Номер 1057, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1057. а) $\begin{cases} xy = 1, \\ y = x^2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = -8, \\ y = x + 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x^2 - 4x - 5, \\ y = -\frac{12}{x}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = |x|, \\ y = \frac{6}{x}. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$\begin{cases}xy = 1 \\y = x^2\end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое, заменив $y$ на $x^2$:
$x \cdot (x^2) = 1$
$x^3 = 1$
Единственным действительным решением этого уравнения является $x = 1$.
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ во второе уравнение:
$y = x^2 = 1^2 = 1$.
Таким образом, решение системы — пара чисел $(1, 1)$.
Проверим, подставив значения в оба уравнения:
$1 \cdot 1 = 1$ (верно)
$1 = 1^2$ (верно)
Ответ: $(1, 1)$.

б)

Дана система уравнений:$\begin{cases}xy = -8 \\y = x + 1\end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x(x + 1) = -8$
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + x = -8$
$x^2 + x + 8 = 0$
Мы получили квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=1, b=1, c=8$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 1 - 32 = -31$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система уравнений не имеет действительных решений.
Ответ: решений нет.

в)

Дана система уравнений:$\begin{cases}y = x^2 - 4x - 5 \\y = -\frac{12}{x}\end{cases}$
Из второго уравнения следует, что $x \neq 0$.
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:
$x^2 - 4x - 5 = -\frac{12}{x}$
Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:
$x(x^2 - 4x - 5) = -12$
$x^3 - 4x^2 - 5x = -12$
$x^3 - 4x^2 - 5x + 12 = 0$
Мы получили кубическое уравнение. Если у него есть рациональные корни, то они должны быть среди делителей свободного члена (12), деленных на делители старшего коэффициента (1). Таким образом, возможные рациональные корни - это целые делители числа 12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.
Проверим подстановкой, является ли какой-либо из этих делителей корнем уравнения $P(x) = x^3 - 4x^2 - 5x + 12 = 0$:
$P(1) = 1^3 - 4(1)^2 - 5(1) + 12 = 1 - 4 - 5 + 12 = 4 \neq 0$
$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 - 5(-1) + 12 = -1 - 4 + 5 + 12 = 12 \neq 0$
$P(2) = 2^3 - 4(2)^2 - 5(2) + 12 = 8 - 16 - 10 + 12 = -6 \neq 0$
$P(-2) = (-2)^3 - 4(-2)^2 - 5(-2) + 12 = -8 - 16 + 10 + 12 = -2 \neq 0$
$P(3) = 3^3 - 4(3)^2 - 5(3) + 12 = 27 - 36 - 15 + 12 = -12 \neq 0$
Проверка всех остальных целых делителей также показывает, что ни один из них не является корнем уравнения.
Это означает, что уравнение не имеет рациональных корней. Решения системы являются иррациональными числами, и их нахождение требует более сложных методов.
Ответ: система не имеет рациональных решений.

г)

Дана система уравнений:$\begin{cases}y = |x| \\y = \frac{6}{x}\end{cases}$
Из второго уравнения следует, что $x \neq 0$.
Подставим первое уравнение во второе:
$|x| = \frac{6}{x}$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x > 0$
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x = \frac{6}{x}$
Умножив обе части на $x$, получим:
$x^2 = 6$
$x = \sqrt{6}$ (корень $x = -\sqrt{6}$ не удовлетворяет условию $x > 0$).
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = |x| = |\sqrt{6}| = \sqrt{6}$.
Получили решение $(\sqrt{6}, \sqrt{6})$.
Случай 2: $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x = \frac{6}{x}$
Умножив обе части на $x$, получим:
$-x^2 = 6$
$x^2 = -6$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, система имеет только одно решение.
Ответ: $(\sqrt{6}, \sqrt{6})$.