Номер 1007, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений

Решите систему уравнений (1007–1018):

1007. a) $\begin{cases}2x + 3y = 4, \\4x - 6y = 5;\end{cases}$

б) $\begin{cases}9x - 10y = 3, \\2x - 3y = 6;\end{cases}$

в) $\begin{cases}5x + 4y = 6, \\7x + 6y = 10;\end{cases}$

г) $\begin{cases}5x + 3y = 15, \\10x - 6y = 0.\end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 4, \\ 4x - 6y = 5; \end{cases} $

Для решения используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$2 \cdot (2x + 3y) = 2 \cdot 4$

$4x + 6y = 8$

Теперь исходная система равносильна следующей системе:

$ \begin{cases} 4x + 6y = 8, \\ 4x - 6y = 5; \end{cases} $

Сложим почленно два уравнения системы:

$(4x + 6y) + (4x - 6y) = 8 + 5$

$8x = 13$

$x = \frac{13}{8}$

Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$2 \cdot (\frac{13}{8}) + 3y = 4$

$\frac{26}{8} + 3y = 4$

$\frac{13}{4} + 3y = 4$

$3y = 4 - \frac{13}{4}$

$3y = \frac{16}{4} - \frac{13}{4}$

$3y = \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4} \div 3 = \frac{1}{4}$

Ответ: $(\frac{13}{8}; \frac{1}{4})$

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 9x - 10y = 3, \\ 2x - 3y = 6; \end{cases} $

Используем метод сложения для исключения переменной $y$. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на -10, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$3 \cdot (9x - 10y) = 3 \cdot 3 \implies 27x - 30y = 9$

$-10 \cdot (2x - 3y) = -10 \cdot 6 \implies -20x + 30y = -60$

Получаем новую систему, равносильную исходной:

$ \begin{cases} 27x - 30y = 9, \\ -20x + 30y = -60; \end{cases} $

Сложим почленно уравнения системы:

$(27x - 30y) + (-20x + 30y) = 9 + (-60)$

$7x = -51$

$x = -\frac{51}{7}$

Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение:

$2 \cdot (-\frac{51}{7}) - 3y = 6$

$-\frac{102}{7} - 3y = 6$

$-3y = 6 + \frac{102}{7}$

$-3y = \frac{42}{7} + \frac{102}{7}$

$-3y = \frac{144}{7}$

$y = \frac{144}{7} \div (-3) = -\frac{144}{7 \cdot 3} = -\frac{48}{7}$

Ответ: $(-\frac{51}{7}; -\frac{48}{7})$

в) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 4y = 6, \\ 7x + 6y = 10; \end{cases} $

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$3 \cdot (5x + 4y) = 3 \cdot 6 \implies 15x + 12y = 18$

$-2 \cdot (7x + 6y) = -2 \cdot 10 \implies -14x - 12y = -20$

Получаем систему:

$ \begin{cases} 15x + 12y = 18, \\ -14x - 12y = -20; \end{cases} $

Складываем почленно уравнения полученной системы:

$(15x + 12y) + (-14x - 12y) = 18 + (-20)$

$x = -2$

Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение:

$5(-2) + 4y = 6$

$-10 + 4y = 6$

$4y = 6 + 10$

$4y = 16$

$y = 4$

Ответ: $(-2; 4)$

г) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 3y = 15, \\ 10x - 6y = 0; \end{cases} $

Заметим, что второе уравнение можно упростить, разделив обе его части на 2:

$5x - 3y = 0$

Из этого уравнения можно выразить $5x$:

$5x = 3y$

Теперь используем метод подстановки. Подставим выражение $3y$ вместо $5x$ в первое уравнение системы:

$(3y) + 3y = 15$

$6y = 15$

$y = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

Теперь найдем $x$, подставив найденное значение $y$ в выражение $5x = 3y$:

$5x = 3 \cdot \frac{5}{2}$

$5x = \frac{15}{2}$

$x = \frac{15}{2} \div 5 = \frac{15}{2 \cdot 5} = \frac{3}{2}$

Ответ: $(\frac{3}{2}; \frac{5}{2})$