Номер 1051, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1051. Исследуем. Для каких значений a уравнение:

а) $x^2 - x + a = 0;$

б) $x^2 + x - a = 0;$

в) $x^2 - 4x + a = 0;$

г) $x^2 + ax + 4 = 0$

имеет два корня, один корень, не имеет корней?

Количество действительных корней квадратного уравнения вида $Ax^2+Bx+C=0$ определяется знаком его дискриминанта $D = B^2 - 4AC$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два равных корня).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Применим это правило для каждого из данных уравнений.

Для этого уравнения коэффициенты равны: $A=1$, $B=-1$, $C=a$.
Вычислим дискриминант: $D = B^2 - 4AC = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 1 - 4a$.

1. Уравнение имеет два корня, когда $D > 0$:
$1 - 4a > 0$
$1 > 4a$
$a < \frac{1}{4}$

2. Уравнение имеет один корень, когда $D = 0$:
$1 - 4a = 0$
$4a = 1$
$a = \frac{1}{4}$

3. Уравнение не имеет корней, когда $D < 0$:
$1 - 4a < 0$
$1 < 4a$
$a > \frac{1}{4}$

Ответ: два корня при $a < \frac{1}{4}$; один корень при $a = \frac{1}{4}$; не имеет корней при $a > \frac{1}{4}$.

Коэффициенты: $A=1$, $B=1$, $C=-a$.
Дискриминант: $D = B^2 - 4AC = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a$.

1. Два корня при $D > 0$:
$1 + 4a > 0$
$4a > -1$
$a > -\frac{1}{4}$

2. Один корень при $D = 0$:
$1 + 4a = 0$
$4a = -1$
$a = -\frac{1}{4}$

3. Нет корней при $D < 0$:
$1 + 4a < 0$
$4a < -1$
$a < -\frac{1}{4}$

Ответ: два корня при $a > -\frac{1}{4}$; один корень при $a = -\frac{1}{4}$; не имеет корней при $a < -\frac{1}{4}$.

Коэффициенты: $A=1$, $B=-4$, $C=a$.
Дискриминант: $D = B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$.

1. Два корня при $D > 0$:
$16 - 4a > 0$
$16 > 4a$
$4 > a$, или $a < 4$

2. Один корень при $D = 0$:
$16 - 4a = 0$
$16 = 4a$
$a = 4$

3. Нет корней при $D < 0$:
$16 - 4a < 0$
$16 < 4a$
$4 < a$, или $a > 4$

Ответ: два корня при $a < 4$; один корень при $a = 4$; не имеет корней при $a > 4$.

Коэффициенты: $A=1$, $B=a$, $C=4$.
Дискриминант: $D = B^2 - 4AC = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$.

1. Два корня при $D > 0$:
$a^2 - 16 > 0$
$a^2 > 16$
Это неравенство выполняется, если $a < -4$ или $a > 4$, что можно записать как $a \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.

2. Один корень при $D = 0$:
$a^2 - 16 = 0$
$a^2 = 16$
$a = -4$ или $a = 4$.

3. Нет корней при $D < 0$:
$a^2 - 16 < 0$
$a^2 < 16$
Это неравенство выполняется, если $-4 < a < 4$, что можно записать как $a \in (-4, 4)$.

Ответ: два корня при $a \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$; один корень при $a = -4$ или $a = 4$; не имеет корней при $a \in (-4, 4)$.