Номер 991, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

991. a) $4x^4 - 11x^2 - 3 = 0;$

б) $4x^4 - 7x^2 - 2 = 0.$

а) Дано биквадратное уравнение $4x^4 - 11x^2 - 3 = 0$.
Это уравнение решается методом замены переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $y \ge 0$.
После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $y$:
$4y^2 - 11y - 3 = 0$.
Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Теперь найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$.
Корень $y_2 = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, следовательно, уравнение $x^2 = -\frac{1}{4}$ не имеет действительных корней.
Рассмотрим корень $y_1 = 3$:
$x^2 = 3$.
Из этого уравнения получаем два корня: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

б) Дано биквадратное уравнение $4x^4 - 7x^2 - 2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Учитываем, что $t \ge 0$.
В результате замены получаем квадратное уравнение:
$4t^2 - 7t - 2 = 0$.
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Выполним обратную замену.
Корень $t_2 = -\frac{1}{4}$ не подходит, так как он не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Уравнение $x^2 = -\frac{1}{4}$ не имеет решений в действительных числах.
Рассмотрим корень $t_1 = 2$:
$x^2 = 2$.
Отсюда находим два корня: $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.