Номер 982, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

982. Укажите условия, при выполнении которых квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ — рациональные числа, имеет иррациональные корни.

Рассмотрим квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где по условию коэффициенты $a, b, c$ являются рациональными числами, и по определению квадратного уравнения $a \neq 0$.

Корни этого уравнения находятся по формуле:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D$ — дискриминант, который вычисляется как $D = b^2 - 4ac$.

Проанализируем, при каких условиях эти корни будут иррациональными.Поскольку $a, b, c$ — рациональные числа, то результат операций сложения, вычитания и умножения над ними также будет рациональным числом. Следовательно, дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является рациональным числом.

Формулу корней можно представить в виде $x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{D}}{2a}$.Часть дроби $\frac{-b}{2a}$ является рациональным числом, так как $a$ и $b$ — рациональные.Таким образом, характер корней (рациональные или иррациональные) полностью определяется слагаемым $\frac{\sqrt{D}}{2a}$. Корень будет иррациональным, если это слагаемое иррационально.

Рассмотрим возможные случаи для дискриминанта $D$:

1. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
2. Если $D = 0$, то корень один: $x = -\frac{b}{2a}$. Так как $a$ и $b$ рациональны, этот корень также будет рациональным.
3. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
   • Если $D$ является квадратом рационального числа (то есть $\sqrt{D}$ — рациональное число), то корни $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ будут рациональными. Это происходит потому, что все операции (сложение, вычитание, деление) производятся над рациональными числами, и результат остается рациональным.
   • Если $D$ не является квадратом рационального числа (то есть $\sqrt{D}$ — иррациональное число), то слагаемое $\frac{\sqrt{D}}{2a}$ также будет иррациональным. Сумма или разность рационального числа ($\frac{-b}{2a}$) и иррационального ($\frac{\sqrt{D}}{2a}$) всегда дает иррациональное число. Следовательно, оба корня будут иррациональными.

Таким образом, для того чтобы квадратное уравнение с рациональными коэффициентами имело иррациональные корни, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1. Дискриминант должен быть строго положительным: $D = b^2 - 4ac > 0$.
2. Дискриминант $D$ не должен являться квадратом какого-либо рационального числа.

Ответ: Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ с рациональными коэффициентами $a, b, c$ имеет иррациональные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D=b^2-4ac$ является положительным числом, которое не является квадратом рационального числа.