Номер 1003, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1003. a) $x^2 - 3x + 2 = (1 - x)\sqrt{x}$;

б) $\frac{2}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} = 1.$

а) $x^2 - 3x + 2 = (1 - x)\sqrt{x}$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия квадратного корня из $x$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Разложим на множители левую часть уравнения. Квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 2$ имеет корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$ (по теореме Виета, их сумма равна 3, а произведение равно 2). Следовательно, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

3. Подставим разложение в исходное уравнение: $(x-1)(x-2) = (1-x)\sqrt{x}$.

4. Заметим, что $(1-x) = -(x-1)$. Перепишем уравнение: $(x-1)(x-2) = -(x-1)\sqrt{x}$.

5. Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(x-1)$: $(x-1)(x-2) + (x-1)\sqrt{x} = 0$
$(x-1)((x-2) + \sqrt{x}) = 0$

6. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x-1 = 0 \implies x = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$). Проверим его, подставив в исходное уравнение: $1^2 - 3(1) + 2 = (1-1)\sqrt{1} \implies 1 - 3 + 2 = 0 \cdot 1 \implies 0 = 0$. Корень $x=1$ является решением.

Случай 2: $x-2 + \sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x} = 2-x$. Для этого иррационального уравнения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной (так как квадратный корень не может быть отрицательным): $2-x \ge 0 \implies x \le 2$. С учетом ОДЗ ($x \ge 0$), получаем ограничение для этого случая: $0 \le x \le 2$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = 2-x$ в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = (2-x)^2$
$x = 4 - 4x + x^2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

7. Проверим найденные корни на соответствие ограничению $0 \le x \le 2$: - $x=1$ удовлетворяет условию ($0 \le 1 \le 2$). Этот корень мы уже нашли в первом случае. - $x=4$ не удовлетворяет условию ($4 \not\le 2$). Это посторонний корень.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=1$.

Ответ: 1.

б) $\frac{2}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} = 1$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\sqrt{x}$ находится в знаменателе, поэтому $x$ должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

2. Для решения уравнения введем замену. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $x > 0$, то и $t > 0$.

3. Подставим новую переменную в уравнение: $\frac{2}{t} - t = 1$

4. Умножим обе части уравнения на $t$ (это допустимо, так как $t \neq 0$): $t \cdot (\frac{2}{t} - t) = 1 \cdot t$
$2 - t^2 = t$

5. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $t^2 + t - 2 = 0$

6. Решим это уравнение относительно $t$. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а сумма равна -1. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$. Или можно использовать формулу для корней квадратного уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$. $t_1 = \frac{-1+3}{2} = 1$
$t_2 = \frac{-1-3}{2} = -2$

7. Вспомним про наше ограничение на $t$: $t > 0$. - $t_1 = 1$ удовлетворяет этому условию. - $t_2 = -2$ не удовлетворяет этому условию, поэтому это посторонний корень.

8. Теперь вернемся к исходной переменной $x$. У нас есть единственный подходящий корень $t=1$: $\sqrt{x} = t \implies \sqrt{x} = 1$

9. Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$: $x = 1^2 \implies x = 1$

10. Проверим, соответствует ли найденный корень $x=1$ ОДЗ ($x>0$). Да, $1>0$. Подставим в исходное уравнение для окончательной проверки: $\frac{2}{\sqrt{1}} - \sqrt{1} = \frac{2}{1} - 1 = 2-1 = 1$. Верно.

Ответ: 1.