Номер 1025, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Постройте график функции (1025–1029):

1025. а) $y = 3x - 4;$

б) $y = -2x + 1;$

в) $y = -3x - 2;$

г) $y = |x| - 3;$

д) $y = |x - 3|;$

е) $y = |x - 1| - 2;$

ж) $y = |x| + 1;$

з) $y = |x + 2|;$

и) $y = |x + 2| - 3.$

а) $y = 3x - 4$

Функция $y = 3x - 4$ является линейной, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей.

1. Возьмем $x = 0$. Тогда $y = 3 \cdot 0 - 4 = -4$. Первая точка имеет координаты $(0, -4)$.

2. Возьмем $x = 2$. Тогда $y = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$. Вторая точка имеет координаты $(2, 2)$.

Теперь нужно построить систему координат, отметить на ней точки $(0, -4)$ и $(2, 2)$ и провести через них прямую.

Ответ: График функции $y=3x-4$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(2, 2)$.

б) $y = -2x + 1$

Это линейная функция, её график — прямая. Найдем две точки для её построения.

1. При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.

2. При $x = 2$, $y = -2 \cdot 2 + 1 = -4 + 1 = -3$. Точка $(2, -3)$.

Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(2, -3)$.

Ответ: График функции $y=-2x+1$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(2, -3)$.

в) $y = -3x - 2$

Это также линейная функция, график — прямая. Найдем две точки.

1. При $x = 0$, $y = -3 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

2. При $x = -1$, $y = -3 \cdot (-1) - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.

Проводим прямую через точки $(0, -2)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: График функции $y=-3x-2$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(-1, 1)$.

г) $y = |x| - 3$

График этой функции получается из графика базовой функции $y = |x|$ (V-образная кривая с вершиной в начале координат) путем его смещения на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

Вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -3)$.

График состоит из двух лучей:

• $y = x - 3$ для $x \ge 0$
• $y = -x - 3$ для $x < 0$

Найдем точки пересечения с осью Ox, приравняв $y$ к нулю: $|x| - 3 = 0 \Rightarrow |x| = 3$, откуда $x=3$ и $x=-3$. Точки пересечения: $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: График функции $y=|x|-3$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 3 единицы вниз. Вершина графика находится в точке $(0, -3)$, ветви направлены вверх и проходят через точки $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

д) $y = |x - 3|$

График этой функции получается из графика $y = |x|$ путем его смещения на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

Вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 0)$.

График состоит из двух лучей:

• $y = x - 3$ для $x \ge 3$
• $y = -(x - 3) = -x + 3$ для $x < 3$

Точка пересечения с осью Oy ($x=0$): $y = |0 - 3| = 3$. Точка $(0, 3)$.

Ответ: График функции $y=|x-3|$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 3 единицы вправо. Вершина графика находится в точке $(3, 0)$, ветви направлены вверх.

е) $y = |x - 1| - 2$

Этот график можно получить из графика $y = |x|$ двумя последовательными сдвигами: на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy.

1. Сдвиг $y = |x|$ на 1 вправо дает $y = |x-1|$. Вершина в $(1, 0)$.

2. Сдвиг $y = |x-1|$ на 2 вниз дает $y = |x-1|-2$. Вершина в $(1, -2)$.

Найдем точки пересечения с осями:

С осью Ox ($y=0$): $|x - 1| - 2 = 0 \Rightarrow |x-1|=2$. Это дает два уравнения: $x-1=2 \Rightarrow x=3$ и $x-1=-2 \Rightarrow x=-1$. Точки: $(3, 0)$ и $(-1, 0)$.

С осью Oy ($x=0$): $y = |0 - 1| - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка: $(0, -1)$.

Ответ: График функции $y=|x-1|-2$ — это V-образная кривая с вершиной в точке $(1, -2)$, ветви которой направлены вверх и проходят через точки $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

ж) $y = |x| + 1$

График этой функции получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Вершина графика переместится из $(0, 0)$ в $(0, 1)$.

Так как $|x| \ge 0$, то $y = |x| + 1 \ge 1$. Это означает, что график полностью лежит выше оси Ox и не пересекает её.

Ответ: График функции $y=|x|+1$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Вершина в точке $(0, 1)$, ветви направлены вверх.

з) $y = |x + 2|$

График этой функции получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox (так как $x+2 = x-(-2)$).

Вершина графика переместится из $(0, 0)$ в $(-2, 0)$.

График состоит из двух лучей:

• $y = x + 2$ для $x \ge -2$
• $y = -(x + 2) = -x - 2$ для $x < -2$

Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = |0 + 2| = 2$. Точка $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y=|x+2|$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 2 единицы влево. Вершина в точке $(-2, 0)$, ветви направлены вверх.

и) $y = |x + 2| - 3$

Этот график можно получить из графика $y = |x|$ двумя сдвигами: на 2 единицы влево по оси Ox и на 3 единицы вниз по оси Oy.

1. Сдвиг $y = |x|$ на 2 влево дает $y = |x+2|$. Вершина в $(-2, 0)$.

2. Сдвиг $y = |x+2|$ на 3 вниз дает $y = |x+2|-3$. Вершина в $(-2, -3)$.

Найдем точки пересечения с осями:

С осью Ox ($y=0$): $|x + 2| - 3 = 0 \Rightarrow |x+2|=3$. Это дает два уравнения: $x+2=3 \Rightarrow x=1$ и $x+2=-3 \Rightarrow x=-5$. Точки: $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.

С осью Oy ($x=0$): $y = |0 + 2| - 3 = 2 - 3 = -1$. Точка: $(0, -1)$.

Ответ: График функции $y=|x+2|-3$ — это V-образная кривая с вершиной в точке $(-2, -3)$, ветви которой направлены вверх и проходят через точки $(-5, 0)$ и $(1, 0)$.