Номер 1052, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите графическим способом систему уравнений (1052—1057):

1052. a) $\begin{cases} 2x + y = 4, \\ x - y = -1, \\ y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 2, \\ -2x + y = 5, \\ 2x + 3y = 7. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему уравнений графическим способом, необходимо построить графики для каждого уравнения в одной системе координат и найти точку их пересечения.

Система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - y = -1 \\ y = 2 \end{cases} $

1. Преобразуем первое уравнение $2x + y = 4$ к виду функции $y(x)$:

$y = -2x + 4$

Это уравнение прямой. Для построения найдем две точки:

• При $x = 0$, $y = -2(0) + 4 = 4$. Точка (0; 4).
• При $x = 2$, $y = -2(2) + 4 = 0$. Точка (2; 0).

2. Преобразуем второе уравнение $x - y = -1$ к виду функции $y(x)$:

$y = x + 1$

Это также уравнение прямой. Найдем две точки:

• При $x = 0$, $y = 0 + 1 = 1$. Точка (0; 1).
• При $x = 1$, $y = 1 + 1 = 2$. Точка (1; 2).

3. Третье уравнение $y = 2$ уже задает прямую.

Это горизонтальная прямая, проходящая через все точки, у которых ордината (координата y) равна 2.

Теперь построим все три графика в одной системе координат. Точка, в которой пересекаются все три прямые, является решением системы.

Из графиков видно, что все три прямые пересекаются в одной точке с координатами (1; 2).

Проверим, подставив эти значения в каждое уравнение системы:

1. $2(1) + 2 = 2 + 2 = 4$. Верно.
2. $1 - 2 = -1$. Верно.
3. $y = 2$. Верно.

Так как координаты точки (1; 2) удовлетворяют всем трем уравнениям, эта точка является решением системы.

Ответ: (1; 2).

б)

Решим графически систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 2 \\ -2x + y = 5 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} $

1. Преобразуем первое уравнение $x + y = 2$:

$y = -x + 2$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• При $x = 0$, $y = 2$. Точка (0; 2).
• При $x = 2$, $y = 0$. Точка (2; 0).

2. Преобразуем второе уравнение $-2x + y = 5$:

$y = 2x + 5$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• При $x = 0$, $y = 5$. Точка (0; 5).
• При $x = -1$, $y = 2(-1) + 5 = 3$. Точка (-1; 3).

3. Преобразуем третье уравнение $2x + 3y = 7$:

$3y = -2x + 7$

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• При $x = -1$, $y = -\frac{2}{3}(-1) + \frac{7}{3} = \frac{2}{3} + \frac{7}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Точка (-1; 3).
• При $x = 2$, $y = -\frac{2}{3}(2) + \frac{7}{3} = -\frac{4}{3} + \frac{7}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Точка (2; 1).

Построим графики всех трех прямых в одной системе координат. Точка их общего пересечения будет решением системы.

Из графиков видно, что все три прямые пересекаются в точке (-1; 3).

Выполним проверку, подставив $x = -1$ и $y = 3$ в каждое уравнение:

1. $-1 + 3 = 2$. Верно.
2. $-2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$. Верно.
3. $2(-1) + 3(3) = -2 + 9 = 7$. Верно.

Координаты точки (-1; 3) удовлетворяют всем трем уравнениям, следовательно, это решение системы.

Ответ: (-1; 3).