Номер 980, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

980. При каком значении b уравнение

$x^2 + b^2x + 3b^3 = 2b^2x - b + 12 + 2b^3$

имеет корень $x = 3$?

По условию, $x = 3$ является корнем уравнения. Это означает, что если подставить значение $x=3$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство. Это позволяет нам составить уравнение относительно переменной $b$ и найти её значение.

Исходное уравнение: $x^2 + b^2x + 3b^3 = 2b^2x - b + 12 + 2b^3$

Подставим $x = 3$ в это уравнение: $(3)^2 + b^2 \cdot 3 + 3b^3 = 2b^2 \cdot 3 - b + 12 + 2b^3$

Выполним вычисления и упростим полученное выражение: $9 + 3b^2 + 3b^3 = 6b^2 - b + 12 + 2b^3$

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду: $9 + 3b^2 + 3b^3 - 6b^2 + b - 12 - 2b^3 = 0$

Приведем подобные члены: $(3b^3 - 2b^3) + (3b^2 - 6b^2) + b + (9 - 12) = 0$ $b^3 - 3b^2 + b - 3 = 0$

Мы получили кубическое уравнение относительно $b$. Для его решения воспользуемся методом группировки слагаемых: $(b^3 - 3b^2) + (b - 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы: $b^2(b - 3) + 1(b - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(b - 3)$ за скобки: $(b - 3)(b^2 + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два возможных случая:

1. $b - 3 = 0$, откуда получаем $b = 3$.

2. $b^2 + 1 = 0$, откуда $b^2 = -1$. Данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, единственное действительное значение $b$, удовлетворяющее условию задачи, равно 3.

Ответ: $b = 3$.