Страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

972. При каких значениях $t$ уравнение $x^2 - 2tx + t^2 - 1 = 0$ имеет два различных корня, заключённые в интервале:
а) $(0; 3);$
б) $(1; 4);$
в) $(-4; 0);$
г) $(-5; -2)?$

Данное уравнение $x^2 - 2tx + t^2 - 1 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Для нахождения его корней преобразуем левую часть, выделив полный квадрат и применив формулу разности квадратов:

$(x^2 - 2tx + t^2) - 1 = 0$

$(x - t)^2 - 1^2 = 0$

$(x - t - 1)(x - t + 1) = 0$

Отсюда находим два различных корня уравнения: $x_1 = t - 1$ и $x_2 = t + 1$.

По условию задачи, оба корня должны быть заключены в некотором интервале $(A, B)$. Это означает, что должны одновременно выполняться неравенства $A < x_1 < B$ и $A < x_2 < B$. Запишем это в виде системы:

$$ \begin{cases} A < t - 1 < B \\ A < t + 1 < B \end{cases} $$

Решим эту систему относительно $t$. Из первого неравенства получаем $A + 1 < t < B + 1$. Из второго неравенства получаем $A - 1 < t < B - 1$.

Для одновременного выполнения этих условий необходимо найти пересечение интервалов $(A+1, B+1)$ и $(A-1, B-1)$. Пересечением является интервал $(A+1, B-1)$.

Таким образом, общее условие для параметра $t$, при котором оба корня лежат в интервале $(A, B)$, имеет вид $A+1 < t < B-1$. Применим это условие для каждого из случаев.

а)

Корни должны быть в интервале $(0; 3)$. В этом случае $A=0$, $B=3$.

Подставляем значения в общее условие $A+1 < t < B-1$:

$0+1 < t < 3-1$

$1 < t < 2$

Ответ: $t \in (1; 2)$.

б)

Корни должны быть в интервале $(1; 4)$. В этом случае $A=1$, $B=4$.

Подставляем значения в общее условие $A+1 < t < B-1$:

$1+1 < t < 4-1$

$2 < t < 3$

Ответ: $t \in (2; 3)$.

в)

Корни должны быть в интервале $(-4; 0)$. В этом случае $A=-4$, $B=0$.

Подставляем значения в общее условие $A+1 < t < B-1$:

$-4+1 < t < 0-1$

$-3 < t < -1$

Ответ: $t \in (-3; -1)$.

г)

Корни должны быть в интервале $(-5; -2)$. В этом случае $A=-5$, $B=-2$.

Подставляем значения в общее условие $A+1 < t < B-1$:

$-5+1 < t < -2-1$

$-4 < t < -3$

Ответ: $t \in (-4; -3)$.

973. При каких значениях $t$ уравнение $(t+1)x^2 + 2(t-1)x + t - 3 = 0$ имеет два действительных корня:

a) отрицательных;

б) положительных;

в) разных знаков, причём положительный корень имеет большую абсолютную величину;

г) разных знаков, причём отрицательный корень имеет большую абсолютную величину?

Рассмотрим данное уравнение $(t+1)x^2 + 2(t-1)x + t-3=0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$ с коэффициентами, зависящими от параметра $t$: $a = t+1$, $b = 2(t-1)$, $c = t-3$.

Для того чтобы уравнение имело два действительных корня, необходимо, чтобы оно было квадратным и его дискриминант был положительным.

1. Условие, что уравнение является квадратным: коэффициент при $x^2$ не равен нулю. $a = t+1 \neq 0$, что означает $t \neq -1$. Если $t = -1$, уравнение становится линейным: $0 \cdot x^2 + 2(-1-1)x + (-1-3) = 0$, или $-4x-4=0$, которое имеет только один корень $x=-1$. Следовательно, условие $t \neq -1$ является обязательным для всех пунктов задачи.

2. Условие наличия двух действительных корней: дискриминант $D$ должен быть положительным ($D>0$). В данном случае коэффициент $b$ четный, поэтому удобнее вычислить $D/4 = (b/2)^2 - ac$. $D/4 = (t-1)^2 - (t+1)(t-3) = (t^2 - 2t + 1) - (t^2 - 2t - 3) = t^2 - 2t + 1 - t^2 + 2t + 3 = 4$.

Поскольку $D/4 = 4$, то $D = 16$. Так как $D=16>0$ при любом значении $t$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при условии, что оно является квадратным, то есть при $t \neq -1$.

Для анализа знаков корней воспользуемся теоремой Виета. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{2(t-1)}{t+1} = \frac{2(1-t)}{t+1}$. Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{t-3}{t+1}$.

а) отрицательных;

Чтобы оба корня были отрицательными ($x_1 < 0$ и $x_2 < 0$), необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

• Произведение корней положительно: $x_1 x_2 > 0$.
• Сумма корней отрицательна: $x_1 + x_2 < 0$.

Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{t-3}{t+1} > 0 \\ \frac{2(1-t)}{t+1} < 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $t=3$ и $t=-1$. Оно выполняется, когда $t \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.
Решим второе неравенство $\frac{1-t}{t+1} < 0$. Нули: $t=1$ и $t=-1$. Оно выполняется, когда $t \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $t \in ((-\infty, -1) \cup (3, \infty)) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, \infty))$.
Пересечением является объединение интервалов $(-\infty, -1)$ и $(3, \infty)$.

Ответ: $t \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

б) положительных;

Чтобы оба корня были положительными ($x_1 > 0$ и $x_2 > 0$), необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

• Произведение корней положительно: $x_1 x_2 > 0$.
• Сумма корней положительна: $x_1 + x_2 > 0$.

Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{t-3}{t+1} > 0 \\ \frac{2(1-t)}{t+1} > 0 \end{cases} $$ Решение первого неравенства (из пункта а)): $t \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.
Решим второе неравенство $\frac{1-t}{t+1} > 0$. Нули: $t=1$ и $t=-1$. Оно выполняется, когда $t \in (-1, 1)$.
Найдем пересечение решений: $t \in ((-\infty, -1) \cup (3, \infty)) \cap (-1, 1)$.
Данные множества не пересекаются.

Ответ: таких значений $t$ не существует.

в) разных знаков, причём положительный корень имеет большую абсолютную величину;

Чтобы корни имели разные знаки, их произведение должно быть отрицательным: $x_1 x_2 = \frac{t-3}{t+1} < 0$. Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, то есть при $t \in (-1, 3)$.
Условие, что положительный корень имеет большую абсолютную величину (например, $x_1 > 0, x_2 < 0$ и $|x_1| > |x_2|$), означает, что сумма корней положительна: $x_1 + x_2 > 0$. $x_1 + x_2 = \frac{2(1-t)}{t+1} > 0$. Как мы выяснили в пункте б), это неравенство выполняется при $t \in (-1, 1)$.
Найдем пересечение полученных интервалов: $t \in (-1, 3) \cap (-1, 1)$.
Пересечением является интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $t \in (-1, 1)$.

г) разных знаков, причём отрицательный корень имеет большую абсолютную величину?

Как и в предыдущем пункте, для того чтобы корни имели разные знаки, их произведение должно быть отрицательным: $x_1 x_2 = \frac{t-3}{t+1} < 0$, что выполняется при $t \in (-1, 3)$.
Условие, что отрицательный корень имеет большую абсолютную величину (например, $x_1 > 0, x_2 < 0$ и $|x_2| > |x_1|$), означает, что сумма корней отрицательна: $x_1 + x_2 < 0$. $x_1 + x_2 = \frac{2(1-t)}{t+1} < 0$. Как мы выяснили в пункте а), это неравенство выполняется при $t \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Найдем пересечение полученных множеств: $t \in (-1, 3) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, \infty))$.
Пересечением является интервал $(1, 3)$.

Ответ: $t \in (1, 3)$.

974. При каких значениях $m$ уравнение $(m - 2)x^2 + (m + 2)x + m = 0$ имеет различные корни?

Данное уравнение $(m-2)x^2 + (m+2)x + m = 0$ может быть как квадратным, так и линейным, в зависимости от значения параметра $m$. Чтобы уравнение имело различные корни, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю:

$m - 2 = 0 \implies m = 2$.

Подставим значение $m = 2$ в исходное уравнение:

$(2 - 2)x^2 + (2 + 2)x + 2 = 0$

$0 \cdot x^2 + 4x + 2 = 0$

$4x = -2$

$x = -0.5$

При $m = 2$ уравнение имеет только один корень. Условие о наличии различных корней не выполняется.

Случай 2: Уравнение является квадратным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $m - 2 \neq 0$, или $m \neq 2$.

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

Вычислим дискриминант для уравнения $(m-2)x^2 + (m+2)x + m = 0$. Здесь коэффициенты $a = m-2$, $b = m+2$, $c = m$.

$D = b^2 - 4ac = (m+2)^2 - 4(m-2)m$

$D = (m^2 + 4m + 4) - (4m^2 - 8m)$

$D = m^2 + 4m + 4 - 4m^2 + 8m$

$D = -3m^2 + 12m + 4$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$-3m^2 + 12m + 4 > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$3m^2 - 12m - 4 < 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3m^2 - 12m - 4 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения (обозначим его $D_m$):

$D_m = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 144 + 48 = 192$

Корни уравнения:

$m_{1,2} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm \sqrt{64 \cdot 3}}{6} = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{6} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{3}$

Итак, корни: $m_1 = \frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}$ и $m_2 = \frac{6 + 4\sqrt{3}}{3}$.

Парабола $y = 3m^2 - 12m - 4$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $3m^2 - 12m - 4 < 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, $m \in (\frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 4\sqrt{3}}{3})$.

В этом случае мы рассматривали условие $m \neq 2$. Проверим, входит ли $m=2$ в найденный интервал.

$\frac{6 - 4\sqrt{3}}{3} = 2 - \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Так как $\frac{4\sqrt{3}}{3} > 0$, то $2 - \frac{4\sqrt{3}}{3} < 2$.

$\frac{6 + 4\sqrt{3}}{3} = 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Так как $\frac{4\sqrt{3}}{3} > 0$, то $2 + \frac{4\sqrt{3}}{3} > 2$.

Значение $m=2$ находится внутри интервала $(\frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 4\sqrt{3}}{3})$, но при $m=2$ уравнение имеет только один корень, поэтому это значение нужно исключить.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет различные корни при $m$ из интервала $(\frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 4\sqrt{3}}{3})$ за исключением точки $m=2$.

Ответ: $m \in (\frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}; 2) \cup (2; \frac{6 + 4\sqrt{3}}{3})$

975. При каких значениях $p$ один из корней квадратного уравнения $x^2 + px - 5 = 0$ больше 1, а другой меньше 1?

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = x^2 + px - 5$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1, то есть является положительным числом, ветви параболы направлены вверх.

Корни уравнения $x^2 + px - 5 = 0$ — это точки, в которых график функции $f(x)$ пересекает ось абсцисс (ось Ox).

Условие, что один из корней больше 1, а другой меньше 1 ($x_1 < 1 < x_2$), означает, что число 1 находится строго между корнями. Для параболы, ветви которой направлены вверх, это возможно только в том случае, если значение функции в точке $x=1$ является отрицательным.

Запишем это условие в виде неравенства: $f(1) < 0$

Найдем значение функции в точке $x=1$, подставив 1 в ее выражение: $f(1) = 1^2 + p \cdot 1 - 5 = 1 + p - 5 = p - 4$

Теперь решим полученное неравенство относительно $p$: $p - 4 < 0$ $p < 4$

Также необходимо убедиться, что при любых значениях $p$ уравнение имеет два действительных корня. Для этого проверим знак дискриминанта $D$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$, который вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=p$, $c=-5$.

$D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = p^2 + 20$

Поскольку $p^2$ всегда неотрицательно ($p^2 \ge 0$) для любого действительного $p$, дискриминант $D = p^2 + 20$ всегда будет строго положительным ($D \ge 20$). Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $p$.

Следовательно, условие $p < 4$ является необходимым и достаточным.

Ответ: $p < 4$, то есть $p \in (-\infty; 4)$.

976. Найдите значение $p$, при котором корни уравнения $2x^2 - 5x + p = 0$ удовлетворяют условию $\frac{x_2^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} = \frac{65}{8}$.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 5x + p = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни. Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для данного уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{p}{2}$

Также дано условие, которому удовлетворяют корни:

$\frac{x_2^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} = \frac{65}{8}$

Преобразуем левую часть этого равенства, приведя дроби к общему знаменателю $x_1x_2$:

$\frac{x_2^2 \cdot x_2 + x_1^2 \cdot x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1 x_2} = \frac{65}{8}$

Теперь выразим сумму кубов корней $x_1^3 + x_2^3$ через сумму и произведение корней. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)$

Выражение $x_1^2 + x_2^2$ также можно представить через сумму и произведение корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Подставим это в выражение для суммы кубов:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 - x_1 x_2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2)$

Теперь подставим значения суммы и произведения корней из теоремы Виета:

$x_1^3 + x_2^3 = \frac{5}{2} \cdot \left( \left( \frac{5}{2} \right)^2 - 3 \cdot \frac{p}{2} \right) = \frac{5}{2} \cdot \left( \frac{25}{4} - \frac{3p}{2} \right) = \frac{5}{2} \cdot \left( \frac{25 - 6p}{4} \right) = \frac{5(25 - 6p)}{8}$

Теперь вернемся к исходному условию и подставим в него полученное выражение для числителя и выражение для знаменателя $x_1x_2 = \frac{p}{2}$:

$\frac{\frac{5(25 - 6p)}{8}}{\frac{p}{2}} = \frac{65}{8}$

Упростим полученное уравнение. Заметим, что для существования выражения в условии $x_1$ и $x_2$ не могут быть равны нулю, а значит $x_1x_2 = \frac{p}{2} \ne 0$, следовательно $p \ne 0$.

$\frac{5(25 - 6p)}{8} \cdot \frac{2}{p} = \frac{65}{8}$

$\frac{10(25 - 6p)}{8p} = \frac{65}{8}$

Умножим обе части уравнения на $8p$:

$10(25 - 6p) = 65p$

Разделим обе части на 5:

$2(25 - 6p) = 13p$

$50 - 12p = 13p$

$50 = 13p + 12p$

$50 = 25p$

$p = \frac{50}{25} = 2$

Проверим, существуют ли при данном значении $p$ действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot p = 25 - 8p$

$D \ge 0 \implies 25 - 8p \ge 0 \implies 25 \ge 8p \implies p \le \frac{25}{8} = 3.125$

Найденное значение $p=2$ удовлетворяет этому условию ($2 \le 3.125$).

Ответ: $p = 2$

977. Найдите положительное значение $q$, при котором корни уравнения $2x^2 + qx - 18 = 0$ удовлетворяют условию $\frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2} = \frac{65}{324}$.

Дано квадратное уравнение $2x^2 + qx - 18 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. По условию, $q > 0$. Корни удовлетворяют соотношению $\frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2} = \frac{65}{324}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для данного уравнения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{q}{2}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{-18}{2} = -9$

Теперь преобразуем данное в условии выражение:

$\frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 - x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{(x_1 x_2)^2}$

Выразим все части этого выражения через $q$.

Знаменатель: $(x_1 x_2)^2 = (-9)^2 = 81$.

Множитель в числителе: $x_2 + x_1 = -\frac{q}{2}$.

Для нахождения разности корней $(x_2 - x_1)$ воспользуемся формулой:

$(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$

Подставим известные значения:

$(x_2 - x_1)^2 = (-\frac{q}{2})^2 - 4(-9) = \frac{q^2}{4} + 36$

Следовательно, $x_2 - x_1 = \pm\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36}$.

Теперь подставим все найденные выражения в преобразованное условие:

$\frac{(\pm\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36})(-\frac{q}{2})}{81} = \frac{65}{324}$

Упростим уравнение:

$(\pm\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36})(-\frac{q}{2}) = \frac{65}{324} \cdot 81$

$(\pm\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36})(-\frac{q}{2}) = \frac{65}{4}$

Поскольку по условию $q > 0$, то $-\frac{q}{2}$ является отрицательным числом. Правая часть уравнения $\frac{65}{4}$ положительна. Чтобы равенство выполнялось, произведение в левой части также должно быть положительным. Это возможно, если первый множитель $(\pm\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36})$ будет отрицательным. Значит, мы должны выбрать знак минус перед корнем.

$(-\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36})(-\frac{q}{2}) = \frac{65}{4}$

$(\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36})(\frac{q}{2}) = \frac{65}{4}$

Умножим обе части на 2:

$q\sqrt{\frac{q^2}{4} + 36} = \frac{65}{2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$q^2(\frac{q^2}{4} + 36) = (\frac{65}{2})^2$

$\frac{q^4}{4} + 36q^2 = \frac{4225}{4}$

Умножим все уравнение на 4:

$q^4 + 144q^2 = 4225$

$q^4 + 144q^2 - 4225 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = q^2$. Так как $q$ - действительное число, $y \ge 0$.

$y^2 + 144y - 4225 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 144^2 - 4(1)(-4225) = 20736 + 16900 = 37636$

$\sqrt{D} = \sqrt{37636} = 194$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-144 + 194}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$y_2 = \frac{-144 - 194}{2} = \frac{-338}{2} = -169$

Поскольку $y = q^2$ и $q$ - действительное число, $y$ не может быть отрицательным. Поэтому корень $y_2 = -169$ не подходит.

Остается $y_1 = 25$. Сделаем обратную замену:

$q^2 = 25$

$q = \pm 5$

По условию задачи, требуется найти положительное значение $q$.

Ответ: 5

978. Найдите значение $p$, при котором корни уравнения

$6x^2 + 3x - p = 0$ удовлетворяют условию

$x_1 \cdot x_2^4 + x_2 \cdot x_1^4 = \frac{63}{8}$.

Дано квадратное уравнение $6x^2 + 3x - p = 0$ и условие на его корни $x_1$ и $x_2$: $x_1 \cdot x_2^4 + x_2 \cdot x_1^4 = \frac{63}{8}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ сумма и произведение корней равны:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем случае $a = 6$, $b = 3$, $c = -p$. Тогда:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-p}{6}$.

Теперь преобразуем левую часть данного условия, чтобы выразить ее через сумму и произведение корней.
$x_1 \cdot x_2^4 + x_2 \cdot x_1^4 = x_1 x_2 (x_2^3 + x_1^3)$.

Используем формулу суммы кубов: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)$.
Выразим $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.
Подставим это в выражение для суммы кубов:
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 - x_1 x_2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2)$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное условие:
$x_1 x_2 (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2) = \frac{63}{8}$.

Подставим значения суммы и произведения корней, найденные по теореме Виета:
$(\frac{-p}{6}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot ( (-\frac{1}{2})^2 - 3(\frac{-p}{6}) ) = \frac{63}{8}$.

Упростим полученное уравнение и решим его относительно $p$:
$\frac{p}{12} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{3p}{6}) = \frac{63}{8}$
$\frac{p}{12} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{p}{2}) = \frac{63}{8}$
$\frac{p}{12} \cdot (\frac{1 + 2p}{4}) = \frac{63}{8}$
$\frac{p(1 + 2p)}{48} = \frac{63}{8}$

Умножим обе части уравнения на 48, чтобы избавиться от знаменателей:
$p(1 + 2p) = \frac{63 \cdot 48}{8}$
$p + 2p^2 = 63 \cdot 6$
$2p^2 + p = 378$
$2p^2 + p - 378 = 0$.

Мы получили квадратное уравнение относительно $p$. Найдем его корни.
Дискриминант $D_p = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-378) = 1 + 8 \cdot 378 = 1 + 3024 = 3025$.
Корень из дискриминанта $\sqrt{D_p} = \sqrt{3025} = 55$.
Найдем значения $p$:
$p_1 = \frac{-1 + 55}{2 \cdot 2} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13.5$.
$p_2 = \frac{-1 - 55}{2 \cdot 2} = \frac{-56}{4} = -14$.

Необходимо также проверить, при каких из найденных значений $p$ исходное уравнение $6x^2 + 3x - p = 0$ будет иметь действительные корни. Для этого его дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным.
$D_x = 3^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-p) = 9 + 24p \ge 0$.
$24p \ge -9$
$p \ge -\frac{9}{24}$
$p \ge -\frac{3}{8}$.

Проверим найденные значения $p$:
1) $p_1 = 13.5$. Так как $13.5 > -\frac{3}{8}$, это значение подходит.
2) $p_2 = -14$. Так как $-14 < -\frac{3}{8}$, это значение не подходит, так как при нем исходное уравнение не будет иметь действительных корней.

Следовательно, единственное подходящее значение $p$ равно 13.5.
Ответ: $p = 13.5$.

979. Один из корней уравнения $x^2 - x - a = 0$ равен $a + 1$. Найдите другой его корень.

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 - x - a = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, один из корней равен $a + 1$. Примем, что $x_1 = a + 1$. Нам необходимо найти второй корень $x_2$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями $x_1$, $x_2$ и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - x - a = 0$ коэффициент при $x$ равен $p = -1$, а свободный член равен $q = -a$.

Следовательно, для нашего уравнения справедливы следующие равенства:

1. $x_1 + x_2 = -(-1) = 1$
2. $x_1 \cdot x_2 = -a$

Из первого равенства мы можем выразить второй корень $x_2$ через первый корень $x_1$:

$x_2 = 1 - x_1$

Теперь подставим в это выражение известное значение первого корня $x_1 = a + 1$:

$x_2 = 1 - (a + 1) = 1 - a - 1 = -a$

Мы нашли, что второй корень выражается через параметр $a$ как $x_2 = -a$.

Теперь у нас есть выражения для обоих корней через $a$: $x_1 = a + 1$ и $x_2 = -a$. Подставим их во второе равенство из теоремы Виета ($x_1 \cdot x_2 = -a$):

$(a + 1) \cdot (-a) = -a$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$-a^2 - a = -a$

Прибавим $a$ к обеим частям уравнения, чтобы упростить его:

$-a^2 = 0$

Из этого уравнения следует, что $a = 0$.

Мы нашли значение параметра $a$, при котором условие задачи выполняется. Теперь мы можем найти точное значение второго корня, подставив $a=0$ в найденное для него выражение $x_2 = -a$:

$x_2 = -0 = 0$

Для проверки можно найти и первый корень: $x_1 = a + 1 = 0 + 1 = 1$.

Исходное уравнение при $a=0$ принимает вид $x^2 - x = 0$, или $x(x-1)=0$, его корни действительно равны $1$ и $0$.

Таким образом, другой корень уравнения равен 0.

Ответ: 0

980. При каком значении b уравнение

$x^2 + b^2x + 3b^3 = 2b^2x - b + 12 + 2b^3$

имеет корень $x = 3$?

По условию, $x = 3$ является корнем уравнения. Это означает, что если подставить значение $x=3$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство. Это позволяет нам составить уравнение относительно переменной $b$ и найти её значение.

Исходное уравнение: $x^2 + b^2x + 3b^3 = 2b^2x - b + 12 + 2b^3$

Подставим $x = 3$ в это уравнение: $(3)^2 + b^2 \cdot 3 + 3b^3 = 2b^2 \cdot 3 - b + 12 + 2b^3$

Выполним вычисления и упростим полученное выражение: $9 + 3b^2 + 3b^3 = 6b^2 - b + 12 + 2b^3$

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду: $9 + 3b^2 + 3b^3 - 6b^2 + b - 12 - 2b^3 = 0$

Приведем подобные члены: $(3b^3 - 2b^3) + (3b^2 - 6b^2) + b + (9 - 12) = 0$ $b^3 - 3b^2 + b - 3 = 0$

Мы получили кубическое уравнение относительно $b$. Для его решения воспользуемся методом группировки слагаемых: $(b^3 - 3b^2) + (b - 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы: $b^2(b - 3) + 1(b - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(b - 3)$ за скобки: $(b - 3)(b^2 + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два возможных случая:

1. $b - 3 = 0$, откуда получаем $b = 3$.

2. $b^2 + 1 = 0$, откуда $b^2 = -1$. Данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, единственное действительное значение $b$, удовлетворяющее условию задачи, равно 3.

Ответ: $b = 3$.

981. Решите уравнение, считая, что $k$ — данное число:

а) $x^2 + 2kx + (k - 1)^2 = 0;$

б) $x^2 - kx + k - 1 = 0.$

а) $x^2 + 2kx + (k - 1)^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2k$, $c=(k-1)^2$. Для решения найдем дискриминант. Поскольку второй коэффициент ($b=2k$) является четным, удобно использовать формулу для дискриминанта, деленного на 4:

$D/4 = (\frac{b}{2})^2 - ac = k^2 - 1 \cdot (k - 1)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D/4 = k^2 - (k^2 - 2k + 1) = k^2 - k^2 + 2k - 1 = 2k - 1$

Количество и значения корней уравнения зависят от знака дискриминанта $D/4$. Рассмотрим три случая:

1. Если $D/4 > 0$, то есть $2k - 1 > 0 \implies k > 1/2$.В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D/4}$.

$x_{1,2} = -k \pm \sqrt{2k - 1}$

2. Если $D/4 = 0$, то есть $2k - 1 = 0 \implies k = 1/2$.В этом случае уравнение имеет один действительный корень (два совпадающих), который находится по формуле $x = -k$.

$x = -1/2$

3. Если $D/4 < 0$, то есть $2k - 1 < 0 \implies k < 1/2$.В этом случае дискриминант отрицателен, и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $k > 1/2$, то $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{2k - 1}$; если $k = 1/2$, то $x = -1/2$; если $k < 1/2$, действительных корней нет.

б) $x^2 - kx + k - 1 = 0$

Это также квадратное уравнение относительно $x$ с коэффициентами $a=1$, $b=-k$, $c=k-1$. Найдем его дискриминант по стандартной формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k - 1) = k^2 - 4k + 4 = (k - 2)^2$

Дискриминант представляет собой полный квадрат, поэтому $D \ge 0$ при любых действительных значениях $k$. Это означает, что уравнение всегда имеет действительные корни.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_{1,2} = \frac{-(-k) \pm \sqrt{(k - 2)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{k \pm (k - 2)}{2}$

Найдем каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{k + (k - 2)}{2} = \frac{2k - 2}{2} = k - 1$

$x_2 = \frac{k - (k - 2)}{2} = \frac{k - k + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения дискриминанта:

1. Если $D > 0$, то есть $(k-2)^2 > 0 \implies k \ne 2$.Уравнение имеет два различных корня: $x_1 = k - 1$ и $x_2 = 1$.

2. Если $D = 0$, то есть $(k-2)^2 = 0 \implies k = 2$.Уравнение имеет один корень (корни совпадают). При $k=2$ получаем:

$x_1 = 2 - 1 = 1$

$x_2 = 1$

Таким образом, при $k=2$ корень один: $x=1$.

Ответ: если $k = 2$, то $x = 1$; если $k \ne 2$, то $x_1 = 1$, $x_2 = k - 1$.

982. Укажите условия, при выполнении которых квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ — рациональные числа, имеет иррациональные корни.

Рассмотрим квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где по условию коэффициенты $a, b, c$ являются рациональными числами, и по определению квадратного уравнения $a \neq 0$.

Корни этого уравнения находятся по формуле:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D$ — дискриминант, который вычисляется как $D = b^2 - 4ac$.

Проанализируем, при каких условиях эти корни будут иррациональными.Поскольку $a, b, c$ — рациональные числа, то результат операций сложения, вычитания и умножения над ними также будет рациональным числом. Следовательно, дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является рациональным числом.

Формулу корней можно представить в виде $x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{D}}{2a}$.Часть дроби $\frac{-b}{2a}$ является рациональным числом, так как $a$ и $b$ — рациональные.Таким образом, характер корней (рациональные или иррациональные) полностью определяется слагаемым $\frac{\sqrt{D}}{2a}$. Корень будет иррациональным, если это слагаемое иррационально.

Рассмотрим возможные случаи для дискриминанта $D$:

1. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
2. Если $D = 0$, то корень один: $x = -\frac{b}{2a}$. Так как $a$ и $b$ рациональны, этот корень также будет рациональным.
3. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
   • Если $D$ является квадратом рационального числа (то есть $\sqrt{D}$ — рациональное число), то корни $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ будут рациональными. Это происходит потому, что все операции (сложение, вычитание, деление) производятся над рациональными числами, и результат остается рациональным.
   • Если $D$ не является квадратом рационального числа (то есть $\sqrt{D}$ — иррациональное число), то слагаемое $\frac{\sqrt{D}}{2a}$ также будет иррациональным. Сумма или разность рационального числа ($\frac{-b}{2a}$) и иррационального ($\frac{\sqrt{D}}{2a}$) всегда дает иррациональное число. Следовательно, оба корня будут иррациональными.

Таким образом, для того чтобы квадратное уравнение с рациональными коэффициентами имело иррациональные корни, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1. Дискриминант должен быть строго положительным: $D = b^2 - 4ac > 0$.
2. Дискриминант $D$ не должен являться квадратом какого-либо рационального числа.

Ответ: Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ с рациональными коэффициентами $a, b, c$ имеет иррациональные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D=b^2-4ac$ является положительным числом, которое не является квадратом рационального числа.

983. При каких значениях $a$, $b$, $c$ (или при каких отношениях между ними) для квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$:

a) сумма корней этого трёхчлена равна их произведению;

б) корни этого трёхчлена равны по абсолютной величине?

Рассмотрим квадратичный трёхчлен $ax^2 + bx + c$. По определению, коэффициент $a \neq 0$. Для того чтобы у трёхчлена были действительные корни (что обычно подразумевается в таких задачах), его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным: $D = b^2 - 4ac \ge 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого трёхчлена. Согласно теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

а) сумма корней этого трёхчлена равна их произведению;

Условие задачи можно записать в виде равенства: $x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2$.Используя формулы Виета, подставим выражения для суммы и произведения корней:

$$-\frac{b}{a} = \frac{c}{a}$$

Поскольку по определению квадратичного трёхчлена $a \neq 0$, мы можем умножить обе части равенства на $a$, чтобы получить соотношение между коэффициентами $b$ и $c$:

$$-b = c \quad \text{или} \quad b + c = 0$$

Это основное требуемое соотношение. Однако, для существования самих действительных корней необходимо выполнение условия $D \ge 0$. Подставим в неравенство для дискриминанта найденное соотношение $c = -b$:

$$D = b^2 - 4a(-b) = b^2 + 4ab \ge 0$$

Это неравенство можно переписать в виде $b(b + 4a) \ge 0$.

Ответ: Сумма корней равна их произведению при выполнении соотношения $b + c = 0$, при условии, что трёхчлен имеет действительные корни (т.е. $a \neq 0$ и $b(b+4a) \ge 0$).

б) корни этого трёхчлена равны по абсолютной величине?

Условие равенства корней по абсолютной величине записывается как $|x_1| = |x_2|$. Для действительных чисел это равенство эквивалентно тому, что $x_1^2 = x_2^2$, что, в свою очередь, можно записать как $x_1^2 - x_2^2 = 0$ или $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0$. Это равенство выполняется в двух случаях:

1. Корни равны: $x_1 - x_2 = 0 \implies x_1 = x_2$.

2. Сумма корней равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Корни равны ($x_1 = x_2$)

Квадратный трёхчлен имеет два равных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:

$$D = b^2 - 4ac = 0$$

Это одно из возможных соотношений между коэффициентами.

Случай 2: Сумма корней равна нулю ($x_1 + x_2 = 0$)

Если сумма корней равна нулю, то из теоремы Виета ($x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$) следует:

$$-\frac{b}{a} = 0$$

Так как $a \neq 0$, это равенство выполняется только при $b=0$. В этом случае корни являются противоположными числами ($x_1 = -x_2$).

Для существования действительных корней при $b=0$ необходимо, чтобы дискриминант был неотрицателен: $D = b^2 - 4ac \ge 0$. Подставим $b=0$:

$$0^2 - 4ac \ge 0 \implies -4ac \ge 0$$

Разделив обе части неравенства на $-4$ и изменив знак, получим:

$$ac \le 0$$

Это означает, что коэффициенты $a$ и $c$ должны иметь противоположные знаки, либо один из них (или оба) равен нулю (но $a \neq 0$, значит $c$ может быть равно нулю).

Таким образом, мы получили два независимых набора условий:

• $b^2 - 4ac = 0$ (корни равны, например $x_1=x_2=3$).
• $b = 0$ и $ac \le 0$ (корни противоположны, например $x_1=3, x_2=-3$, или оба равны нулю, если $c=0$).

Ответ: Корни равны по абсолютной величине, если выполняется одно из двух условий (при $a \neq 0$): либо $b^2 - 4ac = 0$, либо одновременно $b = 0$ и $ac \le 0$.