Номер 986, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

986. Может ли биквадратное уравнение иметь один корень? два корня? три корня? В каждом случае, если ответ положителен, приведите примеры.

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$. Для его решения используется замена переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

После замены биквадратное уравнение сводится к квадратному уравнению относительно переменной $t$:

$at^2 + bt + c = 0$

Количество действительных корней исходного биквадратного уравнения зависит от корней $t_1$ и $t_2$ этого квадратного уравнения:

• если корень $t > 0$, то из уравнения $x^2 = t$ мы получаем два различных действительных корня для $x$: $x = \sqrt{t}$ и $x = -\sqrt{t}$.
• если корень $t = 0$, то из уравнения $x^2 = 0$ мы получаем один действительный корень для $x$: $x = 0$.
• если корень $t < 0$, то уравнение $x^2 = t$ не имеет действительных корней.

Рассмотрим каждый случай, заданный в вопросе.

Один корень

Да, биквадратное уравнение может иметь один действительный корень. Это происходит, когда вспомогательное квадратное уравнение для $t$ имеет решения, приводящие в итоге только к одному значению $x=0$. Это возможно в двух сценариях:

1. Квадратное уравнение для $t$ имеет два корня: один равен нулю ($t_1=0$), а другой — отрицательный ($t_2 < 0$).
2. Квадратное уравнение для $t$ имеет единственный корень (дискриминант равен нулю), и этот корень равен нулю ($t_0=0$). Это соответствует уравнению вида $ax^4=0$.

Пример: рассмотрим уравнение $x^4 + 9x^2 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$. Получим квадратное уравнение $t^2 + 9t = 0$.

$t(t+9) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -9$.

Вернемся к переменной $x$:

• Из $t_1 = 0$ следует, что $x^2 = 0$, откуда получаем один корень $x = 0$.
• Корень $t_2 = -9$ является отрицательным, поэтому уравнение $x^2 = -9$ не имеет действительных корней.

Следовательно, уравнение $x^4 + 9x^2 = 0$ имеет ровно один действительный корень.

Ответ: да, может. Например, $x^4 + 9x^2 = 0$.

Два корня

Да, биквадратное уравнение может иметь два действительных корня. Это происходит в следующих случаях:

1. Квадратное уравнение для $t$ имеет два корня: один положительный ($t_1>0$) и один отрицательный ($t_2<0$).
2. Квадратное уравнение для $t$ имеет один-единственный положительный корень ($t_0>0$).

Пример: рассмотрим уравнение $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получим $t^2 - 7t - 18 = 0$.

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4(1)(-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни для $t$: $t_1 = \frac{7+11}{2} = 9$ и $t_2 = \frac{7-11}{2} = -2$.

Вернемся к переменной $x$:

• Из $t_1 = 9$ следует, что $x^2 = 9$, откуда получаем два корня $x = \pm 3$.
• Корень $t_2 = -2$ является отрицательным, поэтому уравнение $x^2 = -2$ не имеет действительных корней.

Следовательно, уравнение $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$ имеет два действительных корня.

Ответ: да, может. Например, $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$.

Три корня

Да, биквадратное уравнение может иметь три действительных корня. Это происходит, когда вспомогательное квадратное уравнение для $t$ имеет два корня: один равен нулю ($t_1=0$), а второй — положительный ($t_2>0$).

Пример: рассмотрим уравнение $x^4 - 16x^2 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получим $t^2 - 16t = 0$.

$t(t-16) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = 16$.

Вернемся к переменной $x$:

• Из $t_1 = 0$ следует, что $x^2 = 0$, откуда получаем один корень $x_1 = 0$.
• Из $t_2 = 16$ следует, что $x^2 = 16$, откуда получаем два корня $x_{2,3} = \pm 4$.

Следовательно, уравнение $x^4 - 16x^2 = 0$ имеет три действительных корня: $-4, 0, 4$.

Ответ: да, может. Например, $x^4 - 16x^2 = 0$.