Номер 1050, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1050. Покажите с помощью графика, что уравнение $2x^2 + 3x + m = 0$:

а) при $m < 0$ имеет два действительных корня разных знаков, причём абсолютная величина отрицательного корня больше абсолютной величины положительного корня;

б) при $0 < m < 1 \frac{1}{8}$ имеет два различных отрицательных корня;

в) при $m > 1 \frac{1}{8}$ не имеет действительных корней.

Для графического решения уравнения $2x^2 + 3x + m = 0$ преобразуем его к виду $2x^2 + 3x = -m$.

Корни исходного уравнения являются абсциссами (x-координатами) точек пересечения двух графиков: параболы $y = 2x^2 + 3x$ и горизонтальной прямой $y = -m$.

Исследуем и построим эскиз графика параболы $y = 2x^2 + 3x$.

1. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $2$, что больше нуля.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4}$

$y_в = 2 \cdot (-\frac{3}{4})^2 + 3 \cdot (-\frac{3}{4}) = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8}$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-\frac{3}{4}; -1\frac{1}{8})$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = -\frac{3}{4}$.

3. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), для этого решим уравнение $y=0$:

$2x^2 + 3x = 0$

$x(2x+3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$. Парабола пересекает ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(-1.5, 0)$.

Теперь проанализируем, как расположение прямой $y = -m$ влияет на количество и свойства корней уравнения.

а) при $m < 0$ имеет два действительных корня разных знаков, причём абсолютная величина отрицательного корня больше абсолютной величины положительного корня;

Если $m < 0$, то $-m > 0$. Это означает, что горизонтальная прямая $y = -m$ расположена выше оси Ox. На графике видно, что такая прямая пересекает параболу $y = 2x^2 + 3x$ в двух точках. Одна точка пересечения имеет абсциссу $x_2 > 0$ (правая ветвь параболы), а другая — абсциссу $x_1 < -1.5$ (левая ветвь). Следовательно, уравнение имеет два действительных корня разных знаков: один положительный и один отрицательный.

Ось симметрии параболы $x = -\frac{3}{4}$ находится левее оси ординат (оси Oy). Точки пересечения ($x_1$ и $x_2$) симметричны относительно оси $x = -\frac{3}{4}$. Так как ось симметрии сдвинута влево от нуля, отрицательный корень $x_1$ находится на большем расстоянии от нуля, чем положительный корень $x_2$. Это означает, что $|x_1| > |x_2|$, то есть абсолютная величина отрицательного корня больше абсолютной величины положительного корня.

Ответ: При $m < 0$ прямая $y=-m$ находится выше оси абсцисс. Она пересекает параболу $y=2x^2+3x$ в двух точках, абсциссы которых имеют разные знаки. Из-за того, что ось симметрии параболы $x=-3/4$ смещена влево от оси Oy, отрицательный корень по модулю оказывается больше положительного, что и требовалось доказать.

б) при $0 < m < 1\frac{1}{8}$ имеет два различных отрицательных корня;

Если $0 < m < 1\frac{1}{8}$, то, умножив все части неравенства на $-1$ и поменяв знаки, получим $-1\frac{1}{8} < -m < 0$. Это означает, что прямая $y = -m$ расположена между осью Ox ($y=0$) и вершиной параболы ($y_в = -1\frac{1}{8}$). В этом диапазоне прямая пересекает параболу в двух различных точках. Обе точки пересечения лежат на той части параболы, которая находится ниже оси Ox, то есть их абсциссы находятся в интервале между корнями $-1.5$ и $0$. Таким образом, оба корня уравнения, $x_1$ и $x_2$, удовлетворяют условию $-1.5 < x < 0$, а значит, являются различными отрицательными числами.

Ответ: При $0 < m < 1\frac{1}{8}$ прямая $y=-m$ расположена между осью абсцисс и вершиной параболы. В этом случае она пересекает параболу $y=2x^2+3x$ в двух различных точках, абсциссы которых находятся в интервале $(-1.5, 0)$, следовательно, уравнение имеет два различных отрицательных корня.

в) при $m > 1\frac{1}{8}$ не имеет действительных корней.

Если $m > 1\frac{1}{8}$, то $-m < -1\frac{1}{8}$. Прямая $y = -m$ расположена ниже самой нижней точки параболы — её вершины, ордината которой $y_в = -1\frac{1}{8}$. Поскольку минимальное значение функции $y = 2x^2 + 3x$ равно $-1\frac{1}{8}$, прямая $y=-m$ не может пересечь параболу. Отсутствие точек пересечения графиков означает, что уравнение $2x^2 + 3x = -m$ не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: При $m > 1\frac{1}{8}$ прямая $y=-m$ проходит ниже вершины параболы $y=2x^2+3x$ и не имеет с ней общих точек. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.