Номер 1037, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1037. a) $y = \frac{1}{x-5};$

б) $y = \frac{x}{x+6} - \frac{3x}{3-7x};$

в) $y = \sqrt{4-3x} + \frac{1}{2x};$

г) $y = \frac{x-5}{3x-1} + \sqrt{5-x};$

д) $y = \sqrt{2x-3};$

е) $y = \sqrt{3x+5};$

ж) $y = \sqrt{x^2-1};$

з) $y = \sqrt{x^2+5}.$

а) В функции $y = \frac{1}{x-5}$ присутствует деление на выражение, содержащее переменную. Область определения функции — это множество всех значений $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Поэтому мы должны найти значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, и исключить их.

Условие: $x - 5 \neq 0$.

Решаем: $x \neq 5$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 5.

Ответ: $x \in (-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$.

б) Функция $y = \frac{x}{x+6} - \frac{3x}{3-7x}$ является разностью двух дробей. Область определения — это множество всех значений $x$, при которых оба знаменателя не равны нулю.

Условия:

1) $x+6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$

2) $3-7x \neq 0 \Rightarrow -7x \neq -3 \Rightarrow x \neq \frac{3}{7}$

Следовательно, из области определения нужно исключить точки $x=-6$ и $x=\frac{3}{7}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (-6, \frac{3}{7}) \cup (\frac{3}{7}, +\infty)$.

в) Функция $y = \sqrt{4-3x} + \frac{1}{2x}$ состоит из двух частей: квадратного корня и дроби. Для нахождения области определения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель дроби не был равен нулю.

Условия:

1) $4-3x \ge 0 \Rightarrow -3x \ge -4 \Rightarrow x \le \frac{4}{3}$

2) $2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$

Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть меньше или равен $\frac{4}{3}$, но не равен 0.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3}]$.

г) Функция $y = \frac{x-5}{3x-1} + \sqrt{5-x}$ содержит дробь и квадратный корень. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Условия:

1) $3x-1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}$

2) $5-x \ge 0 \Rightarrow -x \ge -5 \Rightarrow x \le 5$

Область определения — это все значения $x$, удовлетворяющие обоим условиям, то есть $x \le 5$ и $x \neq \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 5]$.

д) В функции $y = \sqrt{2x-3}$ присутствует квадратный корень. Область определения функции определяется условием, что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.

Условие: $2x-3 \ge 0$.

Решаем неравенство: $2x \ge 3 \Rightarrow x \ge \frac{3}{2}$.

Ответ: $x \in [\frac{3}{2}, +\infty)$.

е) В функции $y = \sqrt{3x+5}$ выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Условие: $3x+5 \ge 0$.

Решаем неравенство: $3x \ge -5 \Rightarrow x \ge -\frac{5}{3}$.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{3}, +\infty)$.

ж) Для функции $y = \sqrt{x^2 - 1}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.

Условие: $x^2 - 1 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-1)(x+1) \ge 0$.

Корни уравнения $x^2-1=0$ — это $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. График функции $f(x)=x^2-1$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, $x \le -1$ или $x \ge 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

з) Для функции $y = \sqrt{x^2 + 5}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Условие: $x^2 + 5 \ge 0$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$ ($x^2 \ge 0$). Следовательно, сумма $x^2 + 5$ всегда будет больше или равна 5, а значит, всегда положительна.

Неравенство $x^2 + 5 \ge 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.