Номер 1056, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1056. a) $$\\begin{cases} y = x^2 + 1, \\\\ y = x + 7; \\end{cases}$$

б) $$\\begin{cases} y = -x - 2, \\\\ y = 4 - x^2; \\end{cases}$$

в) $$\\begin{cases} y = x^2 - 1, \\\\ y = 1 - x^2; \\end{cases}$$

г) $$\\begin{cases} y = 2x - 1, \\\\ y = 2x^2 - 1; \\end{cases}$$

д) $$\\begin{cases} y = x^2 - 2x + 1, \\\\ y = \\frac{1}{x}; \\end{cases}$$

е) $$\\begin{cases} y = -x^2, \\\\ y = -\\frac{8}{x}; \\end{cases}$$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 + 1, \\ y = x + 7. \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:

$x^2 + 1 = x + 7$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - x + 1 - 7 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-6$, а сумма равна $1$. Подбором находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$

$x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в одно из исходных уравнений (проще использовать второе, $y = x + 7$):

При $x_1 = 3$: $y_1 = 3 + 7 = 10$.

При $x_2 = -2$: $y_2 = -2 + 7 = 5$.

Таким образом, система имеет два решения: $(3, 10)$ и $(-2, 5)$.

Ответ: $(3, 10)$, $(-2, 5)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = -x - 2, \\ y = 4 - x^2. \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$-x - 2 = 4 - x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 2 - 4 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Получили такое же квадратное уравнение, как и в пункте а). Его корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в первое уравнение $y = -x - 2$:

При $x_1 = 3$: $y_1 = -3 - 2 = -5$.

При $x_2 = -2$: $y_2 = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(3, -5)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: $(3, -5)$, $(-2, 0)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 - 1, \\ y = 1 - x^2. \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 1 = 1 - x^2$

Соберем члены с $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$x^2 + x^2 = 1 + 1$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в первое уравнение $y = x^2 - 1$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

При $x_2 = -1$: $y_2 = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Решениями системы являются пары чисел $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: $(1, 0)$, $(-1, 0)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = 2x - 1, \\ y = 2x^2 - 1. \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$2x - 1 = 2x^2 - 1$

Перенесем все в одну сторону:

$2x^2 - 2x - 1 + 1 = 0$

$2x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

Найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = 2x - 1$:

При $x_1 = 0$: $y_1 = 2(0) - 1 = -1$.

При $x_2 = 1$: $y_2 = 2(1) - 1 = 1$.

Решения системы: $(0, -1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: $(0, -1)$, $(1, 1)$.

д)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 - 2x + 1, \\ y = \frac{1}{x}. \end{cases}$

Заметим, что выражение в первом уравнении является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Приравняем правые части уравнений. Область допустимых значений для $x$ определяется вторым уравнением: $x \ne 0$.

$(x - 1)^2 = \frac{1}{x}$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части на $x$:

$x(x - 1)^2 = 1$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$x(x^2 - 2x + 1) = 1$

$x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$

Получилось кубическое уравнение. Попробуем найти целые или рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если у этого уравнения есть рациональные корни, они должны быть делителями свободного члена, т.е. $1$ или $-1$.

Проверка $x=1$: $1^3 - 2(1)^2 + 1 - 1 = 1 - 2 + 1 - 1 = -1 \ne 0$.

Проверка $x=-1$: $(-1)^3 - 2(-1)^2 - 1 - 1 = -1 - 2 - 1 - 1 = -5 \ne 0$.

Уравнение не имеет рациональных корней. Для нахождения его решения требуются более сложные методы (например, формула Кардано) или численные расчеты, которые обычно не рассматриваются в школьном курсе. Графический анализ показывает, что существует один действительный корень, который является иррациональным числом ($x \approx 1.7549$). Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: Система не имеет решений в рациональных числах. Единственный корень уравнения $x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$ можно найти только численными методами.

е)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = -x^2, \\ y = -\frac{8}{x}. \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, учитывая, что $x \ne 0$:

$-x^2 = -\frac{8}{x}$

Умножим обе части на $-1$:

$x^2 = \frac{8}{x}$

Умножим обе части на $x$:

$x^3 = 8$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=2$ в первое уравнение $y = -x^2$:

$y = -(2)^2 = -4$.

Проверим найденное решение, подставив его во второе уравнение $y = -8/x$:

$-4 = -8/2$, что верно.

Система имеет одно решение.

Ответ: $(2, -4)$.