Номер 1018, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1018. a) $\left\{ \begin{array}{l} |x - 1| + y = 0, \\ 2x - y = 1; \end{array} \right.$

б) $\left\{ \begin{array}{l} |y - 4| = x, \\ 3x + y = 1. \end{array} \right.$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} |x-1| + y = 0, \\ 2x - y = 1. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 2x - 1 $$ Подставим это выражение в первое уравнение системы: $$ |x-1| + (2x - 1) = 0 $$ Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая.

1. Если $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
В этом случае $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид: $$ (x-1) + (2x - 1) = 0 $$ $$ 3x - 2 = 0 $$ $$ 3x = 2 $$ $$ x = \frac{2}{3} $$ Полученное значение $x$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, следовательно, в этом случае решений нет.

2. Если $x-1 < 0$, то есть $x < 1$.
В этом случае $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид: $$ -(x-1) + (2x-1) = 0 $$ $$ -x + 1 + 2x - 1 = 0 $$ $$ x = 0 $$ Полученное значение $x$ удовлетворяет условию $x < 1$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в выражение $y = 2x - 1$: $$ y = 2(0) - 1 = -1 $$ Таким образом, решение системы — пара чисел $(0; -1)$.

Проверим найденное решение, подставив его в исходную систему:
$|0-1| + (-1) = |-1| - 1 = 1 - 1 = 0$ (верно)
$2(0) - (-1) = 0 + 1 = 1$ (верно)

Ответ: $(0; -1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} |y-4| = x, \\ 3x + y = 1. \end{cases} $$ Из первого уравнения следует, что $x$ должен быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$, так как значение модуля не может быть отрицательным числом.

Выразим $y$ из второго уравнения: $$ y = 1 - 3x $$ Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы: $$ |(1 - 3x) - 4| = x $$ $$ |-3x - 3| = x $$ Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем: $$ |3x + 3| = x $$ $$ 3|x + 1| = x $$

Так как мы ранее установили, что $x \ge 0$, то выражение $x+1$ всегда будет положительным (если $x \ge 0$, то $x+1 \ge 1$).
Следовательно, мы можем раскрыть модуль: $|x+1| = x+1$. $$ 3(x + 1) = x $$ $$ 3x + 3 = x $$ $$ 2x = -3 $$ $$ x = -\frac{3}{2} $$

Полученное значение $x = -1.5$ противоречит нашему начальному условию $x \ge 0$.
Это означает, что не существует такого значения $x$, которое удовлетворяло бы системе уравнений.

Другой способ решения — рассмотреть два случая для раскрытия модуля в первом уравнении.

1. Если $y-4 \ge 0$ (т.е. $y \ge 4$), то $|y-4| = y-4$.
Система принимает вид: $$ \begin{cases} y-4=x \\ 3x+y=1 \end{cases} $$ Подставляем $x = y-4$ во второе уравнение: $$ 3(y-4) + y = 1 $$ $$ 3y - 12 + y = 1 $$ $$ 4y = 13 \implies y = \frac{13}{4} = 3.25 $$ Это значение не удовлетворяет условию $y \ge 4$, значит, в этом случае решений нет.

2. Если $y-4 < 0$ (т.е. $y < 4$), то $|y-4| = -(y-4) = 4-y$.
Система принимает вид: $$ \begin{cases} 4-y=x \\ 3x+y=1 \end{cases} $$ Подставляем $x = 4-y$ во второе уравнение: $$ 3(4-y) + y = 1 $$ $$ 12 - 3y + y = 1 $$ $$ 12 - 2y = 1 $$ $$ 2y = 11 \implies y = \frac{11}{2} = 5.5 $$ Это значение не удовлетворяет условию $y < 4$, значит, в этом случае решений также нет.

Поскольку ни один из возможных случаев не приводит к решению, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.