Страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1027. а) $y = \frac{1}{x-1}$;

б) $y = \frac{1}{x+2}$;

в) $y = \frac{1}{1-x}$;

г) $y = \frac{4}{4-x}$;

д) $y = \frac{1}{x-1} + 1$;

е) $y = \frac{1}{2-x} - 3;$

ж) $y = \frac{3}{x+2} - 1$;

з) $y = \frac{2}{x-3} + 4$;

и) $y = \frac{x+1}{x-1}$;

к) $y = \frac{x-3}{x+4}$;

л) $y = \frac{2x-1}{3x-1}$;

м) $y = \frac{3x+1}{2x-1}$.

а)

Дана функция $y = \frac{1}{x - 1}$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для данной дробно-рациональной функции знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Следовательно, функция не определена в точке $x = 1$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{1}{x + 2}$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x + 2 = 0$

$x = -2$

Следовательно, функция не определена в точке $x = -2$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $-2$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

в)

Дана функция $y = \frac{1}{1 - x}$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$1 - x = 0$

$x = 1$

Следовательно, функция не определена в точке $x = 1$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

г)

Дана функция $y = \frac{4}{4 - x}$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$4 - x = 0$

$x = 4$

Следовательно, функция не определена в точке $x = 4$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $4$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

д)

Дана функция $y = \frac{1}{x - 1} + 1$. Область определения этой функции определяется областью определения дробного слагаемого $\frac{1}{x-1}$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Следовательно, функция не определена в точке $x = 1$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

е)

Дана функция $y = \frac{1}{2 - x} - 3$. Область определения этой функции определяется областью определения дробного выражения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$2 - x = 0$

$x = 2$

Следовательно, функция не определена в точке $x = 2$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $2$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

ж)

Дана функция $y = \frac{3}{x + 2} - 1$. Область определения этой функции определяется областью определения дробного выражения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x + 2 = 0$

$x = -2$

Следовательно, функция не определена в точке $x = -2$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $-2$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

з)

Дана функция $y = \frac{2}{x - 3} + 4$. Область определения этой функции определяется областью определения дробного выражения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Следовательно, функция не определена в точке $x = 3$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $3$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

и)

Дана функция $y = \frac{x + 1}{x - 1}$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Следовательно, функция не определена в точке $x = 1$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

к)

Дана функция $y = \frac{x - 3}{x + 4}$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x + 4 = 0$

$x = -4$

Следовательно, функция не определена в точке $x = -4$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $-4$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

л)

Дана функция $y = \frac{2x - 1}{3x - 1}$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$3x - 1 = 0$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Следовательно, функция не определена в точке $x = \frac{1}{3}$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $\frac{1}{3}$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

м)

Дана функция $y = \frac{3x + 1}{2x - 1}$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Следовательно, функция не определена в точке $x = \frac{1}{2}$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $\frac{1}{2}$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

1028. а) $y = x^2 - 7x;$

б) $y = 3 - x^2;$

в) $y = x^2 - 5x - 6;$

г) $y = 3x^2 - x + 1.$

а) Задача состоит в нахождении координат вершины параболы, заданной уравнением $y = x^2 - 7x$. Общий вид уравнения параболы: $y = ax^2 + bx + c$. В данном случае коэффициенты равны $a = 1$, $b = -7$, $c = 0$.
Координата $x_0$ вершины параболы вычисляется по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Подставим значения коэффициентов: $x_0 = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} = 3.5$.
Чтобы найти координату $y_0$ вершины, подставим найденное значение $x_0$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = (3.5)^2 - 7 \cdot (3.5) = 12.25 - 24.5 = -12.25$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(3.5; -12.25)$.
Ответ: $(3.5; -12.25)$.

б) Для функции $y = 3 - x^2$ перепишем ее в стандартном виде $y = -x^2 + 0x + 3$. Коэффициенты равны $a = -1$, $b = 0$, $c = 3$.
Координата $x_0$ вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
Подставим значение $x_0$ в уравнение функции для нахождения $y_0$:
$y_0 = 3 - (0)^2 = 3$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(0; 3)$.
Ответ: $(0; 3)$.

в) Для функции $y = x^2 - 5x - 6$ коэффициенты равны $a = 1$, $b = -5$, $c = -6$.
Координата $x_0$ вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$.
Подставим значение $x_0$ в уравнение функции для нахождения $y_0$:
$y_0 = (2.5)^2 - 5 \cdot (2.5) - 6 = 6.25 - 12.5 - 6 = -12.25$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(2.5; -12.25)$.
Ответ: $(2.5; -12.25)$.

г) Для функции $y = 3x^2 - x + 1$ коэффициенты равны $a = 3$, $b = -1$, $c = 1$.
Координата $x_0$ вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.
Подставим значение $x_0$ в уравнение функции для нахождения $y_0$:
$y_0 = 3(\frac{1}{6})^2 - \frac{1}{6} + 1 = 3 \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{6} + 1 = \frac{3}{36} - \frac{6}{36} + \frac{36}{36} = \frac{1}{12} - \frac{2}{12} + \frac{12}{12} = \frac{1-2+12}{12} = \frac{11}{12}$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(\frac{1}{6}; \frac{11}{12})$.
Ответ: $(\frac{1}{6}; \frac{11}{12})$.

1029. а) $y = -|x|;$

б) $y = |x - 1|;$

в) $y = |2x + 1|;$

г) $y = x + |x|;$

д) $y = x - |x|;$

е) $y = \frac{x^2 - 1}{x - 1};$

ж) $y = \frac{x^2 - 1}{x + 1}.$

а) $y = -|x|$

Для построения графика этой функции рассмотрим два случая, исходя из определения модуля числа.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. В этом случае функция принимает вид $y = -x$. Это луч, выходящий из начала координат и проходящий через точку $(1, -1)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. В этом случае функция принимает вид $y = -(-x) = x$. Это луч, выходящий из начала координат и проходящий через точку $(-1, -1)$.

График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$. Он симметричен относительно оси $Oy$ и расположен в нижней полуплоскости. Этот график можно получить, отразив график функции $y = |x|$ относительно оси $Ox$.

Ответ: График функции – это объединение двух лучей: $y = -x$ при $x \ge 0$ и $y = x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$, ветви направлены вниз.

б) $y = |x - 1|$

Для построения графика раскроем модуль.

1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид $y = x - 1$. Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий через точку $(2, 1)$.

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$. Функция принимает вид $y = -x + 1$. Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий через точку $(0, 1)$.

График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(1, 0)$. Также этот график можно получить, сдвинув график функции $y = |x|$ на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$.

Ответ: График функции – это объединение двух лучей: $y = x - 1$ при $x \ge 1$ и $y = -x + 1$ при $x < 1$. Вершина графика находится в точке $(1, 0)$, ветви направлены вверх.

в) $y = |2x + 1|$

Для построения графика раскроем модуль.

1. Если $2x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/2$, то $|2x + 1| = 2x + 1$. Функция принимает вид $y = 2x + 1$. Это луч, выходящий из точки $(-1/2, 0)$ и проходящий через точку $(0, 1)$.

2. Если $2x + 1 < 0$, то есть $x < -1/2$, то $|2x + 1| = -(2x + 1) = -2x - 1$. Функция принимает вид $y = -2x - 1$. Это луч, выходящий из точки $(-1/2, 0)$ и проходящий через точку $(-1, 1)$.

График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(-1/2, 0)$. Ветви графика более "крутые", чем у $y = |x|$, из-за коэффициента 2 при $x$.

Ответ: График функции – это объединение двух лучей: $y = 2x + 1$ при $x \ge -1/2$ и $y = -2x - 1$ при $x < -1/2$. Вершина графика находится в точке $(-1/2, 0)$, ветви направлены вверх.

г) $y = x + |x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = x + x = 2x$. Графиком является луч, выходящий из начала координат и проходящий через точку $(1, 2)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = x + (-x) = 0$. Графиком является луч $y = 0$, совпадающий с отрицательной частью оси $Ox$.

Таким образом, график состоит из двух частей: луча на оси $Ox$ для $x < 0$ и луча $y=2x$ для $x \ge 0$.

Ответ: График функции – это луч $y=0$ при $x < 0$ и луч $y=2x$ при $x \ge 0$.

д) $y = x - |x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = x - x = 0$. Графиком является луч $y = 0$, совпадающий с положительной частью оси $Ox$ и началом координат.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = x - (-x) = 2x$. Графиком является луч, выходящий из начала координат и проходящий через точку $(-1, -2)$.

График состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0,0)$.

Ответ: График функции – это луч $y=2x$ при $x < 0$ и луч $y=0$ при $x \ge 0$.

е) $y = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Теперь упростим выражение функции. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

$y = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$

Так как $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$. Получаем $y = x + 1$.

Это означает, что график исходной функции является прямой $y = x + 1$, за исключением одной точки, где функция не определена. Эта точка имеет абсциссу $x=1$. Найдем ординату этой точки, подставив $x=1$ в упрощенное уравнение: $y = 1 + 1 = 2$.

Таким образом, на графике прямой $y = x + 1$ будет "выколотая" точка с координатами $(1, 2)$.

Ответ: График функции – это прямая $y = x + 1$ с выколотой точкой $(1, 2)$.

ж) $y = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю: $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.

Упростим выражение функции. Числитель $x^2 - 1$ раскладывается на множители: $(x - 1)(x + 1)$.

$y = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$

При условии $x \neq -1$ сокращаем дробь на $(x + 1)$ и получаем $y = x - 1$.

Графиком функции является прямая $y = x - 1$ с "выколотой" точкой при $x = -1$. Найдем ее координаты: $y = -1 - 1 = -2$.

Следовательно, график представляет собой прямую линию с выколотой точкой $(-1, -2)$.

Ответ: График функции – это прямая $y = x - 1$ с выколотой точкой $(-1, -2)$.

Отметьте штриховкой все точки координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют условию (1030–1032):

1030. а) $x \ge 2$;

б) $y \le 3$;

в) $x \ge 2$ и $y \le 3$;

г) $x \ge 2$ или $y \le 3$;

д) $x \le -1$ или $y \ge 1$;

е) $\begin{cases} |x| \le 2, \\ |y| \le 2; \end{cases}$

ж) $\begin{cases} |x| \ge 2, \\ |y| \ge 2; \end{cases}$

з) $x^2 + y^2 \le 4$;

и) $x^2 + y^2 \ge 1$;

к) $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ x^2 + y^2 \ge 1; \end{cases}$

л) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4$.

а) $x \geq 2$

Уравнение $x = 2$ задает на координатной плоскости вертикальную прямую, проходящую через точку $(2, 0)$ и параллельную оси Oy. Неравенство $x \geq 2$ означает, что нас интересуют все точки, абсцисса (координата $x$) которых больше или равна 2. Геометрически это все точки, которые лежат на самой прямой $x=2$ и все точки, расположенные правее этой прямой.
Ответ: Полуплоскость, расположенная справа от прямой $x = 2$, включая саму прямую.

б) $y \leq 3$

Уравнение $y = 3$ задает горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, 3)$ и параллельную оси Ox. Неравенство $y \leq 3$ означает, что нас интересуют все точки, ордината (координата $y$) которых меньше или равна 3. Геометрически это все точки, которые лежат на самой прямой $y=3$ и все точки, расположенные ниже этой прямой.
Ответ: Полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = 3$, включая саму прямую.

в) $x \geq 2$ и $y \leq 3$

Здесь требуется одновременное выполнение двух условий. Это означает, что мы ищем пересечение двух областей: полуплоскости $x \geq 2$ (справа от прямой $x=2$) и полуплоскости $y \leq 3$ (ниже прямой $y=3$). Результатом является бесконечная область (угол), вершина которого находится в точке пересечения прямых $x=2$ и $y=3$, то есть в точке $(2, 3)$. Область включает в себя свои границы — лучи, выходящие из точки $(2, 3)$ вправо и вниз.
Ответ: Угол, ограниченный лучами, выходящими из точки $(2, 3)$, направленными параллельно оси Ox вправо и параллельно оси Oy вниз, включая сами лучи.

г) $x \geq 2$ или $y \leq 3$

Союз "или" означает, что нужно найти объединение двух областей: полуплоскости $x \geq 2$ и полуплоскости $y \leq 3$. В искомую область войдут все точки, которые удовлетворяют хотя бы одному из этих условий. Эта область покрывает почти всю координатную плоскость, за исключением той её части, где оба условия не выполняются одновременно, то есть где $x < 2$ и $y > 3$.
Ответ: Объединение двух полуплоскостей: всех точек справа от прямой $x=2$ и всех точек ниже прямой $y=3$ (включая сами прямые).

д) $x \leq -1$ или $y \geq 1$

Аналогично предыдущему пункту, мы ищем объединение двух полуплоскостей: $x \leq -1$ (все точки на прямой $x=-1$ и левее нее) и $y \geq 1$ (все точки на прямой $y=1$ и выше нее). В искомую область попадают все точки, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств. Исключением является область, где $x > -1$ и $y < 1$.
Ответ: Объединение двух полуплоскостей: всех точек слева от прямой $x=-1$ и всех точек выше прямой $y=1$ (включая сами прямые).

е) $\begin{cases} |x| \leq 2 \\ |y| \leq 2 \end{cases}$

Эта система неравенств равносильна системе $\begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ -2 \leq y \leq 2 \end{cases}$. Первое неравенство, $-2 \leq x \leq 2$, задает вертикальную полосу между прямыми $x=-2$ и $x=2$. Второе неравенство, $-2 \leq y \leq 2$, задает горизонтальную полосу между прямыми $y=-2$ и $y=2$. Так как неравенства объединены в систему, ищется их пересечение. Пересечение этих двух полос образует квадрат с центром в начале координат и вершинами в точках $(2, 2)$, $(-2, 2)$, $(-2, -2)$ и $(2, -2)$. Так как неравенства нестрогие, границы квадрата включаются в решение.
Ответ: Замкнутый квадрат с центром в начале координат, сторонами, параллельными осям координат, и вершинами в точках $(\pm 2, \pm 2)$.

ж) $\begin{cases} |x| \geq 2 \\ |y| \geq 2 \end{cases}$

Эта система неравенств равносильна одновременному выполнению условий ($x \leq -2$ или $x \geq 2$) и ($y \leq -2$ или $y \geq 2$). Мы ищем пересечение двух областей: области вне вертикальной полосы $(-2, 2)$ и области вне горизонтальной полосы $(-2, 2)$. В результате получается четыре несвязанные бесконечные области (углы), расположенные "по углам" координатной плоскости, ограниченные прямыми $x=\pm2$ и $y=\pm2$.
Ответ: Четыре угловые области, ограниченные прямыми $x=2, x=-2, y=2, y=-2$, включая сами границы.

з) $x^2 + y^2 \leq 4$

Уравнение $x^2 + y^2 = r^2$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r$. В данном случае $r^2=4$, значит $r=2$. Неравенство $x^2 + y^2 \leq 4$ описывает все точки, расстояние от которых до начала координат не превышает 2. Это все точки внутри окружности радиусом 2 и на самой окружности.
Ответ: Замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом 2.

и) $x^2 + y^2 \geq 1$

Уравнение $x^2 + y^2 = 1$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=1$. Неравенство $x^2 + y^2 \geq 1$ описывает все точки, расстояние от которых до начала координат не меньше 1. Это все точки на самой окружности и все точки вне ее.
Ответ: Вся координатная плоскость, за исключением открытого круга с центром в начале координат и радиусом 1.

к) $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ x^2 + y^2 \geq 1 \end{cases}$

Эта система требует одновременного выполнения двух условий. Первое, $x^2 + y^2 \leq 4$, задает замкнутый круг радиусом 2 с центром в начале координат. Второе, $x^2 + y^2 \geq 1$, задает внешность открытого круга радиусом 1 с тем же центром. Пересечением этих двух множеств является область между двумя концентрическими окружностями.
Ответ: Кольцо, заключенное между двумя окружностями с центром в начале координат и радиусами 1 и 2, включая сами окружности.

л) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \leq 4$

Уравнение $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ задает окружность с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $r$. В данном случае центр окружности находится в точке $(1, 2)$, а ее радиус $r=\sqrt{4}=2$. Неравенство описывает все точки внутри этой окружности и на ней самой.
Ответ: Замкнутый круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом 2.

1031. а) $x < -3;$

б) $y > -1;$

в) $x < -3$ и $y > -1;$

г) $x < -3$ или $y > -1;$

д) $x > -3$ или $y < -1;$

е) $\begin{cases} |x| < 3, \\ |y| < 3; \end{cases}$

ж) $\begin{cases} |x| > 3, \\ |y| > 3; \end{cases}$

з) $x^2 + y^2 < 9;$

и) $x^2 + y^2 > 4;$

к) $\begin{cases} x^2 + y^2 < 9, \\ x^2 + y^2 > 4; \end{cases}$

л) $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 > 4.$

а) Неравенство $x < -3$ задает на координатной плоскости множество точек, абсцисса $x$ которых меньше -3. Границей этой области является прямая $x = -3$, которая параллельна оси ординат и проходит через точку $(-3, 0)$. Решением неравенства является открытая полуплоскость, расположенная слева от этой прямой. Так как неравенство строгое, сама прямая в решение не входит.

Ответ: открытая полуплоскость, расположенная слева от прямой $x = -3$.

б) Неравенство $y > -1$ задает на координатной плоскости множество точек, ордината $y$ которых больше -1. Границей области является прямая $y = -1$, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, -1)$. Решением является открытая полуплоскость, расположенная выше этой прямой. Сама прямая в решение не входит, так как неравенство строгое.

Ответ: открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -1$.

в) Условие "$x < -3$ и $y > -1$" означает, что должны выполняться оба неравенства одновременно. Это соответствует пересечению двух областей: полуплоскости слева от прямой $x = -3$ и полуплоскости выше прямой $y = -1$. Результатом является открытый угол (или открытая четверть плоскости), ограниченный лучами, исходящими из точки $(-3, -1)$ параллельно осям координат в отрицательном направлении оси $x$ и положительном направлении оси $y$. Границы области (лучи) не включаются в решение.

Ответ: пересечение двух открытых полуплоскостей $x < -3$ и $y > -1$, представляющее собой открытый угол с вершиной в точке $(-3, -1)$.

г) Условие "$x < -3$ или $y > -1$" означает, что должно выполняться хотя бы одно из неравенств. Это соответствует объединению двух областей: полуплоскости слева от прямой $x = -3$ и полуплоскости выше прямой $y = -1$. Эта область покрывает всю координатную плоскость, за исключением замкнутого угла (четверти плоскости), где одновременно выполняются условия $x \ge -3$ и $y \le -1$.

Ответ: объединение двух открытых полуплоскостей $x < -3$ и $y > -1$.

д) Условие "$x > -3$ или $y < -1$" соответствует объединению двух областей: полуплоскости справа от прямой $x = -3$ и полуплоскости ниже прямой $y = -1$. Эта область покрывает всю координатную плоскость, за исключением замкнутого угла (четверти плоскости), где одновременно выполняются условия $x \le -3$ и $y \ge -1$.

Ответ: объединение двух открытых полуплоскостей $x > -3$ и $y < -1$.

е) Система неравенств $\begin{cases} |x| < 3 \\ |y| < 3 \end{cases}$ равносильна системе $\begin{cases} -3 < x < 3 \\ -3 < y < 3 \end{cases}$. Первое неравенство задает открытую вертикальную полосу между прямыми $x = -3$ и $x = 3$. Второе неравенство задает открытую горизонтальную полосу между прямыми $y = -3$ и $y = 3$. Решением системы является пересечение этих двух полос — открытый квадрат с центром в начале координат и вершинами в точках $(3, 3), (-3, 3), (-3, -3), (3, -3)$. Границы квадрата не включаются в решение.

Ответ: внутренность квадрата с вершинами в точках $(3, 3), (-3, 3), (-3, -3), (3, -3)$.

ж) Система неравенств $\begin{cases} |x| > 3 \\ |y| > 3 \end{cases}$ равносильна системе, состоящей из объединений: $\begin{cases} x < -3 \text{ или } x > 3 \\ y < -3 \text{ или } y > 3 \end{cases}$. Решением является пересечение двух областей: области вне вертикальной полосы $|x| \le 3$ и области вне горизонтальной полосы $|y| \le 3$. Это множество состоит из четырех открытых углов (четвертей плоскости), не имеющих общих границ: $x > 3, y > 3$; $x < -3, y > 3$; $x < -3, y < -3$; $x > 3, y < -3$.

Ответ: объединение четырех открытых углов, заданных условиями $x > 3, y > 3$; $x < -3, y > 3$; $x < -3, y < -3$; $x > 3, y < -3$.

з) Неравенство $x^2 + y^2 < 9$ описывает множество точек, квадрат расстояния от которых до начала координат $(0, 0)$ меньше 9. Уравнение $x^2 + y^2 = 9$ (или $x^2 + y^2 = 3^2$) задает окружность с центром в начале координат и радиусом 3. Неравенство задает все точки внутри этой окружности. Так как неравенство строгое, сама окружность не входит в решение.

Ответ: открытый круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 3.

и) Неравенство $x^2 + y^2 > 4$ описывает множество точек, квадрат расстояния от которых до начала координат $(0, 0)$ больше 4. Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ (или $x^2 + y^2 = 2^2$) задает окружность с центром в начале координат и радиусом 2. Неравенство задает все точки вне этой окружности. Так как неравенство строгое, сама окружность не входит в решение.

Ответ: множество всех точек плоскости, лежащих вне круга с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 2 (внешность круга).

к) Система $\begin{cases} x^2 + y^2 < 9 \\ x^2 + y^2 > 4 \end{cases}$ задает пересечение двух областей: внутренней части круга радиуса 3 и внешней части круга радиуса 2. Обе окружности, ограничивающие эти области, имеют центр в начале координат. Решением является множество точек, расположенных между этими двумя концентрическими окружностями. Такая фигура называется кольцом. Поскольку оба неравенства строгие, границы (обе окружности) не включаются в решение.

Ответ: открытое кольцо, ограниченное окружностями $x^2+y^2=4$ и $x^2+y^2=9$.

л) Неравенство $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 > 4$ можно переписать в виде $(x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 > 2^2$. Это неравенство описывает множество точек, квадрат расстояния от которых до точки $(-1, -2)$ больше 4. Уравнение $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$ задает окружность с центром в точке $(-1, -2)$ и радиусом 2. Неравенство задает все точки вне этой окружности. Сама окружность в решение не входит.

Ответ: множество всех точек плоскости, лежащих вне круга с центром в точке $(-1, -2)$ и радиусом 2 (внешность круга).

1032. a) $\begin{cases} y \geq -2x + 1, \\ y \geq x - 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y \leq -x^2 + 4, \\ y \geq x + 2. \end{cases}$

а) Требуется найти и изобразить на координатной плоскости множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих системе неравенств:

$ \begin{cases} y \ge -2x + 1 \\ y \ge x - 2 \end{cases} $

Решением данной системы является пересечение областей, задаваемых каждым из неравенств.

1. Первое неравенство $y \ge -2x + 1$. Границей этой области является прямая $y = -2x + 1$. Построим ее по двум точкам: если $x=0$, то $y=1$ (точка $(0, 1)$), и если $x=1$, то $y=-1$ (точка $(1, -1)$). Поскольку знак неравенства $\ge$, решением является полуплоскость, расположенная выше этой прямой, включая саму прямую.

2. Второе неравенство $y \ge x - 2$. Границей этой области является прямая $y = x - 2$. Построим ее по двум точкам: если $x=0$, то $y=-2$ (точка $(0, -2)$), и если $x=2$, то $y=0$ (точка $(2, 0)$). Поскольку знак неравенства $\ge$, решением является полуплоскость, расположенная выше этой прямой, включая саму прямую.

3. Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это неограниченная область (угол), расположенная одновременно над обеими прямыми. Найдем вершину этого угла, решив систему уравнений для граничных прямых:

$ \begin{cases} y = -2x + 1 \\ y = x - 2 \end{cases} $

Приравняем правые части: $-2x + 1 = x - 2$. Отсюда $3x = 3$, то есть $x = 1$. Найдем $y$, подставив $x=1$ в любое уравнение: $y = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, прямые пересекаются в точке $(1, -1)$, которая является вершиной искомой области.

Ответ: Множество точек на координатной плоскости, образующих угол с вершиной в точке $(1, -1)$, ограниченный снизу лучами прямых $y = -2x + 1$ и $y = x - 2$. Границы области включены в решение.

б) Требуется найти и изобразить на координатной плоскости множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих системе неравенств:

$ \begin{cases} y \le -x^2 + 4 \\ y \ge x + 2 \end{cases} $

Решением является пересечение областей, задаваемых параболой и прямой.

1. Первое неравенство $y \le -x^2 + 4$. Границей является парабола $y = -x^2 + 4$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$. Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. Неравенство $y \le \dots$ задает область под параболой, включая саму параболу.

2. Второе неравенство $y \ge x + 2$. Границей является прямая $y = x + 2$. Она проходит через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$. Неравенство $y \ge \dots$ задает полуплоскость над прямой, включая саму прямую.

3. Решение системы — это пересечение этих двух областей, то есть множество точек, лежащих одновременно под параболой и над прямой. Эта область является ограниченной фигурой. Найдем точки пересечения параболы и прямой, чтобы определить границы этой фигуры:

$ \begin{cases} y = -x^2 + 4 \\ y = x + 2 \end{cases} $

Приравняем правые части: $-x^2 + 4 = x + 2$. Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 + x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$:

• Если $x = 1$, то $y = 1 + 2 = 3$. Точка пересечения $(1, 3)$.
• Если $x = -2$, то $y = -2 + 2 = 0$. Точка пересечения $(-2, 0)$.

Решением системы является фигура, ограниченная сверху дугой параболы $y = -x^2 + 4$ и снизу отрезком прямой $y = x + 2$ между точками их пересечения.

Ответ: Множество точек на координатной плоскости, образующих фигуру, ограниченную сверху дугой параболы $y = -x^2 + 4$ и снизу отрезком прямой $y = x + 2$, концы которого находятся в точках $(-2, 0)$ и $(1, 3)$. Границы фигуры включены в множество решений.

1033. Изобразите все точки координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству

$$(|x| - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$$

или системе неравенств

$$\begin{cases} (|x| - 1)^2 + (|y| - 1)^2 \ge 1, \\ |x| + |y| \le 1. \end{cases}$$

Для того чтобы изобразить все точки, удовлетворяющие заданным условиям, необходимо найти объединение двух множеств на координатной плоскости, так как условия соединены союзом "или". Проанализируем каждое условие по отдельности.

неравенству $(|x| - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$

Проанализируем данное неравенство. Наличие модуля $|x|$ означает, что фигура, описываемая этим неравенством, симметрична относительно оси $Oy$. Рассмотрим два случая:

1. При $x \ge 0$, неравенство принимает вид $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$. Это уравнение задает замкнутый круг (то есть, круг вместе с его границей) с центром в точке $C_1(1, 1)$ и радиусом $r=1$. Все точки этого круга, включая его самую левую точку $(0, 1)$, удовлетворяют условию $x \ge 0$.
2. При $x < 0$, неравенство принимает вид $(-x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$, что эквивалентно $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$. Это уравнение задает замкнутый круг с центром в точке $C_2(-1, 1)$ и радиусом $r=1$.

Объединяя решения для $x \ge 0$ и $x < 0$, мы получаем фигуру, состоящую из двух кругов, которые касаются друг друга в точке $(0, 1)$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному неравенству, представляет собой объединение двух замкнутых кругов: один с центром в $(1, 1)$ и радиусом 1, другой с центром в $(-1, 1)$ и радиусом 1.

системе неравенств $\begin{cases} (|x| - 1)^2 + (|y| - 1)^2 \ge 1, \\ |x| + |y| \le 1. \end{cases}$

Проанализируем эту систему. Оба неравенства содержат переменные $x$ и $y$ под знаком модуля, что означает симметрию искомой фигуры относительно обеих координатных осей и начала координат. Это позволяет нам рассмотреть систему только в первой координатной четверти (где $x \ge 0$ и $y \ge 0$) и затем симметрично отразить полученный результат на остальные четверти.

В первой четверти система принимает вид: $\begin{cases} (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \ge 1, \\ x + y \le 1. \end{cases}$

• Первое неравенство, $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \ge 1$, задает область на границе и вне круга с центром в точке $(1, 1)$ и радиусом 1.
• Второе неравенство, $x + y \le 1$ (при $x \ge 0, y \ge 0$), задает замкнутый треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

Искомая область в первой четверти — это пересечение этих двух множеств. Это та часть указанного треугольника, которая лежит на границе или вне круга. Эта область ограничена отрезками осей $Ox$ от 0 до 1 и $Oy$ от 0 до 1, а также дугой окружности $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$, которая соединяет точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

Отражая эту область симметрично относительно осей координат, мы получаем итоговую фигуру для данной системы. Она ограничена четырьмя дугами окружностей, которые в соответствующих квадрантах являются частями окружностей:

• $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ в первой четверти,
• $(x+1)^2+(y-1)^2=1$ во второй четверти,
• $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ в третьей четверти,
• $(x-1)^2+(y+1)^2=1$ в четвертой четверти.

Эта фигура представляет собой четырехконечную звезду с вогнутыми сторонами и вершинами в точках $(\pm 1, 0)$ и $(0, \pm 1)$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данной системе, представляет собой замкнутую область, похожую на четырехконечную звезду, с центром в начале координат, вершинами в точках $(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)$ и границей, образованной дугами четырех окружностей.

Итоговое изображение

Поскольку исходные условия соединены союзом "или", искомое множество точек является объединением множеств, найденных в двух предыдущих пунктах. Объединяя два круга с центрами в $(1, 1)$ и $(-1, 1)$ и "звезду" с центром в начале координат, мы получаем единую связную фигуру. Точки $(1, 0)$, $(-1, 0)$ и $(0, 1)$ являются общими для границ обеих фигур и служат точками их соединения. Визуально эта фигура напоминает стилизованное изображение человека.

Ответ: Искомое множество точек на координатной плоскости представляет собой фигуру, образованную объединением:
1) двух замкнутых кругов радиуса 1 с центрами в точках $(1, 1)$ и $(-1, 1)$;
2) четырехконечной звездообразной фигуры с центром в начале координат, вершинами в точках $(\pm 1, 0), (0, \pm 1)$ и границами, являющимися дугами окружностей, заданных уравнением $(|x|-1)^2 + (|y|-1)^2 = 1$ в соответствующих квадрантах.