Номер 1011, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1011. а) $\begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x^2y + xy^2 = 30; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 4, \\ x + xy + y = 2. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x^2y + xy^2 = 30. \end{cases} $$

Эта система является симметрической, поэтому удобно использовать замену переменных. Введем новые переменные $u = x+y$ и $v = xy$, которые являются элементарными симметрическими многочленами.

Преобразуем оба уравнения системы, выразив их через $u$ и $v$.
Первое уравнение: $(x+y) + xy = 11$, что соответствует $u + v = 11$.
Второе уравнение: $x^2y + xy^2 = 30$. Вынесем за скобки общий множитель $xy$: $xy(x+y) = 30$, что соответствует $v \cdot u = 30$.

В результате получаем новую, более простую систему уравнений относительно $u$ и $v$: $$ \begin{cases} u + v = 11, \\ uv = 30. \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, числа $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 11t + 30 = 0$.
Найдем корни этого уравнения:
Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.
Корни: $t_1 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5$ и $t_2 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Таким образом, мы имеем два возможных набора значений для $(u, v)$:
1) $u = 5$ и $v = 6$.
2) $u = 6$ и $v = 5$.

Теперь рассмотрим каждый случай, чтобы найти значения $x$ и $y$.

Случай 1: $u = 5, v = 6$.
Возвращаемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6. \end{cases} $$
Опять же, по обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — это корни квадратного уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$.
Корни этого уравнения $z_1 = 2, z_2 = 3$.
Отсюда получаем две пары решений: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 2: $u = 6, v = 5$.
Возвращаемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 5. \end{cases} $$
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 6z + 5 = 0$.
Корни этого уравнения $z_1 = 1, z_2 = 5$.
Отсюда получаем еще две пары решений: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 4, \\ x + xy + y = 2. \end{cases} $$

Данная система также является симметрической. Применим ту же замену: $u = x+y$ и $v = xy$.

Преобразуем второе уравнение: $(x+y) + xy = 2$, что дает нам $u + v = 2$.

Теперь преобразуем первое уравнение. Для этого выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(x^2 + y^2) + xy = 4$
$(u^2 - 2v) + v = 4$
$u^2 - v = 4$

Получаем систему уравнений для $u$ и $v$: $$ \begin{cases} u^2 - v = 4, \\ u + v = 2. \end{cases} $$

Сложим два уравнения этой системы, чтобы исключить переменную $v$:
$(u^2 - v) + (u + v) = 4 + 2$
$u^2 + u = 6$
$u^2 + u - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $u$:
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $u_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$ и $u_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$.

Для каждого значения $u$ найдем соответствующее значение $v$ из уравнения $v = 2 - u$.
1) Если $u_1 = -3$, то $v_1 = 2 - (-3) = 5$.
2) Если $u_2 = 2$, то $v_2 = 2 - 2 = 0$.

Рассмотрим оба случая для нахождения $x$ и $y$.

Случай 1: $u=-3, v=5$.
Система для $x$ и $y$ имеет вид: $$ \begin{cases} x + y = -3, \\ xy = 5. \end{cases} $$
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (-3)z + 5 = 0$, то есть $z^2 + 3z + 5 = 0$.
Дискриминант этого уравнения $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $u=2, v=0$.
Система для $x$ и $y$ имеет вид: $$ \begin{cases} x + y = 2, \\ xy = 0. \end{cases} $$
Из второго уравнения следует, что либо $x=0$, либо $y=0$.
Если $x=0$, то из первого уравнения $y=2$.
Если $y=0$, то из первого уравнения $x=2$.
Таким образом, получаем две пары решений: $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Ответ: $(0, 2), (2, 0)$.