, такие значения x существуют. Чтобы их найти, необходимо решить уравнение:
$x^3 = x$

Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы правая часть стала равна нулю:
$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель x за скобки:
$x(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:
1) $x = 0$
2) $x^2 - 1 = 0$

Первый корень уравнения — $x_1 = 0$.
Решим второе уравнение, $x^2 - 1 = 0$. Это формула разности квадратов, которую можно разложить на множители:
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

Следовательно, мы нашли три числа, для которых выполняется исходное равенство.

Ответ: да, существуют. Такими числами являются $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$.

1042. Используя графики функций, определите число корней уравнения:

а) $x^3 = x^2$;

б) $x^3 = x^4$;

в) $x^4 = x^2 - 4$;

г) $x^3 - 1 = x^2$.

а) Для того чтобы определить число корней уравнения $x^3 = x^2$, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = x^2$ (парабола). График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат. Графики пересекаются в двух точках: $(0, 0)$ и $(1, 1)$, так как $0^3 = 0^2$ и $1^3 = 1^2$. При $x < 0$ значения функции $y = x^3$ отрицательны, а $y = x^2$ — положительны, поэтому других пересечений слева от оси ординат нет. При $x > 1$ кубическая парабола растет быстрее параболы ($x^3 > x^2$), а при $0 < x < 1$ — наоборот ($x^3 < x^2$), поэтому других пересечений также нет. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2

б) Чтобы определить число корней уравнения $x^3 = x^4$, построим графики функций $y = x^3$ и $y = x^4$. График $y = x^3$ — кубическая парабола. График $y = x^4$ — четная функция, ее график симметричен относительно оси ординат, проходит через точку $(0, 0)$ и похож на параболу, но более "плоский" у вершины. Оба графика проходят через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, что соответствует корням $x=0$ и $x=1$. При $x < 0$ функция $y = x^3$ принимает отрицательные значения, а $y = x^4$ — положительные, поэтому пересечений в этой области нет. При $x > 1$ значения $x^4$ больше значений $x^3$, а при $0 < x < 1$ — наоборот, $x^3 > x^4$. Таким образом, существует ровно две точки пересечения. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2

в) Для определения числа корней уравнения $x^4 = x^2 - 4$ рассмотрим графики функций $y = x^4$ и $y = x^2 - 4$. График $y = x^4$ — кривая, расположенная в верхней полуплоскости, с минимальным значением $y=0$ в точке $x=0$. График $y = x^2 - 4$ — это парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси ординат. Ее вершина находится в точке $(0, -4)$. Минимальное значение функции $y = x^4$ равно 0. Максимальное значение функции $y = x^2 - 4$ не ограничено, но все ее значения меньше значений $y=x^4$ для тех же $x$. Чтобы убедиться в отсутствии пересечений, рассмотрим разность функций: $x^4 - (x^2 - 4) = x^4 - x^2 + 4$. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \geq 0$. Получим квадратное выражение $t^2 - t + 4$. Дискриминант этого трехчлена равен $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $t^2$ положителен, выражение $t^2 - t + 4$ всегда положительно. Это означает, что $x^4 > x^2 - 4$ для всех действительных $x$. Таким образом, графики функций не пересекаются. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: 0

г) Преобразуем уравнение $x^3 - 1 = x^2$ к виду $x^3 = x^2 + 1$. Рассмотрим графики функций $y = x^3$ и $y = x^2 + 1$. График $y = x^3$ — кубическая парабола. График $y = x^2 + 1$ — это парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси ординат. Ее вершина находится в точке $(0, 1)$, и все ее значения не меньше 1. При $x \leq 0$, значения $y = x^3$ неположительны ($y \leq 0$), а значения $y = x^2 + 1$ не меньше единицы ($y \geq 1$), поэтому пересечений в этой области нет. При $x > 0$ обе функции возрастают. При $x=1$ имеем $y=x^3=1$ и $y=x^2+1=2$. При $x=2$ имеем $y=x^3=8$ и $y=x^2+1=5$. Так как при $x=1$ график параболы выше, а при $x=2$ — ниже графика кубической параболы, и обе функции непрерывны, то где-то между $x=1$ и $x=2$ графики должны пересечься. Поскольку при $x > 2/3$ функция $y=x^3$ растет быстрее, чем $y=x^2+1$, больше пересечений не будет. Таким образом, существует только одна точка пересечения. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1

Используя графики функций, решите неравенство (1043–1044):

1043. a) $\frac{1}{x} > 0;$

б) $\frac{1}{x} < 0;$

в) $-\frac{2}{x} > 0;$

г) $-\frac{4}{x} < 0;$

д) $\frac{1}{x} > 1;$

е) $\frac{1}{x} < 2;$

ж) $\frac{2}{x} > 3;$

з) $-\frac{2}{x} > 3.$

а) $\frac{1}{x} > 0$

Для решения этого неравенства графическим методом рассмотрим две функции: $y = \frac{1}{x}$ и $y = 0$. График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах. График функции $y = 0$ — это ось абсцисс (ось Ox). Нам нужно найти те значения $x$, при которых график функции $y = \frac{1}{x}$ находится выше оси Ox.

Глядя на график, мы видим, что значения функции $y = \frac{1}{x}$ положительны (то есть $y > 0$) в первой координатной четверти. Это соответствует всем положительным значениям $x$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$

б) $\frac{1}{x} < 0$

Рассмотрим те же функции, что и в предыдущем пункте: $y = \frac{1}{x}$ и $y = 0$. В данном случае нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = \frac{1}{x}$ находится ниже оси Ox.

Анализируя график гиперболы $y = \frac{1}{x}$, мы видим, что её значения отрицательны ($y < 0$) в третьей координатной четверти. Это происходит при всех отрицательных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$

в) $-\frac{2}{x} > 0$

Рассмотрим функцию $y = -\frac{2}{x}$. Это гипербола, коэффициент $k = -2$ отрицателен, поэтому её ветви расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Нам нужно определить, при каких значениях $x$ график этой функции находится выше оси Ox ($y > 0$).

Ветвь гиперболы во второй четверти соответствует отрицательным значениям $x$ и положительным значениям $y$. Ветвь в четвертой четверти соответствует положительным $x$ и отрицательным $y$. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из второй четверти.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$

г) $-\frac{4}{x} < 0$

Рассмотрим функцию $y = -\frac{4}{x}$. Как и в предыдущем примере, это гипербола с ветвями во второй и четвертой четвертях ($k = -4 < 0$). Нам нужно найти, при каких $x$ график этой функции лежит ниже оси Ox ($y < 0$).

Из расположения ветвей следует, что значения функции отрицательны в четвертой координатной четверти. Это соответствует всем положительным значениям $x$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$

д) $\frac{1}{x} > 1$

Для решения этого неравенства сравним графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = 1$. График $y = \frac{1}{x}$ — гипербола в I и III четвертях, а график $y = 1$ — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 1)$. Нам нужно найти те $x$, при которых график гиперболы находится выше прямой $y=1$.

Сначала найдем точку их пересечения: $\frac{1}{x} = 1$, откуда $x = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

Ветвь гиперболы в III четверти всегда лежит ниже оси Ox, а значит, и ниже прямой $y=1$. Ветвь в I четверти является убывающей. Она находится выше прямой $y=1$ на промежутке от оси Oy до точки пересечения, то есть при $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0; 1)$

е) $\frac{1}{x} < 2$

Сравним графики функций $y = \frac{1}{x}$ (гипербола в I и III четвертях) и $y = 2$ (горизонтальная прямая). Нам нужно найти $x$, при которых гипербола находится ниже прямой $y=2$.

Найдем точку пересечения: $\frac{1}{x} = 2$, откуда $x = \frac{1}{2}$. Точка пересечения — $(\frac{1}{2}, 2)$.

Рассмотрим два случая:

1. Ветвь в I четверти ($x > 0$). Так как функция $y=\frac{1}{x}$ здесь убывает, ее график будет ниже прямой $y=2$ справа от точки пересечения, то есть при $x > \frac{1}{2}$.

2. Ветвь в III четверти ($x < 0$). Здесь все значения функции $y=\frac{1}{x}$ отрицательны, поэтому они заведомо меньше 2. Таким образом, вся левая ветвь гиперболы удовлетворяет неравенству. Это соответствует промежутку $x < 0$.

Объединяя оба случая, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$

ж) $\frac{2}{x} > 3$

Сравним графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = 3$. График $y = \frac{2}{x}$ — гипербола в I и III четвертях, а $y = 3$ — горизонтальная прямая. Ищем значения $x$, при которых график гиперболы выше прямой.

Найдем точку пересечения: $\frac{2}{x} = 3$, откуда $3x=2$, $x = \frac{2}{3}$. Точка пересечения — $(\frac{2}{3}, 3)$.

Ветвь в III четверти ($x < 0$) имеет отрицательные значения, поэтому не может быть больше 3. Ветвь в I четверти ($x > 0$) убывает. Она находится выше прямой $y=3$ левее точки пересечения, то есть на интервале от 0 до $\frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (0; \frac{2}{3})$

з) $-\frac{2}{x} > 3$

Сравним графики функций $y = -\frac{2}{x}$ и $y = 3$. График $y = -\frac{2}{x}$ — гипербола во II и IV четвертях, $y = 3$ — горизонтальная прямая. Ищем $x$, при которых гипербола выше прямой.

Найдем точку пересечения: $-\frac{2}{x} = 3$, откуда $3x=-2$, $x = -\frac{2}{3}$. Точка пересечения — $(-\frac{2}{3}, 3)$.

Ветвь в IV четверти ($x > 0$) имеет отрицательные значения и не может быть больше 3. Ветвь во II четверти ($x < 0$) является возрастающей. Она находится выше прямой $y=3$ справа от точки пересечения, то есть на интервале от $-\frac{2}{3}$ до 0.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{3}; 0)$

1044. а) $x^3 > x;$

б) $x^2 < x^5;$

в) $x^4 > x^2;$

г) $\frac{1}{x} > x^2 - 4;$

д) $\frac{1}{x} < x;$

е) $x > \frac{1}{x} - 3.$

а) $x^3 > x$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^3 - x > 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) > 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:

$x(x - 1)(x + 1) > 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 1)(x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак выражения $x(x-1)(x+1)$ на каждом интервале.

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $2(2-1)(2+1) = 6 > 0$. Знак "+".
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $0.5(0.5-1)(0.5+1) = -0.375 < 0$. Знак "-".
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $-0.5(-0.5-1)(-0.5+1) = 0.375 > 0$. Знак "+".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $-2(-2-1)(-2+1) = -6 < 0$. Знак "-".

Поскольку знак неравенства ">", мы выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.

б) $x^2 < x^5$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить положительный старший коэффициент:

$x^5 - x^2 > 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^3 - 1) > 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности кубов:

$x^2(x - 1)(x^2 + x + 1) > 0$

Рассмотрим каждый множитель:

• Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Так как неравенство строгое, $x^2$ не может быть равно нулю, следовательно $x \neq 0$. При $x \neq 0$, множитель $x^2$ всегда положителен.
• Множитель $(x^2 + x + 1)$ является квадратным трехчленом. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент ($1$) положителен, этот трехчлен всегда принимает положительные значения при любом $x$.

Поскольку $x^2 > 0$ (при $x \neq 0$) и $x^2 + x + 1 > 0$, знак всего выражения зависит только от знака множителя $(x - 1)$. Неравенство сводится к следующему:

$x - 1 > 0$ и $x \neq 0$

Решая $x - 1 > 0$, получаем $x > 1$. Это решение удовлетворяет условию $x \neq 0$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

в) $x^4 > x^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^4 - x^2 > 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 1) > 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:

$x^2(x - 1)(x + 1) > 0$

Множитель $x^2 \ge 0$. Для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. При этом условии $x^2$ всегда положителен, и мы можем разделить обе части неравенства на $x^2$, не меняя знака:

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Корни уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Графиком функции $y = (x-1)(x+1)$ является парабола с ветвями вверх, которая принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Это решение не содержит $x=0$, поэтому дополнительное условие $x \neq 0$ выполняется.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

г) $\frac{1}{x} > x^2 - 4$

Область допустимых значений: $x \neq 0$. Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{x} - x^2 + 4 > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 - x(x^2 - 4)}{x} > 0$

$\frac{1 - x^3 + 4x}{x} > 0$

Умножим числитель и знаменатель на -1, чтобы старший коэффициент в числителе стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^3 - 4x - 1}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки — это корень знаменателя $x = 0$ и корни числителя, то есть решения уравнения $x^3 - 4x - 1 = 0$. У этого кубического уравнения нет простых рациональных корней. Обозначим его действительные корни как $x_1, x_2, x_3$. С помощью численных методов или анализа графика функции $f(x) = x^3 - 4x - 1$ можно установить, что у уравнения три действительных корня, примерно равные $x_1 \approx -1.86$, $x_2 \approx -0.25$ и $x_3 \approx 2.11$.

Расположим критические точки на числовой прямой в порядке возрастания: $x_1 < x_2 < 0 < x_3$. Эти точки разбивают прямую на интервалы. Определим знак выражения $\frac{x^3 - 4x - 1}{x}$ на каждом интервале.

• При $x > x_3$ (например, $x=3$): $\frac{3^3 - 4 \cdot 3 - 1}{3} = \frac{14}{3} > 0$. Знак "+".
• При $0 < x < x_3$ (например, $x=1$): $\frac{1^3 - 4 \cdot 1 - 1}{1} = -4 < 0$. Знак "-".
• При $x_2 < x < 0$ (например, $x=-0.1$): числитель $ (-0.1)^3 - 4(-0.1) - 1 \approx -0.6 < 0 $, знаменатель $ -0.1 < 0$. Результат $\frac{-}{-} > 0$. Знак "+".
• При $x_1 < x < x_2$ (например, $x=-1$): $\frac{(-1)^3 - 4(-1) - 1}{-1} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$. Знак "-".
• При $x < x_1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-2)^3 - 4(-2) - 1}{-2} = \frac{-1}{-2} > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $x \in (x_1, x_2) \cup (0, x_3)$, где $x_1, x_2, x_3$ — корни уравнения $x^3 - 4x - 1 = 0$ ($x_1 < x_2 < x_3$).

д) $\frac{1}{x} < x$

Область допустимых значений: $x \neq 0$. Перенесем $x$ в левую часть:

$\frac{1}{x} - x < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 - x^2}{x} < 0$

Разложим числитель на множители:

$\frac{(1 - x)(1 + x)}{x} < 0$

Используем метод интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя): $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Определим знак выражения на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{(1-2)(1+2)}{2} = \frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Знак "-".
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{(1-0.5)(1+0.5)}{0.5} = \frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак "+".
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $\frac{(1-(-0.5))(1-0.5)}{-0.5} = \frac{(+)(+)}{(-)} < 0$. Знак "-".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(1-(-2))(1-2)}{-2} = \frac{(+)(-)}{(-)} > 0$. Знак "+".

Выбираем интервалы со знаком "-", так как неравенство "меньше нуля".

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.

е) $x > \frac{1}{x} - 3$

Область допустимых значений: $x \neq 0$. Перенесем все члены в левую часть:

$x - \frac{1}{x} + 3 > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - 1 + 3x}{x} > 0$

$\frac{x^2 + 3x - 1}{x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Критические точки: корень знаменателя $x=0$ и корни числителя. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$

Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$.

Приближенные значения корней: $\sqrt{13} \approx 3.6$, поэтому $x_1 \approx -3.3$ и $x_2 \approx 0.3$.

Расположим критические точки на числовой прямой: $x_1$, $0$, $x_2$. Они образуют интервалы $(-\infty; x_1)$, $(x_1; 0)$, $(0; x_2)$, $(x_2; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{x^2 + 3x - 1}{x}$ на каждом интервале.

• При $x > x_2$ (например, $x=1$): $\frac{1^2+3 \cdot 1-1}{1} = 3 > 0$. Знак "+".
• При $0 < x < x_2$ (например, $x=0.1$): числитель $0.01+0.3-1 < 0$, знаменатель $>0$. Результат < 0. Знак "-".
• При $x_1 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{(-1)^2+3(-1)-1}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$. Знак "+".
• При $x < x_1$ (например, $x=-4$): $\frac{(-4)^2+3(-4)-1}{-4} = \frac{3}{-4} < 0$. Знак "-".

Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство "больше нуля".

Ответ: $x \in (\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; 0) \cup (\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}; +\infty)$.

1045. Постройте график функции:

а) $y = \frac{|x^3|}{x^2}$;

б) $y = \frac{x^2}{|x^3|}$;

в) $y = x^4 + 1$;

г) $y = x^3 - 1$.

а) $y = \frac{|x^3|}{x^2}$

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Упростим выражение для функции. Воспользуемся свойствами модуля и степени: $|x^3| = |x|^3$ и $x^2 = |x|^2$ (поскольку $x^2$ всегда неотрицательно).

Тогда функцию можно переписать в виде: $y = \frac{|x|^3}{|x|^2}$

При $x \neq 0$ мы можем сократить дробь: $y = |x|$

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = |x|$, исключив из него точку, где $x=0$.

График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей:

• $y = x$ при $x > 0$ (биссектриса первого координатного угла).
• $y = -x$ при $x < 0$ (биссектриса второго координатного угла).

Поскольку $x \neq 0$, точка $(0,0)$ не принадлежит графику. На графике эта точка изображается как выколотая (пустой кружок).

Ответ: График функции представляет собой объединение двух лучей: $y=x$ для $x>0$ и $y=-x$ для $x<0$. Это график функции $y=|x|$ с выколотой точкой в начале координат $(0,0)$.

б) $y = \frac{x^2}{|x^3|}$

Область определения функции: знаменатель $|x^3|$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Упростим выражение. Как и в предыдущем пункте, используем $x^2 = |x|^2$ и $|x^3| = |x|^3$. $y = \frac{|x|^2}{|x|^3}$

При $x \neq 0$ сокращаем дробь: $y = \frac{1}{|x|}$

Раскроем модуль, чтобы построить график:

• Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \frac{1}{-x}$ или $y = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти.

График симметричен относительно оси OY, так как функция $y = \frac{1}{|x|}$ является четной. Ось OY ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось OX ($y=0$) — горизонтальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{|x|}$. Он состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в первой и второй координатных четвертях и симметричных относительно оси OY.

в) $y = x^4 + 1$

Данная функция является степенной функцией. Ее график можно получить из графика базовой функции $y = x^4$ с помощью преобразования.

1. Строим график функции $y = x^4$. Это кривая, похожая на параболу $y=x^2$, но более "плоская" у вершины и круче поднимающаяся при $|x| > 1$. График симметричен относительно оси OY (так как функция четная) и проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

2. Преобразование "+1" означает сдвиг (параллельный перенос) всего графика $y = x^4$ на 1 единицу вверх вдоль оси OY.

В результате сдвига:

• Вершина из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(0, 1)$.
• Точка $(-1, 1)$ переместится в точку $(-1, 2)$.
• Точка $(1, 1)$ переместится в точку $(1, 2)$.

Симметрия относительно оси OY сохранится.

Ответ: График функции получается из графика $y = x^4$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Это кривая, симметричная относительно оси OY, с точкой минимума (вершиной) в $(0, 1)$.

г) $y = x^3 - 1$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^3$ (кубическая парабола) с помощью преобразования.

1. Строим график функции $y = x^3$. Это кривая, проходящая через начало координат $(0, 0)$, которое является для нее точкой перегиба. График симметричен относительно начала координат (так как функция нечетная) и проходит через точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

2. Преобразование "-1" означает сдвиг (параллельный перенос) всего графика $y = x^3$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

В результате сдвига:

• Точка перегиба из $(0, 0)$ переместится в точку $(0, -1)$. Это также будет точка пересечения с осью OY.
• Точка $(-1, -1)$ переместится в точку $(-1, -2)$.
• Точка $(1, 1)$ переместится в точку $(1, 0)$. Это будет точка пересечения с осью OX.

Форма кубической параболы сохраняется.

Ответ: График функции получается из графика кубической параболы $y = x^3$ путем параллельного переноса на 1 единицу вниз вдоль оси OY. График пересекает ось ординат в точке $(0, -1)$ и ось абсцисс в точке $(1, 0)$.

1046. Докажите, что функция $y = -x^3$ является убывающей.

Чтобы доказать, что функция $y = -x^3$ является убывающей, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Областью определения функции $y = -x^3$ является вся числовая прямая, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных числа из области определения, для которых выполняется условие $x_1 < x_2$.

Соответствующие им значения функции равны: $y_1 = y(x_1) = -x_1^3$ и $y_2 = y(x_2) = -x_2^3$.

Сравним $y_1$ и $y_2$, рассмотрев их разность $y_1 - y_2$:
$y_1 - y_2 = (-x_1^3) - (-x_2^3) = -x_1^3 + x_2^3 = x_2^3 - x_1^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для выражения $x_2^3 - x_1^3$:
$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$.

Проанализируем знаки множителей:

1. Множитель $(x_2 - x_1)$. Так как по нашему предположению $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1$ будет положительной: $x_2 - x_1 > 0$.
2. Множитель $(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$. Это выражение является неполным квадратом суммы. Чтобы определить его знак, преобразуем его, выделив полный квадрат:
   $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2 = \left(x_2 + \frac{x_1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}x_1^2$.
   Сумма квадрата $\left(x_2 + \frac{x_1}{2}\right)^2$ и выражения $\frac{3}{4}x_1^2$ может быть равна нулю только если оба слагаемых равны нулю, то есть при $x_1 = 0$ и $x_2 + \frac{x_1}{2} = 0$, что означает $x_1=0$ и $x_2=0$. Это противоречит исходному условию $x_1 < x_2$. Следовательно, при $x_1 < x_2$ выражение $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2$ всегда строго положительно.

Поскольку оба множителя $(x_2 - x_1)$ и $(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$ положительны, их произведение также положительно:
$x_2^3 - x_1^3 > 0$.

Следовательно, разность $y_1 - y_2 = x_2^3 - x_1^3$ также положительна, то есть $y_1 - y_2 > 0$.
Отсюда получаем $y_1 > y_2$.

Итак, мы показали, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$. Согласно определению, это означает, что функция $y = -x^3$ является убывающей на всей своей области определения.

Альтернативное доказательство можно провести с помощью производной. Производная функции $y = -x^3$ равна $y' = (-x^3)' = -3x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $y' = -3x^2 \le 0$ для всех $x$. Равенство нулю достигается только в точке $x=0$. Поскольку производная функции неположительна на всей числовой прямой (и не равна тождественно нулю ни на каком интервале), функция является убывающей.

Ответ: Было доказано, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$, следовательно, функция $y = -x^3$ является убывающей.

1047. Постройте график функции $y = (x-1)^3$.

Для построения графика функции $y = (x-1)^3$ воспользуемся методом преобразования графиков, взяв за основу график функции $y = x^3$.

1. Базовая функция. Сначала рассмотрим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола. Её ключевые свойства:

• График проходит через начало координат $(0, 0)$. Эта точка является точкой перегиба и центром симметрии графика.
• Область определения и область значений — все действительные числа.
• Функция является возрастающей на всей числовой оси.

Составим таблицу нескольких опорных точек для графика $y = x^3$:

2. Преобразование графика. Функция $y = (x-1)^3$ имеет вид $y = f(x-a)$, где $f(x) = x^3$ и $a=1$. Преобразование такого вида соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц. Поскольку $a=1>0$, сдвиг осуществляется вправо на 1 единицу.

3. Построение итогового графика. Чтобы получить график функции $y=(x-1)^3$, нужно каждую точку графика $y=x^3$ сдвинуть на 1 единицу вправо. Точка $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0+1, y_0)$.

Применим это преобразование к опорным точкам:

• Точка $(-2, -8)$ переходит в точку $(-2+1, -8) \rightarrow (-1, -8)$.
• Точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1+1, -1) \rightarrow (0, -1)$.
• Точка $(0, 0)$ переходит в точку $(0+1, 0) \rightarrow (1, 0)$. Это будет новый центр симметрии.
• Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1+1, 1) \rightarrow (2, 1)$.
• Точка $(2, 8)$ переходит в точку $(2+1, 8) \rightarrow (3, 8)$.

Наносим полученные точки на координатную плоскость и соединяем их плавной кривой, сохраняя форму кубической параболы.

Ответ: График функции $y = (x-1)^3$ — это кубическая парабола, полученная в результате сдвига графика функции $y = x^3$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Центр симметрии графика находится в точке $(1, 0)$. График пересекает ось Oy в точке $(0, -1)$ и ось Ox в точке $(1, 0)$.

1048. Найдите значение аргумента, при котором значения функций $y = |x|$ и $y = 2x - 1$ равны между собой.

Чтобы найти значение аргумента, при котором значения функций $y = |x|$ и $y = 2x - 1$ равны между собой, необходимо приравнять правые части этих функций.

Составим и решим уравнение:

$|x| = 2x - 1$

По определению модуля, выражение $|x|$ всегда неотрицательно, то есть $|x| \ge 0$. Следовательно, и правая часть уравнения должна быть неотрицательной:

$2x - 1 \ge 0$

$2x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{2}$

Это условие, которому должны удовлетворять корни уравнения.

Теперь решим уравнение, раскрыв модуль. Для этого рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$, и уравнение принимает вид:

$x = 2x - 1$

$1 = 2x - x$

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ условиям $x \ge 0$ и $x \ge \frac{1}{2}$. Оба условия выполняются, так как $1 > 0$ и $1 > \frac{1}{2}$. Следовательно, $x=1$ является решением.

2. Если $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$, и уравнение принимает вид:

$-x = 2x - 1$

$1 = 2x + x$

$1 = 3x$

$x = \frac{1}{3}$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение условию $x < 0$. Условие не выполняется, так как $\frac{1}{3} > 0$. Следовательно, в этом случае корней нет.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение $x = 1$.

Ответ: 1

1049. Покажите при помощи графика, что уравнение $x^2 - 2x + t = 0$:
а) при любом $t < 0$ имеет два действительных корня разных знаков, при этом абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня;
б) при любом $0 < t < 1$ имеет два различных положительных корня;
в) при любом $t > 1$ не имеет действительных корней.

Для решения задачи графическим методом преобразуем исходное уравнение $x^2 - 2x + t = 0$ к виду $x^2 - 2x = -t$.

Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика квадратичной функции $y = x^2 - 2x$ и графика линейной функции $y = -t$.

Построим график функции $y = x^2 - 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы: $x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$; $y_в = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$. Парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в точках, где $y = 0$, то есть $x^2 - 2x = 0$, $x(x-2)=0$. Отсюда точки пересечения $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

График функции $y = -t$ — это прямая, параллельная оси Ox.

Проанализируем взаимное расположение этих двух графиков в зависимости от значения параметра $t$.

а) при любом t < 0 имеет два действительных корня разных знаков, при этом абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня;

Если $t < 0$, то $-t > 0$. Это означает, что горизонтальная прямая $y = -t$ расположена выше оси Ox. Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x$ уходят в бесконечность, прямая $y = -t$ обязательно пересечет параболу в двух точках. Обозначим абсциссы этих точек $x_1$ и $x_2$.

Поскольку точки пересечения параболы с осью Ox это $(0,0)$ и $(2,0)$, а прямая $y = -t$ находится выше оси Ox, одна точка пересечения будет на левой ветви параболы, где $x < 0$, а другая — на правой, где $x > 2$. Таким образом, один корень $x_1$ будет отрицательным, а другой корень $x_2$ — положительным. Значит, уравнение имеет два действительных корня разных знаков.

Теперь сравним их абсолютные величины. Ось симметрии параболы — прямая $x=1$. Точки пересечения $(x_1, -t)$ и $(x_2, -t)$ симметричны относительно этой прямой. Следовательно, их абсциссы удовлетворяют условию $\frac{x_1 + x_2}{2} = 1$, или $x_1 + x_2 = 2$.

Так как $x_1 < 0$ и $x_2 > 0$, то $|x_1| = -x_1$ и $|x_2| = x_2$. Из равенства $x_1 + x_2 = 2$ следует, что $x_2 = 2 - x_1 = 2 + (-x_1) = 2 + |x_1|$. Поскольку $|x_1| > 0$, то $x_2 > |x_1|$, что и означает, что $|x_2| > |x_1|$. Таким образом, абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня.

Ответ: Утверждение доказано.

б) при любом 0 < t < 1 имеет два различных положительных корня;

Если $0 < t < 1$, то $-1 < -t < 0$. В этом случае горизонтальная прямая $y = -t$ расположена ниже оси Ox, но выше вершины параболы, которая находится в точке $(1, -1)$.

Поскольку прямая $y = -t$ проходит между осью Ox и вершиной параболы, она пересечет параболу в двух точках. Обе точки пересечения будут находиться на участке параболы, расположенном под осью Ox. Этот участок соответствует значениям $x$ между $0$ и $2$. Следовательно, абсциссы точек пересечения $x_1$ и $x_2$ будут удовлетворять неравенствам $0 < x_1 < 2$ и $0 < x_2 < 2$, причем $x_1 \ne x_2$.

Таким образом, уравнение имеет два различных положительных корня.

Ответ: Утверждение доказано.

в) при любом t > 1 не имеет действительных корней.

Если $t > 1$, то $-t < -1$. Горизонтальная прямая $y = -t$ расположена ниже вершины параболы $(1, -1)$.

Минимальное значение функции $y = x^2 - 2x$ равно $-1$ и достигается в вершине. Поскольку вся парабола лежит выше или на уровне $y=-1$, а прямая $y = -t$ проходит ниже этого уровня, у графиков нет точек пересечения.

Следовательно, уравнение $x^2 - 2x = -t$ не имеет действительных решений, а значит, и исходное уравнение $x^2 - 2x + t = 0$ не имеет действительных корней.

Ответ: Утверждение доказано.

1050. Покажите с помощью графика, что уравнение $2x^2 + 3x + m = 0$:

а) при $m < 0$ имеет два действительных корня разных знаков, причём абсолютная величина отрицательного корня больше абсолютной величины положительного корня;

б) при $0 < m < 1 \frac{1}{8}$ имеет два различных отрицательных корня;

в) при $m > 1 \frac{1}{8}$ не имеет действительных корней.

Для графического решения уравнения $2x^2 + 3x + m = 0$ преобразуем его к виду $2x^2 + 3x = -m$.

Корни исходного уравнения являются абсциссами (x-координатами) точек пересечения двух графиков: параболы $y = 2x^2 + 3x$ и горизонтальной прямой $y = -m$.

Исследуем и построим эскиз графика параболы $y = 2x^2 + 3x$.

1. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $2$, что больше нуля.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4}$

$y_в = 2 \cdot (-\frac{3}{4})^2 + 3 \cdot (-\frac{3}{4}) = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8}$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-\frac{3}{4}; -1\frac{1}{8})$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = -\frac{3}{4}$.

3. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), для этого решим уравнение $y=0$:

$2x^2 + 3x = 0$

$x(2x+3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$. Парабола пересекает ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(-1.5, 0)$.

Теперь проанализируем, как расположение прямой $y = -m$ влияет на количество и свойства корней уравнения.

а) при $m < 0$ имеет два действительных корня разных знаков, причём абсолютная величина отрицательного корня больше абсолютной величины положительного корня;

Если $m < 0$, то $-m > 0$. Это означает, что горизонтальная прямая $y = -m$ расположена выше оси Ox. На графике видно, что такая прямая пересекает параболу $y = 2x^2 + 3x$ в двух точках. Одна точка пересечения имеет абсциссу $x_2 > 0$ (правая ветвь параболы), а другая — абсциссу $x_1 < -1.5$ (левая ветвь). Следовательно, уравнение имеет два действительных корня разных знаков: один положительный и один отрицательный.

Ось симметрии параболы $x = -\frac{3}{4}$ находится левее оси ординат (оси Oy). Точки пересечения ($x_1$ и $x_2$) симметричны относительно оси $x = -\frac{3}{4}$. Так как ось симметрии сдвинута влево от нуля, отрицательный корень $x_1$ находится на большем расстоянии от нуля, чем положительный корень $x_2$. Это означает, что $|x_1| > |x_2|$, то есть абсолютная величина отрицательного корня больше абсолютной величины положительного корня.

Ответ: При $m < 0$ прямая $y=-m$ находится выше оси абсцисс. Она пересекает параболу $y=2x^2+3x$ в двух точках, абсциссы которых имеют разные знаки. Из-за того, что ось симметрии параболы $x=-3/4$ смещена влево от оси Oy, отрицательный корень по модулю оказывается больше положительного, что и требовалось доказать.

б) при $0 < m < 1\frac{1}{8}$ имеет два различных отрицательных корня;

Если $0 < m < 1\frac{1}{8}$, то, умножив все части неравенства на $-1$ и поменяв знаки, получим $-1\frac{1}{8} < -m < 0$. Это означает, что прямая $y = -m$ расположена между осью Ox ($y=0$) и вершиной параболы ($y_в = -1\frac{1}{8}$). В этом диапазоне прямая пересекает параболу в двух различных точках. Обе точки пересечения лежат на той части параболы, которая находится ниже оси Ox, то есть их абсциссы находятся в интервале между корнями $-1.5$ и $0$. Таким образом, оба корня уравнения, $x_1$ и $x_2$, удовлетворяют условию $-1.5 < x < 0$, а значит, являются различными отрицательными числами.

Ответ: При $0 < m < 1\frac{1}{8}$ прямая $y=-m$ расположена между осью абсцисс и вершиной параболы. В этом случае она пересекает параболу $y=2x^2+3x$ в двух различных точках, абсциссы которых находятся в интервале $(-1.5, 0)$, следовательно, уравнение имеет два различных отрицательных корня.

в) при $m > 1\frac{1}{8}$ не имеет действительных корней.

Если $m > 1\frac{1}{8}$, то $-m < -1\frac{1}{8}$. Прямая $y = -m$ расположена ниже самой нижней точки параболы — её вершины, ордината которой $y_в = -1\frac{1}{8}$. Поскольку минимальное значение функции $y = 2x^2 + 3x$ равно $-1\frac{1}{8}$, прямая $y=-m$ не может пересечь параболу. Отсутствие точек пересечения графиков означает, что уравнение $2x^2 + 3x = -m$ не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: При $m > 1\frac{1}{8}$ прямая $y=-m$ проходит ниже вершины параболы $y=2x^2+3x$ и не имеет с ней общих точек. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.