Номер 1030, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Отметьте штриховкой все точки координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют условию (1030–1032):

1030. а) $x \ge 2$;

б) $y \le 3$;

в) $x \ge 2$ и $y \le 3$;

г) $x \ge 2$ или $y \le 3$;

д) $x \le -1$ или $y \ge 1$;

е) $\begin{cases} |x| \le 2, \\ |y| \le 2; \end{cases}$

ж) $\begin{cases} |x| \ge 2, \\ |y| \ge 2; \end{cases}$

з) $x^2 + y^2 \le 4$;

и) $x^2 + y^2 \ge 1$;

к) $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ x^2 + y^2 \ge 1; \end{cases}$

л) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4$.

а) $x \geq 2$

Уравнение $x = 2$ задает на координатной плоскости вертикальную прямую, проходящую через точку $(2, 0)$ и параллельную оси Oy. Неравенство $x \geq 2$ означает, что нас интересуют все точки, абсцисса (координата $x$) которых больше или равна 2. Геометрически это все точки, которые лежат на самой прямой $x=2$ и все точки, расположенные правее этой прямой.
Ответ: Полуплоскость, расположенная справа от прямой $x = 2$, включая саму прямую.

б) $y \leq 3$

Уравнение $y = 3$ задает горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, 3)$ и параллельную оси Ox. Неравенство $y \leq 3$ означает, что нас интересуют все точки, ордината (координата $y$) которых меньше или равна 3. Геометрически это все точки, которые лежат на самой прямой $y=3$ и все точки, расположенные ниже этой прямой.
Ответ: Полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = 3$, включая саму прямую.

в) $x \geq 2$ и $y \leq 3$

Здесь требуется одновременное выполнение двух условий. Это означает, что мы ищем пересечение двух областей: полуплоскости $x \geq 2$ (справа от прямой $x=2$) и полуплоскости $y \leq 3$ (ниже прямой $y=3$). Результатом является бесконечная область (угол), вершина которого находится в точке пересечения прямых $x=2$ и $y=3$, то есть в точке $(2, 3)$. Область включает в себя свои границы — лучи, выходящие из точки $(2, 3)$ вправо и вниз.
Ответ: Угол, ограниченный лучами, выходящими из точки $(2, 3)$, направленными параллельно оси Ox вправо и параллельно оси Oy вниз, включая сами лучи.

г) $x \geq 2$ или $y \leq 3$

Союз "или" означает, что нужно найти объединение двух областей: полуплоскости $x \geq 2$ и полуплоскости $y \leq 3$. В искомую область войдут все точки, которые удовлетворяют хотя бы одному из этих условий. Эта область покрывает почти всю координатную плоскость, за исключением той её части, где оба условия не выполняются одновременно, то есть где $x < 2$ и $y > 3$.
Ответ: Объединение двух полуплоскостей: всех точек справа от прямой $x=2$ и всех точек ниже прямой $y=3$ (включая сами прямые).

д) $x \leq -1$ или $y \geq 1$

Аналогично предыдущему пункту, мы ищем объединение двух полуплоскостей: $x \leq -1$ (все точки на прямой $x=-1$ и левее нее) и $y \geq 1$ (все точки на прямой $y=1$ и выше нее). В искомую область попадают все точки, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств. Исключением является область, где $x > -1$ и $y < 1$.
Ответ: Объединение двух полуплоскостей: всех точек слева от прямой $x=-1$ и всех точек выше прямой $y=1$ (включая сами прямые).

е) $\begin{cases} |x| \leq 2 \\ |y| \leq 2 \end{cases}$

Эта система неравенств равносильна системе $\begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ -2 \leq y \leq 2 \end{cases}$. Первое неравенство, $-2 \leq x \leq 2$, задает вертикальную полосу между прямыми $x=-2$ и $x=2$. Второе неравенство, $-2 \leq y \leq 2$, задает горизонтальную полосу между прямыми $y=-2$ и $y=2$. Так как неравенства объединены в систему, ищется их пересечение. Пересечение этих двух полос образует квадрат с центром в начале координат и вершинами в точках $(2, 2)$, $(-2, 2)$, $(-2, -2)$ и $(2, -2)$. Так как неравенства нестрогие, границы квадрата включаются в решение.
Ответ: Замкнутый квадрат с центром в начале координат, сторонами, параллельными осям координат, и вершинами в точках $(\pm 2, \pm 2)$.

ж) $\begin{cases} |x| \geq 2 \\ |y| \geq 2 \end{cases}$

Эта система неравенств равносильна одновременному выполнению условий ($x \leq -2$ или $x \geq 2$) и ($y \leq -2$ или $y \geq 2$). Мы ищем пересечение двух областей: области вне вертикальной полосы $(-2, 2)$ и области вне горизонтальной полосы $(-2, 2)$. В результате получается четыре несвязанные бесконечные области (углы), расположенные "по углам" координатной плоскости, ограниченные прямыми $x=\pm2$ и $y=\pm2$.
Ответ: Четыре угловые области, ограниченные прямыми $x=2, x=-2, y=2, y=-2$, включая сами границы.

з) $x^2 + y^2 \leq 4$

Уравнение $x^2 + y^2 = r^2$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r$. В данном случае $r^2=4$, значит $r=2$. Неравенство $x^2 + y^2 \leq 4$ описывает все точки, расстояние от которых до начала координат не превышает 2. Это все точки внутри окружности радиусом 2 и на самой окружности.
Ответ: Замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом 2.

и) $x^2 + y^2 \geq 1$

Уравнение $x^2 + y^2 = 1$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=1$. Неравенство $x^2 + y^2 \geq 1$ описывает все точки, расстояние от которых до начала координат не меньше 1. Это все точки на самой окружности и все точки вне ее.
Ответ: Вся координатная плоскость, за исключением открытого круга с центром в начале координат и радиусом 1.

к) $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ x^2 + y^2 \geq 1 \end{cases}$

Эта система требует одновременного выполнения двух условий. Первое, $x^2 + y^2 \leq 4$, задает замкнутый круг радиусом 2 с центром в начале координат. Второе, $x^2 + y^2 \geq 1$, задает внешность открытого круга радиусом 1 с тем же центром. Пересечением этих двух множеств является область между двумя концентрическими окружностями.
Ответ: Кольцо, заключенное между двумя окружностями с центром в начале координат и радиусами 1 и 2, включая сами окружности.

л) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \leq 4$

Уравнение $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ задает окружность с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $r$. В данном случае центр окружности находится в точке $(1, 2)$, а ее радиус $r=\sqrt{4}=2$. Неравенство описывает все точки внутри этой окружности и на ней самой.
Ответ: Замкнутый круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом 2.