Номер 987, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (987—1000):

987. a) $|x| = 9;$

б) $|x| = 1,5;$

в) $|x - 1| = 2;$

г) $|x - 2| = 1;$

д) $|x + 3| = 1;$

е) $|x + 1| = 3.$

а) Дано уравнение $|x| = 9$.
По определению, модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = 9$ означает, что расстояние от $x$ до нуля равно 9. Это верно для двух чисел: 9 и -9.
Таким образом, уравнение распадается на два случая:
1) $x = 9$
2) $x = -9$
Оба значения являются корнями уравнения.
Ответ: $-9; 9$.

б) Дано уравнение $|x| = 1,5$.
Аналогично предыдущему пункту, это уравнение означает, что модуль (абсолютная величина) числа $x$ равен 1,5. Этому условию удовлетворяют два числа.
Уравнение равносильно совокупности:
1) $x = 1,5$
2) $x = -1,5$
Оба значения являются решениями.
Ответ: $-1,5; 1,5$.

в) Дано уравнение $|x - 1| = 2$.
Это уравнение означает, что выражение под знаком модуля, то есть $x - 1$, должно быть равно 2 или -2. Рассмотрим оба случая:
1) $x - 1 = 2$. Решая это линейное уравнение, получаем $x = 2 + 1$, откуда $x = 3$.
2) $x - 1 = -2$. Решая это уравнение, получаем $x = -2 + 1$, откуда $x = -1$.
Таким образом, у уравнения два корня.
Ответ: $-1; 3$.

г) Дано уравнение $|x - 2| = 1$.
Уравнение распадается на два возможных случая для подмодульного выражения $x - 2$:
1) $x - 2 = 1$. Находим $x$: $x = 1 + 2$, что дает $x = 3$.
2) $x - 2 = -1$. Находим $x$: $x = -1 + 2$, что дает $x = 1$.
Уравнение имеет два решения.
Ответ: $1; 3$.

д) Дано уравнение $|x + 3| = 1$.
Для решения этого уравнения рассмотрим два варианта, которым может быть равно выражение $x + 3$:
1) $x + 3 = 1$. Отсюда $x = 1 - 3$, то есть $x = -2$.
2) $x + 3 = -1$. Отсюда $x = -1 - 3$, то есть $x = -4$.
Оба найденных значения являются корнями.
Ответ: $-4; -2$.

е) Дано уравнение $|x + 1| = 3$.
Раскрываем модуль, рассматривая два случая для выражения $x + 1$:
1) $x + 1 = 3$. Решаем уравнение: $x = 3 - 1$, получаем $x = 2$.
2) $x + 1 = -3$. Решаем уравнение: $x = -3 - 1$, получаем $x = -4$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-4; 2$.