Номер 1059, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1059. Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 6, & \text{если } x \ge 2 \\ 3x, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ 2 - x, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

При каких значениях $m$ прямая $y = m$ пересекает построенный график в двух точках?

Построим график функции $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 6, & \text{если } x \ge 2 \\ 3x, & \text{если } x < 2 \end{cases}$.

1. График функции $y = x^2 - 4x + 6$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = - \frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$; $y_0 = 2^2 - 4(2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$. Вершина находится в точке $(2, 2)$. Поскольку мы строим эту часть графика для $x \ge 2$, наш график — это правая ветвь параболы, начинающаяся в ее вершине. Точка $(2, 2)$ включена в график.

2. График функции $y = 3x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Мы строим эту часть графика для $x < 2$. В граничной точке $x=2$ значение функции было бы $y = 3 \cdot 2 = 6$. Таким образом, эта часть графика — луч, который заканчивается в точке $(2, 6)$, причем сама точка $(2, 6)$ не включается в график (является "выколотой").

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ пересекает построенный график в двух точках. Прямая $y=m$ является горизонтальной прямой. Исследуя построенный график, можно сделать следующие выводы:

— При $m < 2$ прямая пересекает только луч $y=3x$ в одной точке.

— При $m = 2$ прямая касается вершины параболы в точке $(2, 2)$ (первая точка пересечения) и пересекает луч $y=3x$ в точке, где $3x = 2$, то есть $x = 2/3$. Так как $2/3 < 2$, эта точка принадлежит графику (вторая точка пересечения). Таким образом, при $m=2$ есть ровно две точки пересечения.

— При $2 < m < 6$ прямая пересекает и ветвь параболы (одна точка), и луч $y=3x$ (вторая точка). Для прямой $3x=m$ получаем $x=m/3$. Так как $2 < m < 6$, то $2/3 < m/3 < 2$, что удовлетворяет условию $x<2$. Следовательно, в этом интервале у нас ровно две точки пересечения.

— При $m = 6$ прямая пересекает параболу в точке, где $x^2 - 4x + 6 = 6 \implies x(x-4)=0$. Учитывая $x \ge 2$, получаем $x=4$ (одна точка). Для прямой $3x=6 \implies x=2$, но эта точка выколота, так как для луча $x<2$. Итого, только одна точка пересечения.

— При $m > 6$ прямая пересекает только ветвь параболы в одной точке.

Таким образом, прямая $y=m$ пересекает график в двух точках при $m \in [2, 6)$.

Ответ: $m \in [2, 6)$.

Построим график функции $y = \begin{cases} -\frac{3}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ 2-x, & \text{если } x > -1 \end{cases}$.

1. График функции $y = -\frac{3}{x}$ — это гипербола. При $x \le -1$ мы рассматриваем ее ветвь во второй координатной четверти. В граничной точке $x=-1$ имеем $y = -\frac{3}{-1} = 3$. Точка $(-1, 3)$ принадлежит графику. При $x \to -\infty$, значение $y \to 0$. Эта часть графика — кривая, идущая от точки $(-1, 3)$ и асимптотически приближающаяся к оси $Ox$ сверху.

2. График функции $y = 2-x$ — это прямая. Мы строим ее для $x > -1$. В граничной точке $x=-1$ значение было бы $y = 2 - (-1) = 3$. Значит, эта часть графика — луч, начинающийся из точки $(-1, 3)$ (она не включается в этот кусок) и идущий вниз и вправо.

Поскольку значение обеих функций в точке $x=-1$ равно 3, график является непрерывным. Точка $(-1, 3)$ является точкой локального максимума для всей функции, и $y_{max}=3$.

Теперь найдем, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ пересекает построенный график в двух точках. Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от $m$:

— При $m > 3$ пересечений нет, так как максимальное значение функции равно 3.

— При $m = 3$ есть ровно одна точка пересечения — это точка максимума $(-1, 3)$.

— При $0 < m < 3$ прямая $y=m$ пересекает и ветвь гиперболы $y = -3/x$ (так как для $x \le -1$ диапазон значений $y$ есть $(0, 3]$), и луч $y=2-x$ (так как для $x > -1$ диапазон значений $y$ есть $(-\infty, 3)$). Следовательно, в этом интервале будет ровно две точки пересечения.

— При $m \le 0$ прямая $y=m$ пересекает только луч $y=2-x$ в одной точке. Пересечения с ветвью гиперболы нет, так как на интервале $x \le -1$ значения функции $y = -3/x$ всегда положительны.

Таким образом, прямая $y=m$ пересекает график в двух точках при $0 < m < 3$.

Ответ: $m \in (0, 3)$.