Номер 1047, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1047. Постройте график функции $y = (x-1)^3$.

Для построения графика функции $y = (x-1)^3$ воспользуемся методом преобразования графиков, взяв за основу график функции $y = x^3$.

1. Базовая функция. Сначала рассмотрим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола. Её ключевые свойства:

• График проходит через начало координат $(0, 0)$. Эта точка является точкой перегиба и центром симметрии графика.
• Область определения и область значений — все действительные числа.
• Функция является возрастающей на всей числовой оси.

Составим таблицу нескольких опорных точек для графика $y = x^3$:

2. Преобразование графика. Функция $y = (x-1)^3$ имеет вид $y = f(x-a)$, где $f(x) = x^3$ и $a=1$. Преобразование такого вида соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц. Поскольку $a=1>0$, сдвиг осуществляется вправо на 1 единицу.

3. Построение итогового графика. Чтобы получить график функции $y=(x-1)^3$, нужно каждую точку графика $y=x^3$ сдвинуть на 1 единицу вправо. Точка $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0+1, y_0)$.

Применим это преобразование к опорным точкам:

• Точка $(-2, -8)$ переходит в точку $(-2+1, -8) \rightarrow (-1, -8)$.
• Точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1+1, -1) \rightarrow (0, -1)$.
• Точка $(0, 0)$ переходит в точку $(0+1, 0) \rightarrow (1, 0)$. Это будет новый центр симметрии.
• Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1+1, 1) \rightarrow (2, 1)$.
• Точка $(2, 8)$ переходит в точку $(2+1, 8) \rightarrow (3, 8)$.

Наносим полученные точки на координатную плоскость и соединяем их плавной кривой, сохраняя форму кубической параболы.

Ответ: График функции $y = (x-1)^3$ — это кубическая парабола, полученная в результате сдвига графика функции $y = x^3$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Центр симметрии графика находится в точке $(1, 0)$. График пересекает ось Oy в точке $(0, -1)$ и ось Ox в точке $(1, 0)$.