Номер 981, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

981. Решите уравнение, считая, что $k$ — данное число:

а) $x^2 + 2kx + (k - 1)^2 = 0;$

б) $x^2 - kx + k - 1 = 0.$

а) $x^2 + 2kx + (k - 1)^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2k$, $c=(k-1)^2$. Для решения найдем дискриминант. Поскольку второй коэффициент ($b=2k$) является четным, удобно использовать формулу для дискриминанта, деленного на 4:

$D/4 = (\frac{b}{2})^2 - ac = k^2 - 1 \cdot (k - 1)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D/4 = k^2 - (k^2 - 2k + 1) = k^2 - k^2 + 2k - 1 = 2k - 1$

Количество и значения корней уравнения зависят от знака дискриминанта $D/4$. Рассмотрим три случая:

1. Если $D/4 > 0$, то есть $2k - 1 > 0 \implies k > 1/2$.В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D/4}$.

$x_{1,2} = -k \pm \sqrt{2k - 1}$

2. Если $D/4 = 0$, то есть $2k - 1 = 0 \implies k = 1/2$.В этом случае уравнение имеет один действительный корень (два совпадающих), который находится по формуле $x = -k$.

$x = -1/2$

3. Если $D/4 < 0$, то есть $2k - 1 < 0 \implies k < 1/2$.В этом случае дискриминант отрицателен, и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $k > 1/2$, то $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{2k - 1}$; если $k = 1/2$, то $x = -1/2$; если $k < 1/2$, действительных корней нет.

б) $x^2 - kx + k - 1 = 0$

Это также квадратное уравнение относительно $x$ с коэффициентами $a=1$, $b=-k$, $c=k-1$. Найдем его дискриминант по стандартной формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k - 1) = k^2 - 4k + 4 = (k - 2)^2$

Дискриминант представляет собой полный квадрат, поэтому $D \ge 0$ при любых действительных значениях $k$. Это означает, что уравнение всегда имеет действительные корни.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_{1,2} = \frac{-(-k) \pm \sqrt{(k - 2)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{k \pm (k - 2)}{2}$

Найдем каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{k + (k - 2)}{2} = \frac{2k - 2}{2} = k - 1$

$x_2 = \frac{k - (k - 2)}{2} = \frac{k - k + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения дискриминанта:

1. Если $D > 0$, то есть $(k-2)^2 > 0 \implies k \ne 2$.Уравнение имеет два различных корня: $x_1 = k - 1$ и $x_2 = 1$.

2. Если $D = 0$, то есть $(k-2)^2 = 0 \implies k = 2$.Уравнение имеет один корень (корни совпадают). При $k=2$ получаем:

$x_1 = 2 - 1 = 1$

$x_2 = 1$

Таким образом, при $k=2$ корень один: $x=1$.

Ответ: если $k = 2$, то $x = 1$; если $k \ne 2$, то $x_1 = 1$, $x_2 = k - 1$.