Номер 989, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

989. a) $(x^2 + 2) \cdot |2x - 1| = 0$;

б) $|x^4 + 1| = x^4 + x$;

в) $|x| = x + 2$;

г) $|x| = 2x + 1$;

д) $|x - 3| = x$;

е) $|x + 2| = 2x.$

а) $(x^2 + 2) \cdot |2x - 1| = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 + 2 = 0$. Перенесем 2 в правую часть: $x^2 = -2$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

2) $|2x - 1| = 0$. Модуль выражения равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю. Следовательно, $2x - 1 = 0$.

Решаем второе уравнение: $2x = 1$, откуда $x = \frac{1}{2}$.

Это единственное решение исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

б) $|x^4 + 1| = x^4 + x$

Выражение под знаком модуля, $x^4 + 1$, всегда положительно при любом действительном $x$, так как $x^4 \ge 0$ и, следовательно, $x^4 + 1 \ge 1$.

Поскольку подмодульное выражение всегда положительно, знак модуля можно опустить: $x^4 + 1 = x^4 + x$.

Вычитая $x^4$ из обеих частей уравнения, получаем: $1 = x$.

Проверим найденный корень: $|1^4 + 1| = 1^4 + 1$, $|2| = 1+1$, $2=2$. Равенство верное.

Ответ: $x = 1$.

в) $|x| = x + 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$:

1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид: $x = x + 2$. Вычитая $x$ из обеих частей, получаем $0 = 2$, что является неверным равенством. Следовательно, при $x \ge 0$ корней нет.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид: $-x = x + 2$. Переносим $x$ в правую часть: $0 = 2x + 2$, откуда $2x = -2$ и $x = -1$.

Полученное значение $x = -1$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $x = -1$.

г) $|x| = 2x + 1$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид: $x = 2x + 1$. Вычитая $x$ из обеих частей, получаем $0 = x + 1$, откуда $x = -1$. Это значение не удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому оно не является корнем.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид: $-x = 2x + 1$. Переносим $-x$ в правую часть: $0 = 3x + 1$, откуда $3x = -1$ и $x = -\frac{1}{3}$.

Полученное значение $x = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является корнем.

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

д) $|x - 3| = x$

Так как модуль числа всегда неотрицателен, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, то есть должно выполняться условие $x \ge 0$.

При этом условии уравнение $|x - 3| = x$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x - 3 = x$. Вычитая $x$ из обеих частей, получаем $-3 = 0$, что неверно. В этом случае корней нет.

2) $x - 3 = -x$. Переносим $-x$ влево, а $-3$ вправо: $x + x = 3$, то есть $2x = 3$, откуда $x = \frac{3}{2}$.

Значение $x = \frac{3}{2}$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, значит, это корень уравнения.

Ответ: $x = \frac{3}{2}$.

е) $|x + 2| = 2x$

Левая часть уравнения, модуль, всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $2x \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

При условии $x \ge 0$ выражение под модулем $x + 2$ всегда положительно ($x+2 \ge 2$), поэтому модуль можно раскрыть со знаком плюс: $|x + 2| = x + 2$.

Уравнение принимает вид: $x + 2 = 2x$.

Вычитаем $x$ из обеих частей: $2 = x$.

Полученное значение $x = 2$ удовлетворяет исходному условию $x \ge 0$, следовательно, является решением.

Ответ: $x = 2$.