Номер 994, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

994. a) $ \frac{5 - 2x}{x^2 - x} + \frac{2}{x} = \frac{3x}{x - 1} $;

б) $ \frac{2x}{x + 1} + \frac{3x - 1}{x^2 - 1} = \frac{3}{x - 1} $;

в) $ \frac{6}{x^2 - 9} + \frac{2}{x^2 + 4x} = \frac{7}{x^2 + x - 12} $.

а) $\frac{5-2x}{x^2-x} + \frac{2}{x} = \frac{3x}{x-1}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

$x^2-x \neq 0 \implies x(x-1) \neq 0 \implies x \neq 0 \text{ и } x \neq 1$.

$x \neq 0$.

$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2-x = x(x-1)$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей — это $x(x-1)$.

Умножим обе части уравнения на НОЗ $x(x-1)$:

$\frac{(5-2x) \cdot x(x-1)}{x(x-1)} + \frac{2 \cdot x(x-1)}{x} = \frac{3x \cdot x(x-1)}{x-1}$

Сократим дроби:

$(5-2x) + 2(x-1) = 3x \cdot x$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$5 - 2x + 2x - 2 = 3x^2$

$3 = 3x^2$

$x^2 = 1$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ:

• $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$. Это посторонний корень.
• $x_2 = -1$ входит в ОДЗ.

Ответ: $-1$

б) $\frac{2x}{x+1} + \frac{3x-1}{x^2-1} = \frac{3}{x-1}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны равняться нулю:

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

$x^2-1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1 \text{ и } x \neq -1$.

$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Разложим знаменатель $x^2-1$ на множители: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. НОЗ для всех дробей равен $(x-1)(x+1)$.

Умножим обе части уравнения на НОЗ $(x-1)(x+1)$:

$\frac{2x \cdot (x-1)(x+1)}{x+1} + \frac{(3x-1) \cdot (x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3 \cdot (x-1)(x+1)}{x-1}$

Сократим дроби:

$2x(x-1) + (3x-1) = 3(x+1)$

Раскроем скобки:

$2x^2 - 2x + 3x - 1 = 3x + 3$

$2x^2 + x - 1 = 3x + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$2x^2 + x - 3x - 1 - 3 = 0$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней $x_1+x_2 = 1$, произведение корней $x_1x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ:

• $x_1 = 2$ входит в ОДЗ.
• $x_2 = -1$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq -1$. Это посторонний корень.

Ответ: $2$

в) $\frac{6}{x^2-9} + \frac{2}{x^2+4x} = \frac{7}{x^2+x-12}$

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти ОДЗ и НОЗ.

• $x^2-9 = (x-3)(x+3)$
• $x^2+4x = x(x+4)$
• $x^2+x-12$: решим $t^2+t-12=0$. По теореме Виета, $t_1+t_2 = -1$, $t_1t_2 = -12$, откуда $t_1=3, t_2=-4$. Значит, $x^2+x-12 = (x-3)(x+4)$.

Уравнение приобретает вид:

$\frac{6}{(x-3)(x+3)} + \frac{2}{x(x+4)} = \frac{7}{(x-3)(x+4)}$

ОДЗ: из разложения знаменателей следует, что $x \neq 3, x \neq -3, x \neq 0, x \neq -4$.

НОЗ равен $x(x-3)(x+3)(x+4)$. Умножим обе части уравнения на НОЗ:

$6 \cdot x(x+4) + 2 \cdot (x-3)(x+3) = 7 \cdot x(x+3)$

Раскроем скобки:

$6(x^2+4x) + 2(x^2-9) = 7(x^2+3x)$

$6x^2 + 24x + 2x^2 - 18 = 7x^2 + 21x$

Приведем подобные слагаемые:

$8x^2 + 24x - 18 = 7x^2 + 21x$

Перенесем все в левую часть:

$8x^2 - 7x^2 + 24x - 21x - 18 = 0$

$x^2 + 3x - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1+x_2 = -3$, $x_1x_2 = -18$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ:

• $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 3$. Это посторонний корень.
• $x_2 = -6$ входит в ОДЗ.

Ответ: $-6$