Номер 992, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 992, страница 273.

Условие.

992. a) $x - \frac{4x}{4-x} = \frac{16}{x-4};$

б) $\frac{3x}{3-x} + \frac{9}{x-3} = x;$

в) $\frac{1}{x^2 - 10x + 25} + \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x+5};$

г) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x-6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) $x - \frac{4x}{4 - x} = \frac{16}{x - 4}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $4 - x \neq 0$ и $x - 4 \neq 0$, что в обоих случаях дает $x \neq 4$.

Заметим, что знаменатель в левой части уравнения можно преобразовать: $4 - x = -(x - 4)$. Подставим это в исходное уравнение:

$x - \frac{4x}{-(x - 4)} = \frac{16}{x - 4}$

$x + \frac{4x}{x - 4} = \frac{16}{x - 4}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x + \frac{4x}{x - 4} - \frac{16}{x - 4} = 0$

Объединим дроби с одинаковым знаменателем:

$x + \frac{4x - 16}{x - 4} = 0$

Вынесем общий множитель 4 в числителе дроби:

$x + \frac{4(x - 4)}{x - 4} = 0$

Поскольку $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на $(x - 4)$:

$x + 4 = 0$

Отсюда находим решение:

$x = -4$

Данное значение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 4$).

Ответ: -4.

б) $\frac{3x}{3 - x} + \frac{9}{x - 3} = x$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, т.е. $3 - x \neq 0$ и $x - 3 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.

Преобразуем знаменатель первой дроби: $3 - x = -(x - 3)$.

$\frac{3x}{-(x - 3)} + \frac{9}{x - 3} = x$

$-\frac{3x}{x - 3} + \frac{9}{x - 3} = x$

Сложим дроби в левой части:

$\frac{9 - 3x}{x - 3} = x$

Вынесем множитель -3 в числителе:

$\frac{-3(x - 3)}{x - 3} = x$

С учетом ОДЗ ($x \neq 3$), сократим дробь:

$-3 = x$

Значение $x = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3.

в) $\frac{1}{x^2 - 10x + 25} + \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x + 5}$

Определим ОДЗ. Для этого разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 \neq 0 \implies x \neq 5$

$25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) \neq 0 \implies x \neq 5$ и $x \neq -5$

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{1}{(x - 5)^2} + \frac{10}{(5 - x)(5 + x)} = \frac{1}{x + 5}$

Используем тождество $5 - x = -(x - 5)$:

$\frac{1}{(x - 5)^2} - \frac{10}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{1}{x + 5}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x - 5)^2(x + 5)$:

$\frac{x + 5}{(x - 5)^2(x + 5)} - \frac{10(x - 5)}{(x - 5)^2(x + 5)} - \frac{(x - 5)^2}{(x - 5)^2(x + 5)} = 0$

Так как знаменатель не равен нулю (согласно ОДЗ), приравняем числитель к нулю:

$(x + 5) - 10(x - 5) - (x^2 - 10x + 25) = 0$

$x + 5 - 10x + 50 - x^2 + 10x - 25 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + x + 30 = 0$

Умножим на -1:

$x^2 - x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение, например, по теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, произведение $x_1 \cdot x_2 = -30$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни по ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.

Ответ: 6.

г) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x - 6}$

Определим ОДЗ, разложив знаменатели на множители:

$x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2 \neq 0 \implies x \neq -6$

$36 - x^2 = (6 - x)(6 + x) \neq 0 \implies x \neq 6$ и $x \neq -6$

$x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6$

Итак, ОДЗ: $x \neq 6$ и $x \neq -6$.

Перепишем уравнение:

$\frac{2}{(x + 6)^2} - \frac{12}{(6 - x)(6 + x)} = \frac{1}{x - 6}$

Используем $6 - x = -(x - 6)$:

$\frac{2}{(x + 6)^2} + \frac{12}{(x - 6)(x + 6)} = \frac{1}{x - 6}$

Приведем к общему знаменателю $(x + 6)^2(x - 6)$:

$\frac{2(x - 6)}{(x + 6)^2(x - 6)} + \frac{12(x + 6)}{(x + 6)^2(x - 6)} - \frac{(x + 6)^2}{(x + 6)^2(x - 6)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$2(x - 6) + 12(x + 6) - (x + 6)^2 = 0$

$2x - 12 + 12x + 72 - (x^2 + 12x + 36) = 0$

$2x - 12 + 12x + 72 - x^2 - 12x - 36 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + 2x + 24 = 0$

Умножим на -1:

$x^2 - 2x - 24 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни по ОДЗ: $x \neq 6$ и $x \neq -6$.

Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -4.