Номер 977, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

977. Найдите положительное значение $q$, при котором корни уравнения $2x^2 + qx - 18 = 0$ удовлетворяют условию $\frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2} = \frac{65}{324}$.

Дано квадратное уравнение $2x^2 + qx - 18 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. По условию, $q > 0$. Корни удовлетворяют соотношению $\frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2} = \frac{65}{324}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для данного уравнения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{q}{2}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{-18}{2} = -9$

Теперь преобразуем данное в условии выражение:

$\frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 - x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{(x_1 x_2)^2}$

Выразим все части этого выражения через $q$.

Знаменатель: $(x_1 x_2)^2 = (-9)^2 = 81$.

Множитель в числителе: $x_2 + x_1 = -\frac{q}{2}$.

Для нахождения разности корней $(x_2 - x_1)$ воспользуемся формулой:

$(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$

Подставим известные значения:

$(x_2 - x_1)^2 = (-\frac{q}{2})^2 - 4(-9) = \frac{q^2}{4} + 36$

Следовательно, $x_2 - x_1 = \pm\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36}$.

Теперь подставим все найденные выражения в преобразованное условие:

$\frac{(\pm\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36})(-\frac{q}{2})}{81} = \frac{65}{324}$

Упростим уравнение:

$(\pm\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36})(-\frac{q}{2}) = \frac{65}{324} \cdot 81$

$(\pm\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36})(-\frac{q}{2}) = \frac{65}{4}$

Поскольку по условию $q > 0$, то $-\frac{q}{2}$ является отрицательным числом. Правая часть уравнения $\frac{65}{4}$ положительна. Чтобы равенство выполнялось, произведение в левой части также должно быть положительным. Это возможно, если первый множитель $(\pm\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36})$ будет отрицательным. Значит, мы должны выбрать знак минус перед корнем.

$(-\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36})(-\frac{q}{2}) = \frac{65}{4}$

$(\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36})(\frac{q}{2}) = \frac{65}{4}$

Умножим обе части на 2:

$q\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36} = \frac{65}{2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$q^2(\frac{q^2}{4} + 36) = (\frac{65}{2})^2$

$\frac{q^4}{4} + 36q^2 = \frac{4225}{4}$

Умножим все уравнение на 4:

$q^4 + 144q^2 = 4225$

$q^4 + 144q^2 - 4225 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = q^2$. Так как $q$ - действительное число, $y \ge 0$.

$y^2 + 144y - 4225 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 144^2 - 4(1)(-4225) = 20736 + 16900 = 37636$

$\sqrt{D} = \sqrt{37636} = 194$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-144 + 194}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$y_2 = \frac{-144 - 194}{2} = \frac{-338}{2} = -169$

Поскольку $y = q^2$ и $q$ - действительное число, $y$ не может быть отрицательным. Поэтому корень $y_2 = -169$ не подходит.

Остается $y_1 = 25$. Сделаем обратную замену:

$q^2 = 25$

$q = \pm 5$

По условию задачи, требуется найти положительное значение $q$.

Ответ: 5