Номер 1040, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1040. Постройте графики функций $y = x$ и $y = x^2$. Имеются ли точки, принадлежащие графикам этих функций, обладающие свойством симметричности относительно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат;

в) начала координат?

Сначала построим графики заданных функций.

1. График функции $y=x$ — это прямая линия. Она является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через начало координат. Для построения можно взять две точки, например, (0, 0) и (2, 2).

2. График функции $y=x^2$ — это парабола. Ее вершина находится в начале координат (0, 0), а ветви направлены вверх. График проходит через точки (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4).

Теперь проанализируем симметричность точек на этих графиках.

а) оси абсцисс
Симметрия относительно оси абсцисс (оси $Ox$) означает, что для каждой точки $(x, y)$, принадлежащей графику, точка $(x, -y)$ также должна принадлежать ему.

Для функции $y=x$: если точка $(x, y)$ лежит на графике, то $y=x$. Чтобы симметричная ей точка $(x, -y)$ тоже лежала на графике, должно выполняться условие $-y = x$. Система уравнений $\begin{cases} y = x \\ -y = x \end{cases}$ имеет единственное решение $x=0, y=0$. Таким образом, только точка (0, 0) обладает этим свойством (она симметрична самой себе).

Для функции $y=x^2$: если точка $(x, y)$ лежит на графике, то $y=x^2$. Для симметричной точки $(x, -y)$ должно выполняться условие $-y = x^2$. Система уравнений $\begin{cases} y = x^2 \\ -y = x^2 \end{cases}$ приводит к равенству $-x^2 = x^2$, что возможно только при $x^2=0$, то есть $x=0$. Тогда и $y=0$. Следовательно, только точка (0, 0) симметрична самой себе относительно оси абсцисс.

Ответ: Да, имеются. Для обоих графиков это точка (0, 0), которая лежит на оси симметрии и поэтому симметрична самой себе. Других пар точек, обладающих этим свойством симметричности, на данных графиках нет.

б) оси ординат
Симметрия относительно оси ординат (оси $Oy$) означает, что для каждой точки $(x, y)$, принадлежащей графику, точка $(-x, y)$ также должна принадлежать ему. Это свойство выполняется для четных функций, у которых $f(-x) = f(x)$.

Для функции $y=x$: проверим свойство четности: $f(-x) = -x$. Так как $-x \neq x$ (кроме $x=0$), функция не является четной. Ее график не симметричен относительно оси ординат. Единственная точка, которая симметрична самой себе, — это точка (0, 0), лежащая на оси $Oy$.

Для функции $y=x^2$: проверим свойство четности: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат. Для любой точки $(a, a^2)$ на параболе (где $a \neq 0$), существует симметричная ей точка $(-a, a^2)$, которая также лежит на параболе. Например, точки (2, 4) и (-2, 4).

Ответ: Да, имеются. Для графика $y=x$ это только точка (0, 0). Для графика $y=x^2$ свойством симметрии относительно оси ординат обладает любая пара точек вида $(a, a^2)$ и $(-a, a^2)$, а также точка (0, 0).

в) начала координат
Симметрия относительно начала координат (0, 0) означает, что для каждой точки $(x, y)$, принадлежащей графику, точка $(-x, -y)$ также должна принадлежать ему. Это свойство выполняется для нечетных функций, у которых $f(-x) = -f(x)$.

Для функции $y=x$: проверим свойство нечетности: $f(-x) = -x$. Так как $-f(x) = -x$, то $f(-x) = -f(x)$. Функция является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат. Для любой точки $(a, a)$ на прямой (где $a \neq 0$), существует симметричная ей точка $(-a, -a)$, которая также лежит на прямой.

Для функции $y=x^2$: мы уже установили, что функция четная. Она не может быть нечетной, кроме случая $f(x)=0$. Если точка $(x,y)$ лежит на графике, то $y=x^2$. Для симметричной точки $(-x, -y)$ должно выполняться условие $-y = (-x)^2 = x^2$. Система $\begin{cases} y = x^2 \\ -y = x^2 \end{cases}$ имеет единственное решение $x=0, y=0$. Таким образом, только начало координат (0, 0) симметрично самому себе.

Ответ: Да, имеются. Для графика $y=x$ свойством симметрии относительно начала координат обладает любая пара точек вида $(a, a)$ и $(-a, -a)$, а также точка (0, 0). Для графика $y=x^2$ это только точка (0, 0).