Номер 1039, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1039. На рисунке 94 изображены графики двух квадратичных функций, обозначенных $y_1(x)$ и $y_2(x)$. При каких $x$ выполняется неравенство:

а) $y_1(x) \cdot y_2(x) > 0$;

б) $\frac{y_2(x)}{y_1(x)} < 0$?

Рис. 93

Рис. 94

Для решения задачи проанализируем знаки функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ на различных промежутках, используя их графики, представленные на рисунке 94.

Из графика функции $y_1(x)$ (парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось Ox в точках -6 и -1) можно сделать следующие выводы о ее знаках:

• $y_1(x) > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (-\infty; -6) \cup (-1; +\infty)$;
• $y_1(x) < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (-6; -1)$;
• $y_1(x) = 0$ при $x = -6$ и $x = -1$.

Из графика функции $y_2(x)$ (парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось Ox в точках -1 и 4) можно сделать следующие выводы о ее знаках:

• $y_2(x) > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$;
• $y_2(x) < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (-1; 4)$;
• $y_2(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 4$.

а) $y_1(x) \cdot y_2(x) > 0$

Неравенство $y_1(x) \cdot y_2(x) > 0$ выполняется, когда обе функции имеют одинаковые знаки, то есть когда они обе положительны или обе отрицательны.

Случай 1: Обе функции положительны, то есть $y_1(x) > 0$ и $y_2(x) > 0$.

Для этого необходимо найти пересечение интервалов, на которых каждая функция положительна:

$( (-\infty; -6) \cup (-1; +\infty) ) \cap ( (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) )$.

Пересечением этих множеств является объединение интервалов $(-\infty; -6)$ и $(4; +\infty)$.

Случай 2: Обе функции отрицательны, то есть $y_1(x) < 0$ и $y_2(x) < 0$.

Для этого необходимо найти пересечение интервалов, на которых каждая функция отрицательна:

$(-6; -1) \cap (-1; 4)$.

Эти интервалы не имеют общих точек, их пересечение — пустое множество.

Объединив решения из обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -6) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (4; +\infty)$.

б) $\frac{y_2(x)}{y_1(x)} < 0$

Неравенство $\frac{y_2(x)}{y_1(x)} < 0$ выполняется, когда функции имеют противоположные знаки. Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $y_1(x) \neq 0$, а значит $x \neq -6$ и $x \neq -1$.

Случай 1: $y_2(x) > 0$ и $y_1(x) < 0$.

Находим пересечение соответствующих интервалов:

$( (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) ) \cap (-6; -1)$.

Пересечением является интервал $(-6; -1)$.

Случай 2: $y_2(x) < 0$ и $y_1(x) > 0$.

Находим пересечение соответствующих интервалов:

$(-1; 4) \cap ( (-\infty; -6) \cup (-1; +\infty) )$.

Пересечением является интервал $(-1; 4)$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-6; -1) \cup (-1; 4)$.

Ответ: $x \in (-6; -1) \cup (-1; 4)$.