Номер 997, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

997. a) $ \frac{2x^2 - 3x + x^3}{x^2 - 2x + 1} = 0; $

б) $ \frac{x(1-x)}{1+x} = 6; $

в) $ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{2+x}{x^2-1}; $

г) $ \frac{1}{x+1} + \frac{5}{x-1} = \frac{5+x}{x^2-1}. $

а)

Дано уравнение: $\frac{2x^2 - 3x + x^3}{x^2 - 2x + 1} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x^2 - 2x + 1 \neq 0$
Это формула квадрата разности: $(x - 1)^2 \neq 0$.
Следовательно, $x \neq 1$.

2. Приравняем числитель к нулю:
$x^3 + 2x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + 2x - 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$
или
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_2 + x_3 = -2$
$x_2 \cdot x_3 = -3$
Корни уравнения: $x_2 = 1$ и $x_3 = -3$.

3. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ.
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $x \neq 1$.
Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет условию $x \neq 1$, поэтому это посторонний корень.
Корень $x_3 = -3$ удовлетворяет условию $x \neq 1$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=0$ и $x=-3$.
Ответ: $0; -3$.

б)

Дано уравнение: $\frac{x(1 - x)}{1 + x} = 6$.

1. Найдем ОДЗ:
$1 + x \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

2. Умножим обе части уравнения на $(1 + x)$, так как $x \neq -1$:
$x(1 - x) = 6(1 + x)$
$x - x^2 = 6 + 6x$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 6x - x + 6 = 0$
$x^2 + 5x + 6 = 0$

3. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

4. Оба корня ($-2$ и $-3$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$).

Ответ: $-2; -3$.

в)

Дано уравнение: $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{2 + x}{x^2 - 1}$.

1. Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \neq 0$, что дает те же ограничения.
Итак, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$:
$\frac{1(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{2(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2 + x}{x^2 - 1}$
$\frac{x - 1 + 2(x + 1)}{x^2 - 1} = \frac{2 + x}{x^2 - 1}$

3. Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$x - 1 + 2x + 2 = 2 + x$
$3x + 1 = 2 + x$
$3x - x = 2 - 1$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$

4. Проверим корень по ОДЗ. $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условиям $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г)

Дано уравнение: $\frac{1}{x + 1} + \frac{5}{x - 1} = \frac{5 + x}{x^2 - 1}$.

1. ОДЗ такое же, как и в предыдущем примере: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2. Приведем левую часть к общему знаменателю $x^2 - 1$:
$\frac{1(x - 1) + 5(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{5 + x}{x^2 - 1}$
$\frac{x - 1 + 5x + 5}{x^2 - 1} = \frac{5 + x}{x^2 - 1}$

3. Приравняем числители:
$x - 1 + 5x + 5 = 5 + x$
$6x + 4 = 5 + x$
$6x - x = 5 - 4$
$5x = 1$
$x = \frac{1}{5}$

4. Проверим корень по ОДЗ. $x = \frac{1}{5}$ удовлетворяет условиям $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.