Номер 1014, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1014. a) $\begin{cases} (x-y)(x^2+y^2)=447, \\ xy(x-y)=210; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy(x+y)=20, \\ x+y=\frac{5}{4}xy. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x-y)(x^2+y^2) = 447, \\ xy(x-y) = 210 \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $u = x-y$ и $v = xy$.

Выразим $x^2+y^2$ через $u$ и $v$. Мы знаем, что $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, следовательно $u^2 = (x^2+y^2)-2v$, откуда $x^2+y^2 = u^2+2v$.

Подставим новые переменные в исходную систему:

$$ \begin{cases} u(u^2+2v) = 447, \\ uv = 210 \end{cases} $$

Раскроем скобки в первом уравнении: $u^3+2uv = 447$.

Теперь подставим $uv=210$ из второго уравнения в первое:

$u^3+2(210) = 447$

$u^3+420 = 447$

$u^3 = 447 - 420$

$u^3 = 27$

$u = 3$

Теперь, зная $u$, найдем $v$ из уравнения $uv=210$:

$3v = 210$

$v = \frac{210}{3} = 70$

Мы получили значения для $u$ и $v$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x-y = 3, \\ xy = 70 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y+3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y+3)y = 70$

$y^2+3y-70 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -70, а сумма равна -3. Это числа -10 и 7.

Корни уравнения: $y_1 = 7$, $y_2 = -10$.

1. Если $y_1 = 7$, то $x_1 = y_1+3 = 7+3 = 10$. Получаем пару $(10; 7)$.

2. Если $y_2 = -10$, то $x_2 = y_2+3 = -10+3 = -7$. Получаем пару $(-7; -10)$.

Ответ: $(10; 7), (-7; -10)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy(x+y) = 20, \\ x+y = \frac{5}{4}xy \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $a = x+y$ и $b = xy$.

Перепишем систему в новых переменных:

$$ \begin{cases} ba = 20, \\ a = \frac{5}{4}b \end{cases} $$

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:

$b \cdot (\frac{5}{4}b) = 20$

$\frac{5}{4}b^2 = 20$

$b^2 = 20 \cdot \frac{4}{5}$

$b^2 = 16$

Отсюда получаем два возможных значения для $b$: $b_1 = 4$ и $b_2 = -4$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $b=4$.

Находим соответствующее значение $a$: $a = \frac{5}{4}b = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$. Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 4 \end{cases} $$

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2-5t+4=0$.

Решая уравнение $(t-1)(t-4)=0$, получаем корни $t_1=1$ и $t_2=4$.

Это дает нам две пары решений: $(1; 4)$ и $(4; 1)$.

Случай 2: $b=-4$.

Находим соответствующее значение $a$: $a = \frac{5}{4}b = \frac{5}{4} \cdot (-4) = -5$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$. Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = -5, \\ xy = -4 \end{cases} $$

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2-(-5)t+(-4)=0$, то есть $t^2+5t-4=0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25+16=41$.

Корни уравнения: $t = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$.

Это дает нам еще две пары решений: $(\frac{-5+\sqrt{41}}{2}; \frac{-5-\sqrt{41}}{2})$ и $(\frac{-5-\sqrt{41}}{2}; \frac{-5+\sqrt{41}}{2})$.

Ответ: $(1; 4), (4; 1), (\frac{-5+\sqrt{41}}{2}; \frac{-5-\sqrt{41}}{2}), (\frac{-5-\sqrt{41}}{2}; \frac{-5+\sqrt{41}}{2})$.