Номер 993, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

993. a) $\frac{2}{(2x-1)(x+2)} - \frac{x}{5(x+2)} = \frac{2}{2x-1};$

б) $\frac{4}{(3x-1)(x+1)} - \frac{2x}{3x+3} = \frac{3}{3x-1}.$

a)

Дано уравнение: $ \frac{2}{(2x-1)(x+2)} - \frac{x}{5(x+2)} = \frac{2}{2x-1} $.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0.5) \cup (0.5; +\infty)$.

Приведем все дроби к общему знаменателю, который равен $5(2x-1)(x+2)$. Для этого умножим обе части уравнения на этот знаменатель:

$$ 2 \cdot 5 - x(2x-1) = 2 \cdot 5(x+2) $$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$$ 10 - 2x^2 + x = 10x + 20 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ -2x^2 + x - 10x + 10 - 20 = 0 $$

$$ -2x^2 - 9x - 10 = 0 $$

Умножим обе части уравнения на -1:

$$ 2x^2 + 9x + 10 = 0 $$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1 $$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$ x_1 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5 $$

$$ x_2 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2 $$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $(x+2)$ обращается в ноль. Следовательно, $x_2 = -2$ является посторонним корнем. Корень $x_1 = -2.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2,5.

б)

Дано уравнение: $ \frac{4}{(3x-1)(x+1)} - \frac{2x}{3x+3} = \frac{3}{3x-1} $.

Заметим, что знаменатель второй дроби можно упростить: $3x+3 = 3(x+1)$. Уравнение примет вид:

$$ \frac{4}{(3x-1)(x+1)} - \frac{2x}{3(x+1)} = \frac{3}{3x-1} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$3x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}$

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Общий знаменатель дробей равен $3(3x-1)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$$ 4 \cdot 3 - 2x(3x-1) = 3 \cdot 3(x+1) $$

Раскроем скобки:

$$ 12 - 6x^2 + 2x = 9x + 9 $$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$$ -6x^2 + 2x - 9x + 12 - 9 = 0 $$

$$ -6x^2 - 7x + 3 = 0 $$

Умножим обе части уравнения на -1:

$$ 6x^2 + 7x - 3 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $$

Найдем корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} = -1.5 $$

$$ x_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2 = \frac{1}{3}$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $(3x-1)$ равен нулю, поэтому это посторонний корень. Корень $x_1 = -1.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1,5.